对称面可以是垂直等分某些晶面的平面， 或是包含某些晶棱的平面。
3.3.ห้องสมุดไป่ตู้ 对称轴 对称轴为一假想的直线，对应的对称变换为围绕此 直线的旋转，每转过一定角度，各等同部分就发生 一次重复。旋转一周重合的次数叫轴次，用n表示； 整个物体复原需要的最小转角则称为基转角。
n
360


n=1，为一次轴，国际符号为1。
3.3.2 对称面 对称面为假想的平面，相 应的对称操作为对此平面 的反映。习惯符号为P，国 际符号为m。 如果m和xy平面一致，那么 对称变化矩阵为：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
3.3.2 对称面
如果m和xz以及yz平面一致，那么相应的对 称转换矩阵则可分别表示为：
3.3.4 倒转轴
3.3.4 倒转轴
3.3.4 倒转轴 我们可以得出各次倒转轴与其它对称要素（或 对称要素的联合）间的等效关系如下： Li1=L1+C=C Li2=L2+P=P (P Li2)
Li3=L3+C
Li6=L3+P
(L3 Li3)
(L3 Li6, P L3)
只有Li4是一个独立的对称要素，不能由其 他简单或它们的联合来等效代替。
二、三、四、六次轴，国际符号分别记为2，3， 4，6。对称轴的习惯符号用Ln表示。
3.3.3 对称轴
晶体对称定律（law of crystal
symmetry）：在晶体中，只可能出现轴
次为一次、二次、三次、四次和六次的
对称轴，而不存在五次及高于六次的对 称轴。
3.3.3 对称轴
a 2a cos ma cos ( m 1) / 2
1 0 0 4[001]2 0 1 0 0 0 1
4
3
[001]
0 1 0 1 0 0 0 0 1
3.3.3 对称轴
六次轴的变换矩阵:
6[001] 1 2 3 2 0 3 2 1 2 0 0 0 1 1 2 3 2 6[001] 2 0
3.3.3 对称轴 因此，r到r'变换的解析式是∶
又可写成r'=Rr ，式中R是变换矩阵
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
教材P.26
3.3.3 对称轴
更一般的情况，r绕任意方向的单位矢量 S=uX1+vX2+wX3（把S记作[uvw]）转动角到达r 的变换矩阵是:
1 0 0 0 1 0 0 0 1
3.3.1 对称心
如果通过对称中心作任意一直线，则此直 线上距对称直线等距离的两端，必为可找 到的对应点。 一个具有对称心的图形，其相对应的面、 棱、角都体现为反向平行。 可以推论出，晶体中若存在对称心，其晶 面必然两两平行而且相等。这一点可以用 作判别晶体或晶体模型有无对称心的依据。
3.3.4 倒转轴
对于倒转轴，通常只考虑其中的Li4和Li6两者， Li4作为一种独立的对称要素，自然是必须考虑 的。Li6虽与L3+P的联合等效，但它在对称分类中 有特定的意义（属六方晶系），所以我们采用 Li6代替L3+P的联合。
在晶体中，独立的Li4和Li6出现的可能情况是：一 个晶体，如没有C，但有一L3，且垂直此L3还有一 个P时，则在此L3的方向上肯定有一个Li6存在； 一个晶体，如没有C，但有L2时，则此L2可能就是 一个Li4，但并非必定就是一个Li4；若确为Li4时， 则此L2将被包含在Li4之间而不再独立存在。
a11 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
称为对称变换矩阵。对任一对称操作，都有惟 一的对称变换矩阵与之对应。
3.3.1 对称心 对称心为一假想的几何 点，相应的对称操作是 对于这个点的反伸。这 个对称操作的习惯符号 为C，国际符号记为 1
3.3.3 对称轴
二次轴的变换矩阵：
1 0 0 2[001] 0 1 0 0 0 1
3.3.3 对称轴
三次轴的变换矩阵:
3.3.3 对称轴 因为三次旋转轴也常选用 仿射坐标系：a1、a2轴的 单位矢量长度相同夹角为 120o，a1、a2轴都垂直于c 轴。
3.1 对称的概念
3.1 对称的概念
对称（symmetry）:物体（或图形）中相同部分之 间有规律的重复。对称的定义说明，对称的物体或 图形，至少由两个或两个以上的等同部分组成，对 称的物体通过一定的对称操作(即所谓的“有规 律”)后，各等同部分调换位置，整个物体恢复原 状，分辨不出操作前后的差别。例如建筑物的左右 两边可以通过中平面反映彼此重合。
3.3.4 倒转轴 倒转轴同样遵守晶体对称定律，只有一次、 二次、三次、四次和六次，国际符号分别 记为 1 ， 2 ， 3 ， 和 6 。习惯符 4 号为Lin，n为轴次。 变换矩阵
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
早春寒谷寒春早 林木香茶香木林 叠叠青山青叠叠 森森暮竹暮森森 美兰雨舍雨兰美 金果田中田果金 燕喜天霄天喜燕 音回一曲一回音
3.2 晶体的对称 晶体的对称具有如下特点： 晶体的对称不仅仅体现在外形上，同时也体现在其物 理性质上（如光学、力学和电学性质等）。其对称不 仅包含几何意义，也包含了物理意义。 晶体的对称性主要特征在于，晶体是由在三维空间规 则排列的原子或原子基团组成的。通过平移，可使之 重复。这种规则的重复就是平移对称的一种形式。所 以说，从微观角度，所有的晶体都是对称的。 晶体的对称性同时受到格子构造的限制，只有符合格 子构造规律的对称才能在晶体上出现，因此，晶体的 对称是有一定限制的。
1 2 3 5 6[001] 2 0
3 2 1 2 0
0 0 1
3.3.3 对称轴 选用仿射坐标系
1 1 0 6[001] 1 0 0 0 0 1 0 1 0 6[001]2 1 1 0 0 0 1 1 0 0 6[001]3 0 1 0 0 0 1
3.3 晶体的宏观对称元素和对称操作
晶体的宏观对称主要表现在外部形态上，如晶体的 晶面、晶棱和角顶作有规律的重复。 要使对称图形中等同部分重复，就必须通过一定的 操作，这种操作就称为对称操作（symmetry operation），或者说对称操作使能够使对称物体 （或图形）中等同部分作有规律重复的变换动作。 在进行对称操作中所凭借的辅助几何要素（点、线、 面）称为对称元素（symmetry element）。
0 1 0 1 1 0 3[001] 0 0 1
1 1 0 1 0 0 2 3[001] 0 0 1
3.3.3 对称轴 四次轴的变换矩阵:
0 1 0 4[001] 1 0 0 0 0 1
3.3 晶体的宏观对称元素和对称操作 对称操作和对称元素共五类:
反伸操作和对称心（center of symmetry）
反映操作和对称面（symmetry plane）
旋转操作和对称轴（symmetry axis） 旋转反伸操作和倒转轴（rotoinversion axis） 旋转反映操作和映转轴（rotoreflection axis）
1 1 0 4 6[001] 1 0 0 0 0 1
0 1 0 5 6[001] 1 1 0 0 0 1
3.3.3 对称轴
一个晶体可以没有对称轴，也可以有一个和若 干个对称轴，且对称轴的数目也可以不同。如 果在对称轴的方向上有不同轴次的对称轴，那 么只取轴次最高的那一个。
3.3.3 对称轴
3.3.3 对称轴 物体绕某个轴转动的变换 在X坐标系有一点r(x1, x2, x3)，它也是从原点到此 点的矢量。 如果这一矢量绕X3轴转动 角，点到达的新位置为 r(x'1, x'2,, x'3)。 新位置的坐标为： x'1 = -r sin( -) = -r(sincos-cos sin) x'2 = rcos( -) = r(coscos +sin sin ) cos = x2/r 及sin = x1/r ，即 x'1=x1cos -x2sin x'2=x1sin+x2cos
在晶体中如有对称轴存在，其可能的位置是， 通过晶体的几何中心，并且为某两顶角的连线， 或两平行晶面中心的连线，或某两晶棱中心的 连线；如晶体无对称中心时，则还可能是某一 晶面的中心、晶棱的中点及顶角三者任意两者 之间的连线。
3.3.3 对称轴
3.3.4 倒转轴 倒转轴亦称旋转反伸轴，又称反轴或反演轴。 辅助的几何要素有两个：一根假想的直线和此直线 上的一个定点。相应的对称操作就是围绕此直线旋 转一定的角度及对于此定点的倒反（反伸）。 倒转轴的两个变换动作是构成整个对称变换的不 可分割的两个组成部分，无论是先旋转后倒反， 或是先倒反后旋转，两者的效果完全相同，但都 是在两个变换动作连续完成以后而使晶体复原。
上述对称概念只是朴素的定义。实际上，对称不仅 是自然科学最普遍和最基本的概念之一，它也是建 造大自然的一种神秘的密码，同时也是人类文明史 上永恒的审美要素。
3.1 对称的概念
形象对称
七律－早春〔对称回文〕
m1 m2 F G r0 2 r
q1q2 F K 2 r0 r
万有引力公式 库伦公式
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1