( )与 B( )的 k 阶行列式因子.需要证明 f ( )= g( ).分 3 种情况讨论： 别是 A
A ( ) B( ),此时, B( )的每个 k 阶子式或者等于 A( )的某个 （1）
k 阶子式,或者与 A ( )的某个阶子式反号,所以, f ( )是 B( )的 k 阶子式的公
P 、Q ,使得 B P A Q
证明 因 为 A B , 所 以 A( ) 可 以 经 过 有 限 次 初 等 变 换 变 成
B( ),即存在初等矩阵
P 1 ( ), P 2 ( ),
与初等矩阵
0 0 A 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 B 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
mA () mB () 2 ，但 A、B 不相似。
引理 5 设 A 为 n 阶方阵且 A 相似于
[i j ( )]代表把 j 行（列）的 ( ) 倍加到 i 行（列） 。
定义 2 -矩阵 A( ) 称为与 B ( ) 等价，如果可以经过一系列初等变换将
A( ) 化为 B ( ) 。
等价是 -矩阵之间的一种关系，这个关系，显然具有下列三个性质： （1） 反身性：每一个 -矩阵与自己等价。 （2） 对称性：若 A( ) 与 B ( ) 等价，则 B ( ) 与 A( ) 等价。这是由于 初等变换具有可逆性的缘故。 （3） 传递性：若 A( ) 与 B ( ) 等价， B ( ) 与 C ( ) 等价，则 A( ) 与
, Ps ( )
Q1 ( ), Q2 ( ),
使得
, Qt ( )
B( ) P 1 ( ) P 2 ( )
令
Ps () A()Q1 ()Q2 ()
Qt ()
P( ) P 1 ( ) P 2 ( ) Q( ) Q1 ( )Q2 ( )
Ps () , Qt ( )
因此, A( ) 是可逆的. (2)必要性 设 A( ) 有可逆矩阵 B( ),则
A B I
两边取行列式有
A B I 1
由于 A 与 B 都是多项式,而它们的乘积为 1,所以它们都是零次多项式, 即都是非零常数.证毕. 例题 1 判断 -矩阵
所以, f ( )是的 k 阶子式公因式,从而 f ( ) |g( ).
( ) 经过一 系列的初等 变换变成 对于 列变换 , 可以一样地讨论 . 总之 , A B( )，那么 f( ) |g( ).又由于初等变换的可逆性, B( )经过一系列的初等变 ( ),从而也有 g( ) 换可以变成 A | f( ). ( )所有的阶子式为零时, B( )所有的 k 阶子式也就等于零； 当A 反之亦然. ( )与 B( )又相同的各阶行列式因子,从而有相同的秩.证毕. 故A
教 学 过 程
初等变换都是可逆的，并且有
p(i, j ) 1 p(i, j ), p(i(c))1 p(i(c 1 )) p(i, j( ))1 p(i, j( )) 。
为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：
,
[i, j ] 代表 i, j 行（列）互换位置； [i (c)] 代表用非零的数 c 去乘 i 行（列） ；
就是所要求的 -矩阵.它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的.证毕.
定义 4 矩阵 A( ) 的所有非零 k 阶子式的首一 （最高次项系数为 1） 最大 公因式 Dk 称为 A( ) 的 k 阶行列式因子. 定理 2 等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子. 证明 设 -矩阵 A( ) 经过一次行初等变换化为了 B( )，f ( )与 g( )分
2
1 2 A( ) 0 1 2
即为所求的标准型.
1 2 1 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0
授课内容 教学时数 教学目标 教学重点 教学难点 教学方法与 手段
第八章 λ －矩阵
2 学时
第一讲 λ －矩阵
授课类型
讲授法与练习法
使学生了解 -矩阵的概念，以及 -矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握 矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
求 -矩阵的逆矩阵
既然初等变换不改变行列式因子,所以,每个 -矩阵与它的标准型有完全相 同的行列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因而,在求一个 -矩阵的行列 式因子时,只要求出它的标准型的行列式因子即可.
讨论、 练习与 作业 课后反思
授课内容 教学时数 教学目标 教学重点 教学难点 教学方法与 手段
第二将 λ －矩阵在初等变换下的标准型 2
二、矩阵最小多项式 定义 3：设 A M n ( K ) 是一个矩阵，如果多项式
f () a0 m a1 m1 am1 am
使得：
f ( A) a0 Am a1 Am1 am1 A am En 0
则称 f ( ) 是 A 的零化多项式。A 的次数最小的首一零化多项式称为 A 的极小 多项式（minimal polymial）,记为 mA ( ) 。 引理 2： mA ( ) 整除 A 的任意零化多项式。特别的 mA ( ) | f A ( ) 。 证明 设 f ( ) 是 A 的任一零花多项式，则 f ( A) 0 。由带余除法定理可知
d 1 ( ) d 2 ( ) d r ( ) 0 0
最后化成的这个矩阵称为 A( ) 的标准形。 例 求 -矩阵
1 A( ) 1+ 2
的标准型. 解
2 2
B B 1 0
B2 B3
其中 B1 、 B3 为方阵，则 [mB1 ( ), mB2 ( )]| mB ( ) 特别的由引理 3 知 当 B2 0 时
u( ), v( ) C[ ] 使得 u( )( 0 ) v( )mA ( ) 1
u( A)( A 0 I m ) I n ，取行列式知 det( A 0 I m ) 0 与 0 是 A 的特征根矛
盾。 由引理 1、2 知 mA ( ) 与 f A ( ) 有相同的根。 引理 4 例1 设 相似矩阵有相同的最小多项式，反之不真。
C ( ) 等价，
引理 设 -矩阵 A( ) 的左上角 a11 ( ) 0 ，并且 A( ) 中至少有一个元
素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与 A( ) 等价的矩阵 B ( ) ，它的左上 角元素也不为零，但是次数比 a11 ( ) 的次数低。 定理 2 任意一个非零的 s n 的 -矩阵 A( ) 都等价与下列形式的矩阵
启发式讲授，讨论，练习
n 阶矩阵 A 与对角阵相似的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.那
(m n)个线性无关的特征向量时, A 与对角阵是不相似的.对这种情 么当只有 m
况,我们“退而求其次”,寻找“几乎对角的”矩阵来与 A 相似.这就引出了矩阵 在相似下的各种标准型问题. Jordan 标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角 阵相似的理论作为特例.此外, Jordan 标准型的广泛应用涉及到 Hamilton-Cayley 定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组的求解等等.
要的,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去. 定义 3 如果矩阵 A( ) 经过有限次的初等变换化成矩阵 B( )，则称矩阵
A( ) 与 B( )等价,记为
A B
定 理 2 矩 阵 A( ) 与 B( ) 等 价 的 充 要 与 条 件 是 存 在 可 逆 矩 阵
det ( A( )) c 0 .
证明： （1）充分性 设 A =d 是一个非零的数. A* 表示 A( ) 的伴
随矩阵,则 d 1 A* 也是一个 -矩阵,且有
A d 1 A* d 1 A* A I
为数域 F 上关于 的多项式. 定义 2
, m; j 1, 2,
, n)
称 n 阶 -矩阵 A( ) 是可逆的,如果有
A B B A I n
并称 B( )为 A( ) 的逆矩阵.反之亦然. 定理 1 矩阵 A( ) 可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即
授课类型
讲授课
了解 -矩阵的初等变换， 掌握求标准型的方法， 掌握最小多项式的概念和 求最小多项式的方法。 求标准型的方法和最小多项式的求法 求 -矩阵标准型的方法
课堂讲授，辅以提问、练习
一、 -矩阵的初等变换。 定义 1 下面的三种变换叫做 -矩阵的初等变换： （1）矩阵的两行（列）互换位置； （2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 c ； （3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 ( ) 倍， ( ) 是一个多项 式。
（3） A ( ) B( ),此时, B( )中那些包含 i 行与 j 行的阶子式和 i j( )
( )中对应的 k 阶子式；B( )中那些包含 i 那些不包含 i 行的 k 阶子式都等于 A ( )的一个 k 阶子式 行但不包含 j 行的 k 阶子式,按 i 行分成两个部分,而等于 A ( )的两个 k 阶子式的线性组合, 与另一个 k 阶子式的 ( )倍的和,,也就是 A
r ( ) 0 或 0 (r()) 0 (mA ()) 。 f ( ) mA ( )q( ) r ( ) ， 由 r ( A) 0 及
0 (mA ( )) 的最小性知 r ( ) 0
mA ( ) | f A ( )