建模，投 影信号中任意一点由 沿着直线 x cosk y sin k j 的射线和给出。工作在 连续变量情况下，线 求和变成了积分 g ( j ,k ) f ( x, y) (x cos k y sin k j )dxdy
第七代(G7)多切片CT扫描器：即将问世，采用 “厚”的扇形射线束与平行检测器族相配合同 时收集CT数据，即三维横截“厚片层”，而不 是每个X射线脉冲产生单一的横截面图像。优 点是使用的X射线管更经济，从而降低了成本 并降低了剂量。
3. 关于计算机断层成像 对于医学上的应用来 说被计算的特性是组织的 衰减系数µ，人体虽大部分 软组织是水，但仍有足够 的差异以产生不同的衰减 系数，这样就可以给出一 幅解剖横截面图像。计算 机成像示意图如右侧：
0 1 ln d
假如一条直线上有n个体素， 第一个体素的衰减为:
1 0e
1d
第二个体素衰减为：
2 1e
2d
0e
1d
e
2d
0e
( 1 2 )d
对于第n个体素有：
n 0e
( 1 2 n )d
1 0 1 2 n ln d n
在断层扫描时，生成大量的数据，根据该数 据再计算出每个体素的衰减系数，然后把这些衰 减系数按一定的函数关系显示在屏幕上，这样， 就产生了断层图像。 设某一物体体素对X射线的衰减系数为μ ， 体素厚度为d ， 0和 为穿透物体前后的X射线的 辐射强度。射线遵循如下的衰减定律：
0e d
由冲击函数性质，积分只有沿着直线进行才会不为零

给出沿xy平面中任意一条线的f(x,y)的投影(线积分) 的公式就是雷登变换，符号 R{ f ( x, y)}, R{ f }, g ( , ) 都可以用来表示f的雷登变化，雷登变换是投影重建 的基石。离散情况下：
g ( , ) f ( x, y) ( x cos y sin )
假如某断层有2X2个体素，相应的衰减系数 为 11 , 12 , 21 , 22 ， 分别从X和Z方向投影， 测得的衰减系数为A， B，C，D，即：
11 12 21 22 11 21 12 22
A B C D
从而可以解出 , , , 的值来。我们 11 12 21 22 用一定的函数关系在屏幕上显示出来就可以得 到相应的断层图像。
第四代(G4):圆环检测 器5000个左右，布满 整个360。 固定不动， X线源旋转扫描。约2 秒，仅射线源转动。 G3，G4扫描速度快， 主要缺点是造价高和 较大的X射线散射。需 要比G1,G2扫描器更高 的剂量才能达到可以 比拟的信噪比特性。
第五代(G5)：电子束计算机断层(EBCT)扫描器， 排除了所有机械运动，使用电磁控制电子束， 通过触发环绕病人的钨极板,电子束产生X射线， 然后X射线被整形为通过病人的扇形射线束， 并激发G4扫描器那样的检测器环。 第六代(G6)螺旋CT：G3，G4扫描器使用一种 所谓滑动环来配置，不需要在源/检测器和处理 单元之间的电气和信号连接。然后，源/检测器 对连续旋转360度，同时病人在垂直于扫描的 方向恒速移动，结果是连续的螺旋数值，这些 数据经过处理后就可以得到各幅切片图像。
(3)反射断层重建成像(Reflection Computed Tomography,RCT) 常用于雷达系统。雷达图像通常是由物体 反射的回波产生的。例如光线、电子束、雷达， 激光或超声波等都可以用来进行这种测定。
（4）核磁共振重建图像(Megnetic Resonance Imaging,MRI) MRI是由于具有奇数个质子或中子的原子核 包含有一定的磁动量或旋量的质子，一般情况下 质子在磁场中任意排列，当有适当强度和频率的 共振场作用于物体时，质子吸收能量并转向与磁 场相交的方向。如果此时把共振磁场去掉，质子 吸收的能量会被释放并被检测器收集，根据检测 的信号就可以确定质子的密度。通过控制共振磁 场强度，可检测一条直线上的信号，从而通过该 信号数据可以重建出物体图像。
如果图像的分辨率为512X512，则图像有
262144个独立阵元，需要解262144元的方程 组，计算出μ值，重建出图像。
7.3 投影和雷登变换
下面详细推导根据X射线计算机断层重建图像所需要 的数学问题： 笛卡尔坐标系中一条直线可以用斜截式来表示， y=ax+b，也可以用法线来表示-极坐标
x cos y sin
x 0 y 0 M 1 N 1
本章内容
3 1 2 3 4 5
概述
计算机断层(CT)原理 投影和雷登变换
傅里叶切片定理 使用平行射线束滤波反投影重建
7.1 概述
1.图像重建原理的直观 定性描述： 假设右图是人体三维 区域的一个横断面。 图中背景表示均匀的 软组织，它所环绕的 物体是一个肿瘤，肿 瘤也是均匀的，但有 较高的吸收特性。
0度和180度投影互为镜像
注意到“光晕” 模糊效果
例1：包含两个不同吸收特性物体的简单平面的反 投影
2.在三维重建中的数据 形式有： 透射模型 ； 发射模型 ； 反射模型
(1)透射断层重建成像(Transmission Computed Tomography,TCT)： TCT是射线源的射线穿过物体或者人体组 织，然后由接收器接收经过物体或人体组织吸 收后的剩余射线，由于不同的物质或组织对射 线的吸收不同，剩余射线反映了物体内部的状 况和人体内部的不同组织，通过这些数据再重 建图像，从而发现物体内部欠缺或人体内部病 变。 如光，x射线。
第二代(G2)：与第 一代原理相同，窄 角扇束射线束扫描， 张角10～20度， 20～30个探测器相 配合。扫描时间18 秒左右。允许使用 多个检测器，因此 检测器的平移较少。
第三代(G3)：广角扇 束扫描方式，张角 为30度左右，探测 器增加到250～1000 个，射线源和探测 器同步旋转扫描， 每个角度都产生完 整的投影，消除了 部分平移需要，扫 描时间可缩短2.5秒。
(1) CT发展历史： CT 理论基础源于1917年，奥地利数学家约翰· 雷 登(Radon)所发表的论文。证明了二维或三维物体能够 通过其无限多个投影来确定，但限于当时技术条件没 能实现。
45年后，Tufts大学的物理学者埃兰· M· 考玛克重 新发现了这些概念，并应于与CT，在1963和1964年发 表了他的最初发现，并说明了如何从不同角度方向得 到的X射线图像重建人体横截面图像，给出了数学公 式，并构建了一个用于展示其概念的实际CT原型。
数字图像处理学
第7章 图像重建
（Image Reconstruction） 医学信息与图像教研室 李明彩
引言


图像重建核心:由一系列投影重建一幅图像 理论基础：二维或者三维物体能够通过其无限 多个投影确定。 二维图像重建 一个物体的多个轴向投影图重建目标图像 三维物体重建 由物体的图像重建三维物体模型 问题：能否从投影中恢复原图？ 答复是肯定的。
投影显示的仅仅是立体 的“横断面” 设想一个[平头改锥（螺 丝刀）]的头部 投影只截取到物体所具 有的信息中属于较低维 度的一部分信息。例如 “测量身高”，是将三 维降低为一维的投影。

我们所见到的是否是真 实的立体？ 位于眼球深处的“视网 膜”是接受来自外界光 线的一个屏幕。左右眼 球相隔一定的距离，同 一物体映照在左眼和右 眼视网膜上的二维图像 并不相同。大脑会根据 这种微小的差异补上远 近信息。
英国EMI公司中央研究所工程师高德弗里·N ·豪 斯菲尔德（Godfrey N.Hounsfield），经四年努力，在 1972年研制成诊断头颅用的第一台计算机X线断层摄 影装置，这一新设备在1974年5月蒙特利尔(Montreal) 召开第一次国际CT会议上，正式命名为“电子计算机 断层摄影技术”简称CT。 1979年EMI公司又研制出全身CT。
1979年为了表章这些学者的贡献，考玛克和豪斯 菲尔德共同获得这项技术的诺贝尔医学奖。
(2) 几代产品简介（按扫 描方式的改进）: 第一代(G1)：单束扫描 方式，”铅笔型”X射线 管与单探测器沿所示线 性方向增量式平移，0度180度内所有期望的角度 重复，生成完整投影， 反投影获得一张切片图 像，堆积切片生成人体 截面三维体。G1时间长， 一周需3-5分钟左右
(2)放射断层重建成像（Emission Computed Tomograhpy,ECT） ECT是在物体中注入放射性物质，然后从 物体外部检测通过物体后放射出来的能量，由 于物体内部不同的物质或人体不同的组织对放 射能量有不同的吸收或衰减，由此可以获取不 同的数据，用这些数据可以重建出所需要的图 像，从而达到检测物体内部的分布情况或人体 内部病变的目的。
衰减系数的单位H—(豪斯费尔德Hounsfield)， 豪斯费尔德将线性衰减系数分为2000个单位，称为 CT值，一个豪斯费尔德等于水的衰减系数的0.1%，标 度上选择H（水）=0 (组织) (水) H 1000 (水)
对于空气 H=-1000 衰减最小（不衰减） 骨骼 H=+1000 衰减最大
1 0 1 2 n ln d n 即：
0 1 i ln d n i 1
n
一 般 情 况 探 测 器 只 能 测 到 n ， 而 不 能 测 n1 ，因此，不能直接记 到1 , 2 , 录各个体素的衰减系数。但是，我们可以用数 学方法求解衰减系数。
复制矩形图像中所有列 中的一维信号创建
源-检测器 对旋转90 度。重复 刚才的步 骤，得到 第二幅反 投影图像。
将两次的反投影结果相 加，我们感兴趣的物体 已经包含在右图所示的 正方形中了，其幅度是 单个投影幅度的两倍多。 随着投影数量的增加， 不相交反投影的强度相 对于多个反投影相交区 域的强度降低。 反投影相交处的亮度是各 个反投影的亮度的两倍