calculated by (B)
(������)〈������(������, ������)〉 = ∫ Ψ∗ ������(������, ������)Ψdx (C)〈������(������, ������)〉 = ∫ Ψ ������(������, ������)Ψdx
(B)〈������(������,
Unit 1
1 The state of a microscopic particle is described by(A)
(A) wave function
(B) Schrodinger Equation
(C) Born’s statistical interpretation (D) operator
=
+∞
∫
−∞
������ ������������
|Ψ(x,
t)|2������������
By the product rule
������ ������������
|Ψ|2
=
������ ������������
(Ψ∗Ψ)
=
Ψ∗
������Ψ ������������
+
Ψ
������Ψ∗ ������������
(C) Measurements” in which Ψ suddenly and discontinuously collapses
(D) Measurements” in which the more precisely determined a particle’s
position is, the more precisely its momentum is determined
������)〉
=
∫
Ψ∗
������(������,
ℏ ������
������ )Ψdx
������������
(D)
〈������(������,
������)〉
=
∫
������(������,
ℏ ������
������ )
������������
|Ψ|2dx
Proofing
1
Prove
that
process is (C)
(A) “Measurements” in which Ψ does not evolve in a leisurely fashion
under the Schrodinger Equation
(B) Measurements” in which the particle is not really anywhere
ℏ
Calculating
1 A particle of mass m in the infinite square well
������(������) = {0∞, ,
������������ 0 ≤ ������ ≤ ������ ������������ℎ������������������������������������
������ ������������
+∞
∫ |Ψ(x,
−∞
t)|2������������
=
0
And hence that the integral is constant; ifΨ is normalized at t=0, it stays normalized for all future time. QED
Now the Schrodinger equation says that
������Ψ ������ℏ ������2Ψ ������ ������������ = 2������ ������������2 − ℏ ������Ψ
And hence also
������Ψ∗ ������������
2 let ������������������(������) be the probability of finding a particle in the range (a<x<b).
at time t.
(a) show that
������������������������ ������������
=
������ ������������
������ℏ [2������
(Ψ∗
������Ψ ������������
−
������Ψ∗ ������������
Ψ)]
The integral can now be evaluated explicitly
������ ������������
+∞
∫ |Ψ(x,
and Ψ2 P21 1.6
Unit 2
7 The quantum system in which the lowest energy may be zero is (B)
(A) a particle in the infinite square (B) a free particle
(C) the harmonic oscillator
(B)
������ ������������
∫−+∞∞
Ψ1∗Ψ2������������
=
0
(D) ∫−+∞∞|Ψ1|2������������ + ∫−+∞∞|Ψ2|2������������ = 0
6 in state Ψ, the expectation value of dynamical quantity Q(x, p) is
=
−
������ℏ 2������
������2Ψ∗ ������������2
+
������ ℏ
������Ψ∗
So
������ ������������
|Ψ|2
=
������ℏ 2������
(Ψ∗
������2Ψ ������������2
−
������2Ψ∗ ������������2
Ψ)
(C) the excited states
(D) the stationary states
9 Suppose a particle starts out in a linear combination of just two
stationary states ������(������, 0) = ������1������1(������) + ������2������2(������) then the wave
ℏ
(C)
������(������,
������)
=
������1������1(������)
������������������
(−
������������������)
ℏ
+
������2������2(������)
������������������
(−
������������������)
ℏ
(D)
������(������,
������)
=
������1������1(������)
������������������
(−
������������2������)
ℏ
+
������2������2(������)
������������������
(−
������������1������)
momentum
5 For any normalizable solutions [e.g. Ψ1(x, t)andΨ2(x, t) ] to the
Schrodinger equation, then (B)
(A)������������������ ∫−+∞∞ Ψ1∗Ψ2������������ ≠ 0 (C) ∫−+∞∞|Ψ1|2������������ ≠ ∫−+∞∞|Ψ2|2������������
4 According to the uncertainly principle (A)
(A) The more precise a particle’s position is, the less precise is its
wavelength
(B) The more precise a particle’s position is, the more precise is its
������������������
(−
������������2������)
ℏ
(B)
������(������,
������)
=
[������1������1(������)+������2������2(������)]
������������������
(−
������������������)
(D) the hydrogen atom
8 If the potential of system is independent of time, the solutions to the
time independent Schrodinger equation are (D)
(A) the states independent of time (B) the ground states
function ������(������, ������) at subsequent time is (A)