授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点教学方法与手段教学过程第六章线性空间第一讲集合映射2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握集合映射的有关定义、运算, 求和号与乘积号的定义集合映射的有关定义集合映射的有关定义讲授法启发式1.集合的运算 , 集合的映射 ( 像与原像、单射、满射、双射 ) 的概念定义 : ( 集合的交、并、差 ) 设S是集合 , A与B的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的交集,记作A B ；把 A 和B中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集,记做 A B ；从集合 A中去掉属于 B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为 A 与B的差集,记做A B .定义 : ( 集合的映射 ) 设A B为集合 . 如果存在法则f, 使得A中任意元素、a 在法则f下对应B中唯一确定的元素( 记做f (a) ), 则称f是A到B的一个映射 , 记为f : A B, a f (a).如果 f (a) b B , 则 b 称为a在 f 下的像,a称为 b 在 f 下的原像. A 的所有元素在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像,记做 f ( A) ,即f ( A) f ( a) | a A .若 a a' A, 都有 f (a) f (a'), 则称 f 为单射.若 b B, 都存在a A , 使得f (a) b ,则称 f 为满射 . 如果f既是单射又是满射, 则称f为双射 , 或称一一对应 .2.求和号与求积号(1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练, 我们引进求和号和乘积号 .设给定某个数域K 上 n 个数 a 1, a 2 , , a n , 我们使用如下记号 :nna 1 a 2a na i , a 1a 2 a na i .i1i 1当然也可以写成a 1 a 2a n a i , a 1 a 2 a na i .1 i n1 i n(2) 求和号的性质容易证明 ,nnnnnnmm na ia i ,(a i b i )a ib i ,aija ij .i 1i 1i 1i 1i 1i 1 j 1j 1 i 1事实上 , 最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状 :a 11a 12a 1 ma21 a 22 a2 man1 an2anm分别先按行和列求和 , 再求总和即可 .讨论、练习与作业课后反思授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点教学方法与手段教学过程第二讲线性空间的定义与简单性质2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质讲授法启发式一 . 线性空间的定义(1) 定义 1( 线性空间 )设V是一个非空集合, 且 V 上有一个二元运算“+”(V V V ) ,又设K为数域,V中的元素与K 中的元素有运算数量乘法“? ”(K V V ) ,且“+”与“?”满足如下性质:1、加法交换律,V ,有；2、加法结合律, ,V ,有 ()() ；3、存在“零元” , 即存在0V ,使得V ,0；4、存在负元 , 即V ,存在V ,使得0 ；5、“ 1 律”1?；6、数乘结合律k, l K ,V ,都有 ( kl )k(l ) l (k) ；7、分配律k,l K ,V ,都有(k l )k l；8、分配律k K , ,V ,都有k() k k,则称 V为 K上的一个线性空间 , 我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“ +”和“?”的定义 , 不光与集合V 有关 .(2)零向量和负向量的唯一性 , 向量减法的定义 , 线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题 1 零元素唯一 , 任意元素的负元素唯一 .证明 : 设 0 与 0' 均是零元素 , 则由零元素的性质 , 有 0 0' 0 0' ；V , 设, '都是 的负向量 , 则( ')' () 0,于是命题得证 . 由于负向量唯一 , 我们用代表的负向量 .定义 2( 减法 ) 我们定义二元运算减法“- ”如下 :定义为( ) .命题 2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:1、 加法满足消去律；2、 可移项；3、 可以消因子k且 k1 ；0, 则k4、 0 ? 0,k ?0 0, ( 1).(3) 线性空间的例子例 1 令 V 表示在(a,b) 上可微的函数所构成的集合, 令 K?,V 中加法的定义就是函数的加法, 关于K 的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K 上的线性空间.二 线性空间中线性组合和线性表出的定义, 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述 , 向量组的秩 , 向量组的线性等价；极大线性无关组.定义 3( 线性组合 ) 给定 V 内一个向量组 1 , 2 ,L , s , 又给定数域 K 内 s 个数 k 1, k 2 ,L , k s , 称 k 1 1k 2 2 Lk ss 为向量组1, 2 ,L ,s 的一个 线性组合 .定义 4( 线性表出 ) 给定 V 内一个向量组1 ,2 ,L , s , 设是 V 内的一个向量, 如果存在 K 内 s 个数 k 1, k 2 ,L ,k s , 使得 k1 1k2 2Lk s s , 则称向量 可以被向量组1,2 ,L , s 线性表出 .定义 5( 向量组的线性相关与线性无关 ) 给定 V 内一个向量组1,2 ,L , s ,如果对 V 内某一个向量, 存在数域 K 内不全为零的数 k 1 , k 2 ,L , k s , 使得k 1 1k 2 2L k s s0 , 则称向量组 1, 2 ,L , s 线性相关 ；若由方程k 11 k 22Lks s0 必 定 推 出 k 1 k 2 Lk s 0 , 则 称 向 量 组1, 2 ,L , s 线性无关 .命题 3设 1, 2 ,Ls V , 则下述两条等价 :1)1,2 ,Ls 线性相关；2) 某个i 可被其余向量线性表示. 证明同向量空间 .定义 6( 线性等价 )给定 V 内两个向量组1,2 ,L ,r(Ⅰ ),1,2,L ,s(Ⅱ ),如果 ( Ⅰ ) 中任一向量都能被( Ⅱ ) 线性表示, 反过来,(Ⅱ ) 中任一向量都能被( Ⅰ) 线性表示, 则称两向量组 线性等价 .定义7( 极大线性无关部分组)给定 V 内一个向量组1,2,L ,s , 如果它有一个部分组i 1 ,i 2,L ,i r满足如下条件:(i) 、i 1,i 2,L ,i r线性无关；(ii) 、原向量组中任一向量都能被i 1,i 2,L ,i r线性表示,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组 .由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到 K n 的一些特有的性质 , 于是那些命题在线性空间中依然成立.定义 8( 向量组的秩 ) 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量 , 其向量数目成为该向量组的 秩 .例 2 求证 : 向量组 e 1 x ,e 2 x 的秩等于 2( 其中 12 ).证明 : 方法一 : 设 k 1, k 2 ∈ R, 满足 k 1e 1 x k 2e 2 x0 , 则 k 1e 1x k 2e 2 x , 假若k1, k2不全为零,不妨设 k1 0 ,则有 e( 12 )x k2 , 而由于1 2 , 等号左边k1为严格单调函数 , 矛盾于等号右边为常数. 于是k1 k2 0.所以 e 1x , e 2x线性无关,向量组的秩等于 2. 证毕 .方法二 : 若在( a, b)上k1e1x k2e 2x 0 ,两端求导数 , 得k1 1e 1x k2 2e 2x 0,以 x c (a,b) 代入,有k1e 1c k2 e 2c 0, k1 1e 1c k2 2 e 2c 0.而 e 1c e 2c e( 1 2) c( 2 1) 0 ,1e 2c 2e 2c于是 k1 k2 0 .证毕.讨论、练习与作业课后反思授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点教学方法与手段教学过程第三讲维数、基与坐标2授课类型授通本的学, 掌握性空的基与数, 向量的坐的有关定及性基与数、向量坐的有关定基与数、向量坐的有关定授法启式一、基和数V 是数域 F 上一个向量空, α 1，α 2，⋯，α n∈ V．令 L( α 1,nα2，⋯，α n)= k i i k1，k2，， k n F ， L( α1，α 2，⋯，i 1αn) 是 V 的一个子空，叫做由α 1, α 2, ⋯ , α n 生成的子空，其中向量α1，α2，⋯ , α n 叫做个子空的一生成元．例 1在F[x]中，由多式1， x，⋯， xn-1 所生成的子空L(1 ， x，⋯， xn-1)={a0+a1x+⋯+an-1xn-1| ai∈ F}，就是 F 上一切次数小于n 的多式同零多式所成的子空F[x]n ．i1，i2，，i r是向量{α1,α2,⋯,αn}的一个极大无关．由命3，子空 L( α 1，α 2，⋯，α n) 的每一个向量都可以由i1，i2，，i r性表示．另一方面i1，i2，，i r的任意一个性合自然是L( α 1，α 2, ⋯ , αn)中的向量．因此我有命 1{ α 1，α 2，⋯，α n} 是向量空V 的一不全零的向量，而{ i1,i2, ,i r } 是它的一个极大无关．L( α1，α 2，⋯，α n)=L(i1,i2,,i r)．根据个命，若子空L( α 1，α 2，⋯，α n) 不等于零空，它可以由一 性无关的生成元生成．一个向量空V 本身也可能由其中某 n 个向量生成，因此引入以下的定 1 { α 1，α 2，⋯，α n} 是数域 F 上向量空 V 的向量 ， 足以下条件：1) α 1，α 2，⋯，α n 性无关；2)V 中每一个向量都可以由α 1，α 2，⋯，α n 性表示， 称 { α 1，α 2，⋯，α n } 是 V 的一个基．例 2 在空 V2 里，由原点出 的任意两个不共 的向量α 1，α2 都构成 一个基；在 V3 里，由原点出 的任意三个不共面的向量β1，β 2，β 3 都构成一个基．例 3在数域 F 上的 m ×n 矩 空 Fm ×n 里， A=(aij)mn ∈ Fm ×n ，都可以表成m na ijE ij；A=i1 j 1m n且若a E ij0，是零矩 ，aij=0 ， i=1 ，⋯， m ， j=1 ，⋯，ij即(aij)mni 1 j 1， ，m ； ， ，n} 是 Fm ×n 的一个基． n ．因此 , { E ij i 1 j 1数域 F 上的一个向量空 若有基，当然不只有一个基．然而根据基的定 ，一个向量空 的任意两个基是彼此等价的．于是由推1，一个向量空 的任意两个基所含向量的个数是相等的．因此引入定2一个向量空 V 的一个基所含向量的个数叫做V 的 数， 作dimV ．零空 的 数定0．，空 V2 的 数是 2，V3 的 数是3；Fn 的 数是的 数是mn ．例 4求数域 F 上所有 n 反 称矩 成的向量空n ；向量空Fm ×nV 的一个基及其数．解 任一n 反 称矩A 具有形式0 a 12 a 1n a 12a 2nAa 1na 2 n．因此A a 12E 12E21a 13E13E31a 1nE1nEn 1a n 1nE n 1nEnn 1．①由于EijEjiE jiEijE ijEji，所以 E 12 E 21， E 13E 31， ，E n 1n E nn 1 都是反 称矩 ．假k 12 E 12E 21k 13 E 13 E 31k n 1 n E n 1nE nn 1 0 ，②由 于 { E ij i 1 , , n ； j 1，， n } 是 Mn(F) 的 一 个 基 ， 所 以 E ， E， E ， E 31， ，E n 1 n ， E nn 1性 无 关 ， 从 而 由 ② 可 推 出 k 12122113k 13k n 1n0 ．故 E 12 E 21 ， ，E n 1n E nn 1 性无关．又由①便可得出，E 12E 21， ，E n 1 nE nn 1 是 V 的一个基，且dim Vn 1n 2 n n 112 ．若一个向量空 不能由有限个向量生成， 它自然也不能由有限个 性无关的向量生成． 一情形，就 个向量空 是无限 的．例 5 F[x] 作 F 上向量空 是无限 的．事 上，假F[x] 由有限个多 式f1(x) ， f2(x) ，⋯， ft(x) 生成．自然可以 些多 式都不 零．令 n 是 t个多 式的次数中最大的，F[x] 中 次数大于 n 的多 式不可能由 t 个多 式 性表示． 就 致矛盾，故F[x]是无限 的．由此易 § 1 中向量空 C[a ， b] 也是无限 的．命 2 在 n 向量空 V 中，任意 n 个 性无关的向量都是V 的一个基．α 1，⋯α n 是 V 中 n 个 性无关的向量．任取γ∈V ，只要 γ可 由α 1，⋯α n 性表示， α 1，⋯α n 便是 V 的一个基．因dimV=n ，所以 V有一个基1，2， ，n ．于是向量 α 1, ⋯α n ，γ可由β 1，⋯β n 性表出．因n+1>n, 所以由定理 2 推得，α 1，⋯α n ，γ 性相关．由于α 1，⋯，α n性无关，所以由命4 知道，γ可由α 1，⋯α n 性表示．由命 2 的 明易命 3 n 向量空 中个数多于 n 的任意向量 一定 性相关．定理 1 在 n 向量空 V 中，任意一个 性无关的向量 { α 1，⋯，αr} 都可以 充成V 的一个基．若 r=n ， α 1，⋯α n 是 V 的一个基．下 r<n ．此 由 dimV=n 知道V 有 一 个 基1， 2， ，n． 于 是 , 由 定 理 6.2.2 ， 不 妨向 量1， ,r，r1， ，n }与1， 2， ，n等价．此 ，{ 1， ， r，r 1， ，n}性无关，因此，由命2 知道它是由 { α 1，⋯α r } 充的 V 的一个基．二、 坐基的重要意 主要在于以下的定理 2{1，2， ， n } 是向量空 V 的一个基． V 的每一个向量可以唯一地表成基向量1，2， ， n 的 性 合．因1， 2， ， n 是 V 的 生 成 元 ， 所 以V 都 可 以 表 成1， 2， ， n 的 性 合k1 1k2 2k nn．种表示法是唯一的．若α 可以表成k 1 1k2 2k nn ．k 1 k 1 1 k 2 k 22k n k n n．但 1，2， ， n 性无关，故 k i k i 0 ，即 k i k i ， i=1 ，⋯， n ．V 是数域 F 上一个 n 向量空 ， { α 1，α 2，⋯，α n} 是 V 的一个基． 于 是 V 的每一向量 可以唯一地表成x 1 1 x 2 2x nn．因此，取定 V 的基 { α 1，α 2，⋯，α n} 之后， V 的每一个向量 ，有唯一的n 元数 (x1 ，x2，⋯ ,xn) 与它 ． 此 ， xi 叫做向量关于基 { α 1，α 2，⋯，α n} 的第i个坐；(x1,x2,⋯,xn)叫做向量在基{α1,α2,⋯,αn}下的坐．例 6取定V3 中三个不共面的向量α1，α 2，α 3．V3 的每一向量可以唯一地表成x1 1 x2 2 x3 3的形式．向量在基 { α1，α 2，α 3} 下的坐就是(x1 ， x2， x3) ．例7 Fn 的向量α = ( a1 , a2 , , a n ) 在准位基 e1, e2 , , e n下的坐就是(a1, a2 , , a n ) ．n 向量空 V 的向量，β在基 { 1，2，，n } 下的坐分是(x1 ，x2，⋯， xn) 和 (y1 ， y 2 ，⋯， yn) ：x 1 1x2 2 x n n，y1 1y2 2yn n ．x1 y1 1 x2 y2 x n y n n．若 k∈ F，k kx11kx22kx n n ．于是得到．定理3V 是数域 F 上一个n向量空， { 1 , 2 , ,n}是 V 的一个基．若，β∈ V，它在基{1,2 , , n } 下的坐分是( x1, x2 , , x n ) 和( y1 , y2 , , yn)，+β在个基下的坐就是(x1+y1 ， x2+y2 ，⋯， xn+yn) ；又若 k∈ F． k 在个基下的坐就是(kx1 , kx2 , , kx n ) ．三、子空的数由定理 2 和定理 1 得到命 4V 是 F 上 n 向量空， W是 V 的一个子空，dimW ≤ dimV ；并且 W的一个基可以充V 的一个基．命 5同命4所，W=V，当且当dimW=dimV．必要性是 然的．反之，即 dimW =dimV =n ， { α 1, α 2, ⋯ , α n} 是 W的一个基， 它是 V 的一个 性无关向量 ．于是，由命 6.3.2 知道它也是V 的一个基．因此，W=L(α 1，⋯，α n)=V ．定理 4 V 中向量 { α 1，α 2，⋯，αs} 生成的 性子空L( α 1，α 2，⋯，αs) 的 数等于向量{ α 1，α 2，⋯，α s} 的秩；向量{ α1，α 2，⋯，αs} 的一个极大 性无关 就是L( α 1，α 2，⋯，α s) 的一个基．向 量 { α 1 ， α 2 ， ⋯ ， α s} 的 一 个 极 大 性 无 关 是j ，j， ，j ，由 性表示的 性，{ α 1，⋯，α s} 中每一个向量可以由12rj 1 , j 2 , j r 性表出，从而 j 1 , j 2 ,j r 是 L( α 1，α 2，⋯，α s) 的一个基．由此得出 L( α1，α 2，⋯，α s) 的 数等于向量{ α 1，α 2，⋯，αs} 的秩．命 6 向量空V 中两个向量 { α1，α 2，⋯，α s} 与{1 ,2 ,，m }生成的子空 相同的充分且必要条件是 两个向量 等价．必要性 若 L( α 1，α 2，⋯，α s)=L(1 ,2 ,， m ) ， 易 两个向量 等价．充分性若α 1，α 2，⋯，α s 与 1 ,2 ,， m 等价， 由 性表出的性， L( α 1, α 2, ⋯，α s) 中任一向量可由 1 , 2,, m 性表出，因此 L( α1, α 2, ⋯，α s)L( 1, 2, ， m ) ．同理，有 L(1 ,2 , ， m ) L( α 1，α2, ⋯，α s) ．所以 L( α 1，⋯，α s)= L(1,， m ) ．讨论、练习与作业课后反思授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点教学方法与手段教学过程第四讲基变换与坐标变换2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式坐标变换公式的应用讲授法启发式一、线性空间的基变换, 基的过渡矩阵设 V/K 是 n 维线性空间 , 设1, 2 ,L , n和1,2 ,L , n是两组基 , 且1t11 1t21 2 Ltn1 n,2t12 1t22 2 Ltn 2 n,L L L L L L L L L L Lnt1n 1t2n 2 Ltnn n.将其写成矩阵形式t11t12 Lt1n( 1 , 2 ,L , n )t 21 t22 L t2 n.( 1, 2 ,L , n ) M M Mtn1tn 2 Ltnn定义 11 我们称矩阵t11t12 Lt1nTt21t22 Lt2nM M Mtn1tn 2 Ltnn为从1,2,L ,n到1,2,L ,n的过渡矩阵.命题 6设在n维线性空间V/K 中给定一组基 1 ,2,L ,n.T是K上一个n 阶方阵 . 命( 1 , 2 ,L , n ) ( 1, 2 ,L , n )T.则有 1, 2 ,L , n 是 V/K 的一组基 , 当且仅当 T 可逆 .证明 : 若1 ,2 ,L ,n 是线性空间 V/K 的一组基 , 则 1 , 2 ,L , n 线性无关 .考察同构映射:VK n ,在 1 ,2,, n 下的坐标 , 构造方程k 1 ( 1 ) k 2 ( 2 ) L k n( n ) 0 , 其中 k i K ,( i 1,2,L , n) ,(k 1 1k2 2L k n n ) 0k 11k 2 2 Lkn n0 ,k 1 k 2 L k n( 1), ( 2 ),L , ( n ) 线性无关 .( 1 ), ( 2 ),L , ( n ) 构成了过渡矩阵的列向量 , 所以过渡矩阵可逆；反过来 , 若过渡矩阵可逆 , 则构造方程k 1 1 k 2 2 L k nn0 , 其中 k i K ,( i 1,2,L , n) ,两边用作用 , 得到 k 1 ( 1) k 2( 2)L k n ( n ) 0 ,k 1 k 2 L k n 0 . 证毕 .二、向量的坐标变换公式；K n 中的两组基的过渡矩阵(1) 向量的坐标变换公式设 V/K 有两组基为 1, 2,L , n 和 1 , 2 ,L , n , 又设 在 1 , 2 ,L , n 下的坐标为a 1,a 2 ,L , a n , 即a 1( 1 , 2,L , n )a2,Ma n在 1 , 2 ,L , n 下的坐标为 (b 1 , b 2 ,L ,b n ) , 即b 1( 1, ,,n ) b2 .2LMb n现在设两组基之间的过渡矩阵为T, 即 (1,2 ,L , n ) ( 1, 2 ,L , n )T.记a1 b1a2, Y b2,XMMa nb n于是( 1 , 2 ,L , n ) X ( 1 , 2 ,L , n )Y [( 1, 2 ,L ,n)T ]Y( 1 , 2, L , n )(TY ).于是 , 由坐标的唯一性, 可以知道X TY ,这就是坐标变换公式.(2)K n中两组基的过渡矩阵的求法我们设 K n中两组基分别为12 L Ln (a11, a12 ,L , a1 n ), 1 (b11,b12 ,L , b1n ), (a21, a22 ,L , a2n ),和2(b21,b22 ,L , b2 n ), L L L L L L L L L L L L L L (a n1 , a n 2 ,L , a nn ). n (b n1 ,b n2 ,L , b nn ).而( 1, 2 ,L , n )( 1 , 2 ,L , n )T.按定义 ,T 的第 i 个列向量分别是i 在基1,2,L ,n下的坐标. 将1, 2 ,L , n和1 , 2 ,L , n看作列向量分别排成矩阵a11 a12 La1nb11b12 Lb1nA a21a22 L a2n ； Bb21b22L b2 n, M M M M M M an1an2 Lannbn1bn2 Lbnn则有 B AT ,将A和B拼成 n 2n 分块矩阵 A | B ,利用初等行变换将左边矩阵 A 化为单位矩阵E, 则右边出来的就是过渡矩阵T, 示意如下 :( A | B) 行初等变换( E | T ) .讨论、练习与作业课后反思授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点教学方法与手段教学过程第五讲线性子空间，子空间的交与和2授课类型讲授通过本节的学习 , 掌握线性子空间的定义、判别定理，掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式线性子空间的定义、判别定理，子空间的交与和的定义及维数公式线性子空间的判别定理，子空间的交与和的定义及维数公式讲授法启发式一、线性空间的子空间的定义定义 12( 子空间 ) 设 V 是数域 K 上的一个线性空间,M 时 V的一个非空子集. 如果 M关于 V内的加法与数乘运算也组成数域K 上的一个线性空间, 则称为 V 的一个子空间 .命题 7设V是K上的线性空间,又设一个非空集合W V ,则 W 是子空间当且仅当下述两条成立:i) W对减法封闭；ii)W 对于K中元素作数乘封闭.证明 : 必要性由定义直接得出；充分性 : 各运算律在V 中已有 , 所以 W满足运算律的条件.只需要证明 0 W 且对于任意W ,W ,且对加法封闭即可.事实上 , 由于W关于数乘封闭, 则0 ?0 W ；( 1) ?W ,于是对于,W ,() W ,W关于加法封闭.于是W是V的一个子空间 .证毕.事实上 ,W 关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题 8设W是V的一个有限维子空间, 则 W的任一组基可以扩充为V 的一组基 .证明 : 设dimV n , dimW r ,(r n) ,若 r n ,则命题为真；若 r n ,对 n r 作归纳:设1,2,L ,r为W的一组基,取r 1V W ,则1, 2 ,L , r , r 1 线性无关 . 于是令 W '{k r 1 |W , k K } , 易见 ,W ’是 V 的一个子空间, 且 dim W 'r1 , 此时ndim W 'n r1 , 对其用归纳假设即可.二、子空间的交与和, 生成元集定义13设1,2,L,tV, 则k11k 2 2Lk tt | k iK ,i1,2, L , t是 V 的一个子空间, 称为由1,2,L , t 生成的子空间, 记为L(1 ,2,L ,t ) .易见 , 生成的子空间的维数等于1,2,L ,t 的秩 .定义14( 子空间的交与和)设 V 1 ,V 2 为线性空间V/K 的子空间, 定义V 1 I V 2{ vV 1且vV 2 } , 称为子空间的 交；V 1V 2{ v 1v 2|v 1V 1, v 2V 2}, 称为子空间的 和.命题9V 1 I V 2 和 V 1V 2 都是V 的子空间.证明 : 由命题4.7, 只需要证明V 1 IV 2 和 V 1V 2 关于加法与数乘封闭即可.事实上, ,V 1 I V 2 , 则,V 1 ,,V 2 . 由于 V 1,V 2 均是V 的子空间 ,则V 1,V 2 ,于是V 1 IV 2, V 1 I V 2关于加法封闭；V 1 I V 2 ,kK ,kvV 1, kvV 2 ,于是kvV 1 I V 2 ,V 1 I V 2 关于数乘封闭.,V 1 V 2 ,则 由V 1 V 2 的 定 义 , 1,1V 1 ,2, 2V 2, 使 得12,12 , 而1 1V 1,22V 2 , 则(12 )(12 )(11)(22 ) V 1 V 2 ,V 1V 2关 于 加 法 封 闭 ；V 1V 2 , kK,1V 1 ,2V 2 ,使 得1 2,由于k1V 1 , k2V 2,则kk(12)k 1k2V 1V 2 ,V 1V 2 关于数乘封闭. 证毕 .命 题 10 设 V 1 ,V 2 ,L ,V m 是 V 的 子 空 间 ,则 V 1 I V 2 I LI V m 和V 1 V 2 L V m 均为 V 的子空间 .三 . 维数公式 .定理 1设 V 为有限维线性空间 , V 1 ,V 2 为子空间 , 则dim(V 1 V 2 ) dim V 1 dim V 2 dim( V 1 I V 2 ) .这个定理中的公式被称为 维数公式 .证明 : 设 dim V 1 s , dim V 2 t , dim(V 1 V 2 ) n , dim( V 1 I V 2 ) r , 取V 1 I V 2 的一组基1,2 ,L , r ( 若 V 1 I V 2 =0, 则 r0 , 基为空集 ), 将此基分别扩充为 V 1,V 2 的基1, 2 ,L , r , 1 , 2 ,L , s r ,1, 2 ,L , r , 1 , 2 ,L , t r ,只需要证明1,2 ,L , r , 1 , 2,L, s r , 1,2 ,L , t r 是 V 1V 2 的一组基即可 .首 先 , 易 见V 1 V 2 中 的 任 一 向 量 都 可 以 被1,2 ,L , r , 1,2 ,L ,s r , 1,2,L , t r 线性表出 . 事实上 , V 1 V 2 , 则12 , 其中 1V 1 , 2 V 2 , 而1 k1 1k2 2Lk r rkr 11kr 2 2L ks s r,2l 1 1l 2 2 L l r r l r 1 1 l r 2 2 Ll tt r . k i ,l j K于 是12 可 被 1 , 2 ,L , r , 1, 2 ,L , l r , 1 , 2 ,L , t r 线 性 表出 . 只要再证明向量组1, 2,L, r ,1 , 2,L , l r ,1, L,t r线性无关即2,可.设k1 1k2 2L kr ra 1 1a2 2L as r s rb 1 1b2 2L bt r t r0,其中 k i , a j ,b h K .则k1 1k2 2L kr ra1 1a2 2L as r s rb1 1b2 2L bt r t r(*)于是k1 1k2 2Lkr ra1 1a2 2Las r s rV1,b1 1 b2 2 L b t r t r V2,于是 k1 1 k2 2 L k r ra1 1a2 2 L a s r s r V1 I V2,记为.则可被1 , 2,L , r线性表示 , 设h1 1h2 2 L h r r,代入 (*), 有h1 1h2 2 L h r rb1 1b2 2 L b t r t r 0 ,由于1 , 2 ,L , r,1,2 ,L , t r是 V2的一组基,所以线性无关,则h1 h2 L h r b1 b2 L b t r 0 ,代回 (*), 又有k1 k2 L k r a1 a2 Las r 0 ,于是向量组1 , 2 ,L , r,1,2 ,L , s r,1,2 ,L , t r线性无关 . 证毕 .推论 1 设 V1 ,V2 ,L ,V t 都是有限为线性空间V 的子空间 , 则 :dim(V1 V2 L V t ) dim V1 dim V2 L dim V t.证明 : 对 t 作归纳 .讨论、练习与作业课后反思授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点教学方法与手段教学过程第六讲子空间的直和2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握子空间的直和与补空间的定义及性质子空间的直和的四个等价定义子空间的直和的四个等价定义讲授法启发式一、子空间的直和与直和的四个等价定义定义设V是数域K上的线性空间,V1, V2,L,V m是V 的有限为子空间. 若对m于V i中任一向量,表达式i 112 L m,i V i ,i 1,2,L , m .m是唯一的 , 则称V i 为直和 , 记为i 1mVV1 V L V m或.2 i 1 i定理设 V1,V2 ,L ,V m为数域K上的线性空间V上的有限为子空间, 则下述四条等价 :1) V1V2L V m是直和；2)零向量表示法唯一；3) V I (V L ? L V ) {0}, i 1,2, L , m ；Vi 1 i m4) dim( V1 V2 L V m ) dim V1 dim V2 L dim V m.证明 : 1) 2) 显然 .2)1) 设12Lm12Lm,则( 1 1 )( 2 2 )L(m m )0 .由 2) 知 , 零向量的表示法唯一, 于是i i , i 1,2,L , m ,即的表示法唯一 . 由直和的定义可知 , V1V2L V m是直和 .2)3)假若存在某个i,1 i m,使得V i I (V1 L?L V m ) {0} , 则存在向量0 且V iV i I (V1 L?L V m ) , 于是存在j V j,使得V i1 L ?i L m.由线性空间的定义 ,?V i I (V1L V i L V m ) ,则1L( )L m( ) 0 ,与零向量的表示法唯一矛盾, 于是?V i I (V1L V i L V m ) {0}, i 1,2,L ,m .3)2) 若2)不真,则有01L i L m ,其中j V j ( j 1,2,L , m) 且i0 .于是i1 L ?i L?L V m ) , m V i I (V1 L V i与3) 矛盾 , 于是 2) 成立 .3)4) 对m作归纳.①m =2时,由维数公式得到dim( V1 V2 ) dim V1 dim V2 dim(V1 I V2 ) dim V1 dim V2.②设 m 1( m 3) 已证,则对于 m ,dim(V1 V2 L V m) dimV m dim(V1 V2 L V m 1) dim(V m I (V1 V2 L V m 1 ))dimV m dim(V1 V2 L V m 1),而i ,1 i m 1 ,都有V i I (V1 L垐L V m 1 ) V i I (V1 L V i L V m) {0} ；V i由归纳假设, 可以得到dim(V1V2 L V m) dim V1 dim V2 L dim V m.4) 3) i ,1 i m ,都有dim(V i I (V1 L垐L V m)) dim(V i) dim(V1 L V i L V m) dim(V1 V2 L V m) 0 V i,于是V i I (V1 L?L V m ) {0}, i 1,2, L ,m .证毕. V i推论设V1 ,V2为V的有限维子空间, 则下述四条等价 :i)V1 V2是直和；ii)零向量的表示法唯一；iii)V1 I V2 {0} ；iv)dim( V1 V2 ) dim V1 dim V2.二、直和因子的基与直和的基命题设 V V1V2LV m,则 V1,V2 ,L ,V m的基的并集为V 的一组基 .证明 : 设i1,i 2,L ,i r 是 V i的一组基,则V 中任一向量可被im mU{i1,i2,L , i ri } 线性表出. 又 dim V dim Vi r1 r2 L r m,由命题i 1 i 14.5, 它们线性无关 , 于是它们是 V 的一组基 . 证毕 .三、补空间的定义及存在性定义设 V1为V的子空间,若子空间 V2满足 V V1 V2,则称为 V1的补空间.命题有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明 : 设V1为 K 上的 n 为线性空间V 的非平凡子空间 , 取V1的一组基1, 2 ,L , r,将其扩为V的一组基1, 2 ,L , r , r 1, r 2 ,L , n取V2L( r 1 , r 2 ,L , n ) ,则有V V1V2,且 dim V1dim V2n dim( V1V2 ) , 于是 V V1V2,即 V2是 V1的补空间.证毕.讨论、练习与作业课后反思授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点教学方法与手段教学过程第七讲线性空间的同构2授课类型讲授通过本节的学习, 掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定线性空间同构的判定线性空间同构的判定讲授法启发式一、线性映射的定义定义设 U ,V 为数域K上的线性空间,: U V 为映射,且满足以下两个条件 :i) ( ) ( ) ( ), ( , U ) ；ii) (k ) k ( ), ( U , k K ) ,则称为 ( 由U到V的 ) 线性映射 .由数域 K 上的线性空间 U 到 V 的线性映射的全体记为Hom K(U ,V ) , 或简记为 Hom .(U ,V )定义中的 i) 和 ii) 二条件可用下述一条代替:(k l ) k ( ) k ( ), ( ,U , k, l K ) .例M m n ( K ) 是 K 上的线性空间, M s n (K ) 也是 K 上线性空间,取定一个K 上的s m 矩阵A,定义映射: M m n ( K ) M s n (K ),x a AX .则是由 M m n ( K ) 到 M s n ( K ) 的线性映射.例考虑区间 (a, b) 上连续函数的全体, 它是 R上的线性空间, 令U L(1,sin x,sin 2 x,L ,sin nx),V L(1,cosx,cos 2 x,L ,cos nx).再令:U V ,f (x) a AX .则是由 U 到 V 的一个线性映射.定义设:U V 是线性映射i) 如果是单射,则称是单线性映射(monomorphism)；ii)如果是满射,则称是满线性映射(endmorphism)；iii) 如果既单且满,则称为同构映射(简称为同构,isomorphism),并说U 与 V 是同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism) ,同构映射的逆映射也是同构映射；iv)的核 (kernel)定义为ker{U | ( ) 0} ；v)的像 (image) 定义为im={V |U , s.t ( )} ,也记为(U ) ；命题ker和im是V的子空间.证明 : 容易证明它们关于加法和数乘封闭.vi)的余核定义为coker V/im.命题线性映射 f 是单的当且仅当ker f { 0} , f 是满的当且仅当coker f{ 0} .定理 ( 同态基本定理)设f : U V 是数域K 上的线性空间的满线性映射, 则映射:U / ker f V ,ker f a f ().是同构映射 .证明 : 首先证明是映射 , 即若' U / ker f ,则 ( ) ( ') .由于' ,存在ker f ,使得' .于是f ( ) f ( ' ) f ( ') f ( ) f ( ') ,即( )(') .再证明 是线性映射 ., U / ker , k, l K , 有 (kl ) f (kl ) kf ( ) lf ( ) k ( ) l ( ) .易 见是 满 射 , 且 有 Vim f . 只 要 再 证 明是 单 射 即 可 , 即 证 明ker{0} . 设ker , 则 ( ) f ( )0 , 于是ker f , 即有0 .证毕 .命题 设 : UV 是线性映射 , dimUn , 则下述三条等价 :i)单；ii) 将 U 中任意线性无关组映为 V 中的线性无关组；iii)dim (U ) n .证明 : i)ii) 若 1, 2 ,L ,tV 线性无关 , 则令k 1 ( 1) k 2 ( 2 ) Lk t ( t ) 0,由 线 性 映 射 的 定 义 ,(k 1 1 k 2 2 Lk t t ) 0 .单 , 于 是k1 1k2 2Lk t t 0 , 则 k 1 k 2 L k t 0 ,ii) 成立；ii) iii)若 取 U 的 一 组 基1,2 ,L , n , 则 由 已 知 ,( 1 ), ( 2 ),L , ( n ) 线 性 无 关 , 而 im中 任 意 向 量 可 以 被( 1 ), ( 2 ),L , ( n ) 线性表出 , 于是( 1), ( 2 ),L, ( n ) 构成 im 的一组基,iii)成立；iii)i) 由 同 态 基 本 定 理 知 U / ker im, 于 是dim U dimker dimim dimker 0 , 即有 ker {0} . 证毕 .讨论、练习与作业课后反思。