2x
a 2 ex x .



1 1 , x ln . a a
1 1 时， f ' x 0 ，所以 f x 在 , ln 上递减； a a
1 1 时， f ' x 0 ，所以 f x 在 ln , 上递增. a a
1 2
1 2
y ln x ， y e x 1 1 ， y x 2 x ， y 1
1 ， y x ln x . x
常用的找点技巧
第二组：指数放缩
x x x （放缩成一次函数） e x 1 ， e x ， e ex ，
1 1 x 0 ， ex x 0 ， 1 x x 1 x 2 （放缩成二次函数） e x ， e x 1 x x 2 x 0 ， 2
（放缩成类反比例函数） e x 第三组：指对放缩
当 x ln
综上，当 a 0 时， f x 在 R 上递减；当 a 0 时， f x 在 , ln

1 1 上递减，在 ln , 上递增. a a 1 1 1 1 ln 0 . a a a
（2） f x 有两个零点，必须满足 f x min 0 ，即 a 0 ，且 f x min f ln 构造函数 g x 1 x ln x ， x 0 . 易得 g ' x 1 又因为 g 1 0 ，所以 1
（放缩成类反比例函数） ln x 1
2 x 1 2x 1 ， ln x x 0 0 x 1 ， ln x 1 x2 x x 1
ln 1 x
2 x 1 x 2x ， ln x x 0 x 1 ， ln 1 x 1 x 2 x x 1
导数大题的常用找点技巧和常见模型
湖南邵阳杨歆琪
【引子】 （2017 年全国新课标 1·理·21）已知 f x ae （1）讨论 f x 的单调性； （2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围. 解析： （1） f ' x 2ae2 x a 2 e x 1 2e x 1 ae x 1 若 a 0 ，则 f ' x 0 恒成立，所以 f x 在 R 上递减； 若 a 0 ，令 f ' x 0 ，得 e x 当 x ln
1 ，∴ h x min h 1 1 ，所以 h x 0 ，即 x ln x . x
a ea e2 2 a a2 1 0， 当 0 a 1 时， f 1 2 e e e2
3 a 3 3 3 3 3 f ln a 1 a 2 1 ln 1 1 ln 1 0 ， a a a a a a
其中 1 ln
2
1 1 3 a 1 3 a 1 ， ln ln ，所以 f x 在 1, ln 和 ln , ln 上各有一个零点. a a a a a a
故 a 的取值范围是 0,1 .
注意：取点过程用到了常用放缩技巧。
一方面： ae
ln x x
1 1 x 1 ， ln x x 0 x 1 ， x x
1 2 1 x 1 x 0 ， ln 1 x x x 2 x 0 2 2
2 （放缩成二次函数） ln x x x ， ln 1 x x
e x ln x x 1 x 1 2
第四组：三角函数放缩
sin x x tan x x 0 ， sin x x x 2 ， 1 x 2 cos x 1 sin 2 x .
第五组：以直线 y x 1 为切线的函数
1 2
1 0 ，所以 g x 1 x ln x 单调递减. x
1 1 1 1 ln 0 g g 1 1 0 a 1 . a a a a
下面只要证明当 0 a 1 时， f x 有两个零点即可，为此我们先证明当 x 0 时， x ln x . 事实上，构造函数 h x x ln x ，易得 h ' x 1
常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）
第一组：对数放缩 （放缩成一次函数） ln x x 1 ， ln x x ， ln 1 x x ， ln x （放缩成双撇函数） ln x
x . e
1 1 1 1 x x 1 ， ln x x 0 x 1 ， 2 x 2 x
2x
a 2 e x x ae x a 3 0 e x
2x
3 a 3 x ln 1 ； a a
另一方面： x 0 时， ae
a 2 e x x 0 a 2 e x x 0 x 1 （目测的）