第七章医学图像重建与可视化数字图像处理在绝大多数情况下，是对已获得的图像进行处理和转化，即把处理技术作为系统，其输入和输出均为数字图像。

因此在医学领域的应用中，数字图像处理也习惯性的称作后处理。

但在某些情况下，图像处理过程也涉及将数据进行计算并最终转化为图像的过程，如图像重建，这种情况更多的出现在医学领域中，如CT、MR、超声成像和核医学成像。

这些医学成像系统往往通过获得尽可能多的目标的检测数据，并将数据进行计算处理，最终生成图像，这就是图像重建(image reconstruction)，基本过程如图7-1所示。

这种情况发生在图像后处理之前。

图7-1图像重建过程此外，上述的医学成像系统，往往获得连续的人体断层数据和断层图像。

如果将这些数据或图像进行整合处理，仅通过图像处理技术获得新的切层位置和方向的断层图像；或将断层图像合成为体数据并显示成三维图像，以加强人们对器官解剖结构和病灶三维形态的观察和理解，这种处理我们称为图像的三维可视化(three-dimensional visualization)或三维重建(three-dimensional reconstruction)，其处理过程如图7-2所示。

图7-2图像三维可视化过程图像重建与图像可视化都是较为复杂的计算与处理过程，本章仅对医学图像的重建与可视化的基本理论与方法进行讨论。

第一节医学图像重建概述一、医学断层成像在医学断层成像出现前，传统的医学成像技术或手段是将成像区域内的三维人体组织，投射于二维的成像范围内，记录在胶片或显示屏上，最终形成二维医学影像。

这种方式势必造成人体组织信息在影像上的重叠和遮挡，使病灶缺失某一维度（如深度）的信息，虽然可以通过多体位摄影进行适当补偿，但并不能根本解决问题。

如：在胸部影像的实际诊断过程中，某些肺部病灶由于肋骨影像的重叠而无法确定位置，或者被肋骨或纵隔影像模糊。

这种影像重叠是三维影像在一维路径上产生了叠加，用积分形式可以表示为：()()[]⎰-=dz z y x I y x I d ,,exp ,0μ （7.1） ()y x I d ,为影像记录装置上记录的X 线强度分布，()z y x ,,μ为组织吸收X 线系数的分布函数，0I 为入射X 线强度。

为解决这一问题，曾出现了体层摄影术（X -ray tomography ），光源和影像记录装置（胶片或成像板）沿相反方向运动，但保持与成像区域的垂直距离不变，如图7-3所示。

这样成像区域中的某层组织处于聚焦面上，被记录于影像记录装置从而成像，其余层面组织影像由于受到光源和影像记录装置的运动而模糊，无法清晰显示。

图7-3 直线运动体层摄影体层摄影根据光源的运动形式分为直线运动成像、圆运动成像和摆线运动成像。

这些运动方式要求光源和记录装置精确计算运动速度，以保证计算准确。

同时严格限制运动时间，保证在被检者可接受的屏气时间内完成，以限制呼吸伪影。

体层摄影成像的计算如下：探测器接受强度为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++**⎪⎭⎫ ⎝⎛=m k y m k x m k L I M y M x t y x I d d d d d d d ,,,0μ （7.2） 直线运动形式的体层摄影射线源移动路径为：()()()()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==y X x rect vt d z y x g y x f δ,,, （7.3） 代入（7.1）式得最终的像强度为：()()()()d d d d d d d y m k X x rect m k X I M y M x t y x I δ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++**⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,, （7.4） 其中，V 是射线源在X 方向上走过的速度，X 是射线源走过的距离，m 为放大率，k 为底片运动的换算因子，k +m 代表总放大率。

体层摄影曾一度作为一项重要的成像功能出现在X 线成像设备中。

但体层成像存在一些无法解决的问题，如辐射面积广、剂量大，要成一层组织的影像，则比成像区域大的多的组织体积均要接受X 线照射，大大增加了被检者受照射量，增加了辐射损伤。

另外，体层摄影的图像质量，尤其是对比度分辨率，相对X 线平片并无明显提高。

影像信息中还掺杂了模糊区域的半影，相当于影像中增加了更多的散射线，削弱了组织对比。

体层摄影还需要被检者的屏气与制动配合，不适于床旁摄影和屏气困难的被检者。

真正的断层成像出现在1971年，始于世界上第一台可应用于临床的CT ，安装于Atkinson -Morley 医院。

这种技术也叫CAT （computed aided tomography 或computed axial tomography ），其图像重建的数学理论最早适于奥地利数学家Radon 于1917年提出的，即三维的物体可以以它的投影的无线集合唯一的重建出来。

此后经过了很多数学及物理学家的实践和发展，最终由英国EMI 公司的Hounsfield 实现和完成。

计算机（辅助或轴向）断层成像截然不同于体层摄影，其射线束中心面与断层成像的平面成平行重叠关系，而非体层摄影的垂直关系，因此射线范围仅覆盖成像层面，影像信息不包含非成像层面。

另外成像区域在轴向上压缩的尽量薄，使成像区为一薄层区域，可近似认为二维吸收系数分布。

这样组织重叠问题简化为部分容积效应，因此对组织的观察效果大大提高，给人一种人体“切开”观察的效果。

二、断层成像的数理原理CT 的发展过程中，采用过很多种图像重建算法，其数学原理各不相同。

经过近40年的发展，先后出现了方程联立、迭代、二维傅立叶变换、反投影(Backprojection)等重建算法。

鉴于Radon的数学理论被广泛借鉴于二维傅立叶变换算法和滤波反投影算法，并应用于教学。

因此本教材中，我们将Radon的中心切片理论作为计算机断层成像的基本数学原理。

CT图像重建是通过其扫描过程获得数据，并将数据进行分析处理，推导出其拟成像层面内的吸收系数分布。

前面提到，CT成像将成像的薄层区域近似为二维吸收系数分布，即认为成像的容积内对应的体素矩阵为M×N个，每个体素厚度均为L，如图7-4。

假定每个体素吸收系数是均匀的，则对应图像的吸收μ，求出层面内吸收系数分布，并将吸收系数对应成灰度值，即系数分布为()yx,可重建出图像。

图7-4 CT成像的体素矩阵CT系统通过对组织扫描获得数据，扫描的方式根据系统分为平行线束扫描、扇形束扫描、宽扇形束扫描等。

我们以最基本的平行线束为例：扫描装置包括一个X线管和一个检测器组成。

X线束被准直成单线束形式，X线管和检测器围绕受检体作同步平移-旋转扫描运动，如图7-5。

图7-5单束扫描方式这种情况下，在一个固定角度上，探测器所得到的值是成像区域在该角度上的衰减后X射线强度值I，通过取对数，我们得到：dy dx y x I I P ⎰⎰=-=),()ln(0μ （7.5） 我们称P 为该角度下的投影（Projection ）。

如果探测器进行360度的扫描，每次间隔1度。

则可获得360个投影。

利用这些投影求解出()y x ,μ，即可得到图像。

为方便不同扫描角度的表达，我们将投影由直角坐标系()y x , 变换到极坐标系()θ,R 表示，则扫描路径可以用直线方程表示R y x =+θθsin cos （7.6）R 表示射线路径距离体层中心的距离，θ表示扫描角度。

在θ角的投影表示为dy dx y x R P ⎰⎰=),(),(μθ （7.7）使用单位脉冲函数的筛选性质表示某一θ角的投影值为dy dx R y x y x R P ⎰⎰-+=)sin cos (),(),(θθδμθθ （7.8）在断层图像重建中，一个具有指导意义的数学理论，即中心切片理论指出，吸收系数函数()y x ,μ在某一方向上的投影P θ（R ）的一维傅立叶变换函数G θ（ρ），是原吸收系数函数μ(x ，y )的二维傅立叶变换函数F (ρ，θ)在(ρ，θ)平面上的沿同一方向上过频域空间原点的直线上的值，如图7-6所示。

图7-6 中心切片理论即对吸收系数μ(x ，y )分布进行二维傅立叶变换并进行(ρ， θ)域表示，并对其在频域空间的形式过原点“切一刀”，则切出的切面函数，等于所切相同角度下的投影函数进行(ρ， θ)表示并进行一维傅立叶变换的值。

或者说，在角度θ得到的投影值的一维傅立叶变换，等于物体的二维傅立叶变换过频域中心同样角度的值，但要投影值和物体吸收系数均在(ρ，θ)坐标系中表示。

中心切片理论的公式描述如下：()[]),(,θρμF y x F = （7.9）)]([)(ρρθθG F F = （7.10）如使用直角坐标系，则中心切片理论可描述为：()[]()⎰⎰=+-==o u vy ux j u y x dxdy e y x g y x g F 20,),(, （7.11）此公式即为零频率准则在二维情况下的等价。

基于这个理论，我们只要采集尽可能多的投影数据，将投影进行一维傅立叶变换，在频率域中，将这些变换值按投影角度排布，并进行适当的高频区域插值。

当360个或180个投影值的傅立叶变换填充完频率域后，将频率域数据进行二维反傅立叶变换，即得到原始的吸收系数分布，求解得图像。

对于中心切片理论，我们可以通过一个特殊角度的投影重建，简单验证一下。

设对某一组织进行平行于y 轴的扫描，如图7-7，图7-7 特殊角度投影则投影值为()()⎰∞∞-=dy y x f x P ,0, （7.12）取其傅立叶变换为 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞---==dy dx e y x f dx e x p u P ux j ux j ππ22,0, （7.13）原组织的吸收系数的二维傅立叶变换在同角度下的取值为()()()()⎰⎰⎰⎰∞∞--∞∞-∞∞-=+-∞∞-===dxdy e y x f dxdy e y x f v u F ux v vy ux v ππ2020,,, （7.14）则证明射线束平行y 轴时，中心切片理论成立。

对于中心切片理论的数学来源和详细推导，这里并不做更多的叙述。

对于实际的计算机断层成像来说，中心切片理论指出了重建图像的数学方法。

第二节 医学图像重建算法一、方程联立法X 线束具有一定的能量和穿透能力，当X 线束遇到物体时，物体对射入的X 线有着衰减作用，即物体对X 线的吸收。

普通X 线成像正是利用不同组织对X 线衰减不同，将穿过人体后X 线自然形成的对比度转化为图像对比度的，其成像过程不需要进行数学计算。

而CT 成像时，需要获得入射和出射X 线的强度值来进行重建运算。

若X 线穿过非均匀物体，将沿着X 线束通过的物体分割成许多小体素，令每个体素的厚度相等，记为d 。

设d 足够小，使得每个体素可认为是均匀的，其吸收系数为常值，如图7-8所示。