图 1 晶向指数的确定方法
图 2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向 上， 那就需要选取该晶向上两点的坐标 P(x1， y1， z1)和 Q(x2， y2， z2)， 然后将(x1-x2)， (y1-y2)，
(z1-z2)三个数化成最小的简单整数 u， v， w， 并使之满足 u∶v∶w=(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2)。 则[uvw]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指 数的数字相同，但符号相反，如图 3 中[0 1 0 ]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用<uvw>表示，数字 相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密 度相同的等同晶向称为晶向轴，用<UVW>表示。 <100>：[100] [010] [001] [ 1 00 ] [ 0 1 0 ] [ 00 1 ] <111>：[111] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 11 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 11 1 ]
图 11 六方晶体中常见的晶面 （2）六方晶系晶向指数的标定 采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个 轴分解成四个分量，晶向 OP 可表示为：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]表示，其中 t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图 12 中 a1 轴为[ 2 1 1 0 ]，a2 轴[ 1 2 1 0 ]， a3 轴[ 1 1 20 ]均属〈 2 1 1 0 〉 ，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]， 再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C 轴垂直底面，a1、a2 轴在底面上，其夹角 o 为 120 ，如图 12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列 相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如 [100] ， [010] ， [ 1 1 0 2 晶面指数的确定 国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（h k l）。图 4 中的红色晶 面为待确定的晶面，其确定方法如下。
图 4 晶面指数的确定 (1)建立一组以晶轴 a，b，c 为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐 标长度单位分别是晶胞边长 a，b，c。 (2)求出待标晶面在 a，b，c 轴上的截距 xa，yb，zc。如该晶面与某轴平行，则截距为∞。 (3)取截距的倒数 1/xa，1/yb，1/zc。 (4)将这些倒数化成最小的简单整数比 h，k，l，使 h∶k∶l= 1/xa∶1/yb∶1/zc。 (5)如有某一数为负值， 则将负号标注在该数字的上方， 将 h， k， l 置于圆括号内， 写成(hkl)， 则(hkl)就是待标晶面的晶面指数。 说明：晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。 a 指数意义：代表一组平行的晶面；
图 13 中标出了六方晶体中各重要晶向的四指数，它们是[0001]， 等。
图 13 六方晶体中常见的晶向 除上述几个特殊晶向外，对一般的晶向，很难直接求出四指数[UVTW]，因为很难保证在 沿 a1，a2，a3 和 c 轴分别走了 U，V，T 和 W 步后既要到达晶向上的另一点，又要满足条件 T=-(U+V)。比较可靠的标注指数方法是解析法。该法是先求出待标晶向在 a1，a2 和 c 三个轴 下的指数 u，v，w（这比较容易求得），然后按以下公式算出四指数 U，V，T，W。
图 12 六方晶系的一些晶面与晶向指数 六方晶系按两种晶轴系所得的晶向指数可相互转换如下 u 1 3 (2U V ) ，
v1 3 (2V U ) ， t (u v) ， w W 。例如，[ 1 1 0 ]→[ 1 1 20 ]，[100]→[ 2 1 1 0 ]，
[010]→[ 1 2 1 0 ]，这样等同晶向的晶向指数的数字都相同。 标定方法通常采用行走法。 用行走法确定六方晶体的四轴晶向指数时， 会遇到一个新的 问题，即解是不唯一的。例如，a1 轴的指数可以是 以是 ，也可以是[2000]；a2 轴的指数可
，也可以是[0200]。分析各种等价晶向的四指数后发现，要想使等价晶向具有
类似的四指数，就需要人为地附加一个条件，即前三个指数之和为零。若将晶向指数写成 [UVTW]，则上述附加条件可写成：U+V+T=0，或 T=-(U+V)。按照这个附加条件，上述 a1 轴的 指数就应该是 ，而不是[2000]；同样，a2 和 a3 轴的指数分别是 和 ， 。 等
图 10 六方晶体的四轴系统 （1）六方晶系晶面指数的标定 六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，从待标晶面在 a1，a2，a3 和 c 轴上的截距可求得相应的指数 h，k，i，l，于是晶面指数可写成(hkil)。 根据几何学可知， 三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。 应用上述方法标定的晶面指 数形式上是 4 个指数，但是不难看出，前三个指数中只有两个是独立的，它们之间有以下的 关系：i = -( h + k )，因此，可以由前两个指数求得第三个指数。 六方晶体中常见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图 11 中。从图看出，采用四指 数后，同族晶面（即晶体学上等价的晶面）就具有类似的指数。例如： 共 6 个等 价面(Ⅰ型棱柱面)。 共 6 个等 价面(Ⅱ型棱柱面)。 而 {0001} 只包括 (0001) 一个晶面，称为基面。六方晶体中比较重要的晶面族还有 ，请读者写出其全部等价面。
从以上各例可以看出，立方晶体的等价晶面具有“类似的指数”，即指数的数字相同，只是 符号（正负号）和排列次序不同。这样，我们只要根据两个（或多个）晶面的指数，就能判 断它们是否为等价晶面。另一方面，给出一个晶面族符号{hkl}，也很容易写出它所包括的 全部等价晶面。
对于非立方晶系， 由于对称性改变， 晶面族所包括的晶面数目就不一样。 例如正交晶系， 晶面(100)，(010)和(001)并不是等同晶面，不能以{100}族来包括。 与晶面族类似，晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用<uvw>表 示。仿照上例，读者可以写出在立方晶系中的<100>，<110>，<111>，<112>和<123>等晶向 族所包括的等价晶向。 以后， 在讨论晶体的性质(或行为)时,若遇到晶面族或晶向族符号， 那就表示该性质 （或 行为） 对于该晶面族中的任一晶面或该晶向族中的任一晶向都同样成立， 因而没有必要区分 具体的晶面或晶向。 另外，在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl]⊥(hkl)。 4.六方晶系指数表示 上面我们用三个指数表示晶面和晶向。这种三指数表示方法，原则上适用于任意晶系。 对六方晶系，取 a，b，c 为晶轴，而 a 轴与 b 轴的夹角为 120°，c 轴与 a，b 轴相垂直，如 图 9 所示。
1.4 晶向指数和晶面指数 一 晶向和晶面 1 晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某 些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线 的指向。 2 晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原 子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。 材料的许多性质和行为 （如各种 物理性质、力学行为、相变、X 光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以， 为了研究和描述材料的性质和行为， 首先就要设法表征晶面和晶向。 为了便于确定和区别晶 体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指 数。 二 晶向指数和晶面指数的确定 1 晶向指数的确定方法 三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图 1 所示。 (1)建立以晶轴 a，b，c 为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长 a，b， c，坐标原点在待标晶向上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点 P(xa，yb，zc)。 (3)将 xa，yb，zc 化成最小的简单整数比 u，v，w，且 u∶v∶w = xa∶yb∶zc。 (4)将 u，v，w 三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图6
图 7 晶面指数的标注 所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然不同， 但它们是成比例的， 其倒数也仍然 是成比例的，经简化可以得到相应的最小整数。因此，所有相互平行的晶面，其晶面指数相
同，或者三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相互 平行的晶面。
图 8 立方晶胞的{110}、{111}晶面族 3 关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以下几点说明： (1)参考坐标系通常都是右手坐标系。坐标系可以平移（因而原点可置于任何位置） 。但 不能转动，否则，在不同坐标系下定出的指数就无法相互比较。 (2)晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字上方，如（ 1 23 ） ， [ 2 1 1 ]等。 (3)若各指数同乘以不等于零的数 n，则新晶面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶 向或是同向(当 n>0)，或是反向(当 n<0)。但是，晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和 晶向长度（两个相邻结点间的距离）一般都会改变，除非 n=1。
b 0 的意义：面与对应的轴平行； c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反； d 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相同） ，空间位向不同的各 组晶面，用{hkl}表示。 在立方系中，{100}： （100） （010） （001） ，{110}： （110） （101） （011） （ 1 10） （ 1 01） （0 1 1） ， {111}： （111） （ 1 11） （1 1 1） （11 1 ） e 若晶面与晶向同面，则 hu+kv+lw=0; f 若晶面与晶向垂直，则 u=h, k=v, w=l。 立方系常用晶面指数图 5。