第７章 微分方程练习题习题７.11．选择题 （1）（ ）是微分方程（（A ））dx x dy )14(-=． (（B ）) 12+=x y ． (（C ）) 0232=+-y y ． (（D ）)⎰=0sin xdx ． （2）( )不是微分方程（（A ））03=+'y y ． (（B ）) x x dxyd sin 322+=． (（C ）) 0232=+-y x y ． (（D ）) 0)()(2222=-++dy y x dx y x ．（3）微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为（ ）(（A ）) 2． (（B ）) 3． (（C ）) 1． (（D ）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）25,2x y y y x =='． （ ）(2) C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx+==+arccos ,0sin . ( )(4) xy y x y 1,22=+=''. ( ) 习题7.21．解微分方程(1) x dx dy 1=． (2) 2211xy dx dy --=．(3) yx e y -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x y y xy y x ．2．解微分方程(1) 0)()(=-+'+y x y y x ． (2) dxdyxydx dy x y =+22． (3) xyx y y tan +='．3．解微分方程 (1) xey y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ．1．选择题 （1）（ ）是微分方程（（A ））dx x dy )14(-=． (（B ）) 12+=x y ． (（C ）) 0232=+-y y ． (（D ）)⎰=0sin xdx ． （2）( )不是微分方程（（A ））03=+'y y ． (（B ）) x x dxyd sin 322+=． (（C ）) 0232=+-y x y ． (（D ）) 0)()(2222=-++dy y x dx y x ．（3）微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为（ ）(（A ）) 2． (（B ）) 3． (（C ）) 1． (（D ）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）25,2x y y y x =='． （ ）(2) C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx+==+arccos ,0sin . ( )(4) xy y x y 1,22=+=''. ( ) 习题7.21．解微分方程(1) x dx dy 1=． (2) 2211xy dx dy --=．(3) yx e y -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x y y xy y x ．2．解微分方程(1) 0)()(=-+'+y x y y x ． (2) dxdyxydx dy x y =+22． (3) xyx y y tan +='．3．解微分方程 (1) xe y y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ．(3)3,12=+=+=x y xx x y dx dy ．(4) 2y x y dx dy +=． (5) yy x y 2sin cos 1+='．习题7.31．解下列微分方程(1) 2x y =''． (2) 2,1,300='==''==x x y y y y ．(3) x y y ='-''． (4) 0='+''y y x ．(5) 0)(2='-'-''y y y y ． (6) 1,1,00='=''='==x x y y y y y ．2．解下列微分方程（1）02=-'+''y y y ． (2) 09=-''y y ．(3) 044=+'+''y y y ． (4) 0,2,03400='-==+'-''==x x y y y y y ．(5) 0,2,04400='==+'+''==x x y y y y y ．3．解下列微分方程(1) 1332+=-'-''x y y y ． (2) xe y y y 232=-'-''．(3) 733,76,910002='==+'-''==x x xy y e y y y ．(4) x y y y 2sin 82=-'+''． (5) x y y sin =+''．(6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y y x y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的某湖泊在t 时的污染物总量，若污染源已排除．当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk时，求99％污染物被清除的时间．5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=（N ）的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xy y y y 阶数是（ ） （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4．2．下列函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是（ ）（A ）x y cos =； （B ）x y =； （C ）x y sin =； （D ）xe y =． 3．下列方程中是一阶线性方程的是（ ）（A ）0ln )3(=--xdy xdx y ； （B ）xyy dx dy 212-=；（C ）x x y y x sin 22+='； （D ）02=-'+''y y y ． 4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y 特解是（ ）（A ）xxe e y 33+=； （B ）xxe e y 332+=； （C ）xxe e y 324+=；（D ）xxe C e C y 321+=． 5．在下列微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是（ ）（A ）0='-''y y ； （B ）0='+''y y ； （C ）0=+''y y ； （D ）0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为（ ）（A ）2ax ； （B ）c bx ax ++2； （C ）)(2c bx ax x ++； （D ）)(22c bx ax x ++．7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为（ ） （A ）x b sin ； （B ）x a cos ； （C ）x b x a sin cos +； （D ）)sin cos (x b x a x +． 二、填空题 9．微分方程x x y dxdyxsin 2+=的通解是 ． 10．微分方程03=+''y y 的通解是 ． 11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是 ．12．以 xx e C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为 ． 13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,200='===x x y y 的特解是 ．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是 ．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为 ． 16．已知21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为 ．三、计算题17．求下列微分方程的通解(1) 21xxy dx dy +=． (2) x y y cos =+'．(3) 0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ． (4) x y y sin =+''．(5) 02=-'-''y y y ． (6) x y y y 2345-=+'+''．18．求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,06500='==+'-''==x x y y y y y ．(3) 211,3,4151640023-='==+'+''==-x x x y y e y y y ．(4) 1,0,cos 295200='=='+''==x x y y x y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2．20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C ︒37按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为C ︒31 ，且周围气温保持C ︒20不变．（1）求尸体温度H 与时间t(h)的函数关系，并作函数草图． （2）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是C ︒25，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比（比例系数为k 1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k 2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．(3)3,12=+=+=x y xx x y dx dy ．(4) 2y x y dx dy +=． (5) yy x y 2sin cos 1+='．习题7.31．解下列微分方程(1) 2x y =''． (2) 2,1,300='==''==x x y y y y ．(3) x y y ='-''． (4) 0='+''y y x ．(5) 0)(2='-'-''y y y y ． (6) 1,1,00='=''='==x x y y y y y ．2．解下列微分方程（1）02=-'+''y y y ． (2) 09=-''y y ．(3) 044=+'+''y y y ． (4) 0,2,03400='-==+'-''==x x y y y y y ．(5) 0,2,04400='==+'+''==x x y y y y y ．3．解下列微分方程(1) 1332+=-'-''x y y y ． (2) xe y y y 232=-'-''．(3) 733,76,910002='==+'-''==x x xy y e y y y ．(4) x y y y 2sin 82=-'+''． (5) x y y sin =+''．(6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y y x y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的某湖泊在t 时的污染物总量，若污染源已排除．当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk时，求99％污染物被清除的时间．5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=（N ）的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xy y y y 阶数是（ ） （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4．2．下列函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是（ ）（A ）x y cos =； （B ）x y =； （C ）x y sin =； （D ）xe y =． 3．下列方程中是一阶线性方程的是（ ）（A ）0ln )3(=--xdy xdx y ； （B ）xyy dx dy 212-=； （C ）x x y y x sin 22+='； （D ）02=-'+''y y y ．4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y 特解是（ ）（A ）xxe e y 33+=； （B ）xxe e y 332+=； （C ）xxe e y 324+=；（D ）xxe C e C y 321+=． 5．在下列微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是（ ）（A ）0='-''y y ； （B ）0='+''y y ； （C ）0=+''y y ； （D ）0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为（ ）（A ）2ax ； （B ）c bx ax ++2； （C ）)(2c bx ax x ++； （D ）)(22c bx ax x ++．7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为（ ） （A ）x b sin ； （B ）x a cos ； （C ）x b x a sin cos +； （D ）)sin cos (x b x a x +． 二、填空题 9．微分方程x x y dxdyxsin 2+=的通解是 ． 10．微分方程03=+''y y 的通解是 ． 11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是 ．12．以 xxe C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为 ． 13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,200='===x x y y 的特解是 ．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是 ．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为 ．16．已知21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为 ．三、计算题17．求下列微分方程的通解 (1) 21xxy dx dy +=． (2) x y y cos =+'．(3) 0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ．(4) x y y sin =+''．(5) 02=-'-''y y y ．(6) x y y y 2345-=+'+''．18．求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,06500='==+'-''==x x y y y y y ．(3) 211,3,4151640023-='==+'+''==-x x x y y ey y y ．(4) 1,0,cos 295200='=='+''==x x y y x y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2．20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C ︒37按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为C ︒31 ，且周围气温保持C ︒20不变．（1）求尸体温度H 与时间t(h)的函数关系，并作函数草图．（2）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是C ︒25，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比（比例系数为k 1）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k 2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．。