第五章 异方差性课后题参考答案 5.1（1）因为22()i i f X X =，所以取221iiW X =，用2i W 乘给定模型两端，得 312322221i i ii i i i Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即22221()()i i i iu Var Var u X X σ==（2）根据加权最小二乘法，可得修正异方差后的参数估计式为***12233ˆˆˆY X X βββ=-- ()()()()()()()***2****22232322322*2*2**2223223ˆi i i i i i i i i i i i i i i i i iW y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑()()()()()()()***2****23222222332*2*2**2223223ˆii ii i i i i i i i i i i i i i iWy x W x W y x W x x W x W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑其中22232***23222,,iii i i i iiiW XW XW Y X X Y WWW===∑∑∑∑∑∑******222333i i i i i x X X x X X y Y Y=-=-=- 5.2 （1）2222211111 ln()ln()ln(1)1 u ln()1Y X Y X Yu u X X X u ββββββββββ--==+≈=-∴=+ [ln()]0()[ln()1][ln()]11E u E E u E u μ=∴=+=+= 又（2）[ln()]ln ln 0 1 ()11i i iiP P i i i i P P i i E P E μμμμμμμ===⇒====∑∏∏∑∏∏不能推导出所以E 1μ（）=时，不一定有E 0μ（ln ）= (3)对方程进行差分得：1)i i βμμ--i i-12i i-1lnY -lnY =(lnX -X )+(ln ln则有：1)]0i i μμ--=E[(ln ln5.3（1）该模型样本回归估计式的书写形式为：Y = 11.44213599 + 0.6267829962*X (3.629253) (0.019872)t= 3.152752 31.5409720.944911R = 20.943961R = S.E.=9.158900 DW=1.597946F=994.8326（2）首先，用Goldfeld-Quandt 法进行检验。
a.将样本X 按递增顺序排序，去掉中间1/4的样本，再分为两个部分的样本，即1222n n ==。
b.分别对两个部分的样本求最小二乘估计，得到两个部分的残差平方和，即21624.3004e =∑ ,222495.840e =∑求F 统计量为F= 2221e e ∑∑=2495.840624.3004=3.9978给定0.05α=，查F 分布表，得临界值为0.05(20,20) 2.12F =。
c.比较临界值与F 统计量值，有F =4.1390>0.05(20,20) 2.12F =，说明该模型的随机误差项存在异方差。
其次，用White 法进行检验。
具体结果见下表 White Heteroskedasticity Test: F-statistic 6.105557 Probability 0.003958 Obs*R-squared10.58597 Probability0.005027给定0.05α=，在自由度为2下查卡方分布表，得25.9915χ=。
比较临界值与卡方统计量值，即2210.8640 5.9915nR χ=>=，同样说明模型中的随机误差项存在异方差。
（2）用权数1/|e|W =，作加权最小二乘估计，得如下结果Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 05/28/07 Time: 00:20Sample: 1 60Included observations: 60Variable Coefficie Std. Error t-Statistic Prob.C 27.50000 6.09E-08 4.52E+08 0.0000WeightedStatisticsR-squared 1.000000 Mean dependentvar 70.01964Adjusted R-squared 1.000000 S.D. dependentvar379.8909S.E. of regression 8.44E-10 Akaike infocriterion -38.91622Sum squared resid 4.13E-17 Schwarz criterion -38.84641Log likelihood 1169.487 F-statistic 4.88E+17 Durbin-Watson 0.786091 Prob(F-statistic) 0.00000 UnweightedR-squared 0.883132 Mean dependentvar 119.6667Adjusted R-squared 0.881117 S.D. dependentvar38.68984S.E. of regression 13.34005 Sum squaredresid 10321.5Durbin-Watson 0.377804F-statistic 2.357523 Probability 0.103822 Obs*R-squared 4.584017 Probability 0.10106 Test Equation:Dependent Variable: STD_RESID^2 Method: Least SquaresDate: 05/28/07 Time: 00:27 Sample: 1 60Variable Coefficie Std. Error t-StatisticProb.C 3.86E-19 1.73E-19 2.233756 0.0294 X 3.21E-21 2.16E-21 1.489532 0.1419 X^2-7.59E-2 6.18E-24 -1.229641 0.2239R-squared0.076400 Mean dependentvar6.88E-19 Adjusted R-squared 0.043993 S.D. dependent var1.56E-19 S.E. of regression 1.52E-19 Sum squaredresid1.32E-36F-statistic 2.357523 Durbin-Watsonstat1.191531 5.4令Y 表示农业总产值，X1-X5分别表示农业劳动力、灌溉面积、化肥用量、户均固定资产和农机动力。
建立模型：01122334455Y X X X X X ββββββ=+++++回归结果如下：1234522ˆ 4.7171980.039615-0.0368950.2632560.0134630.025469(0.516910) (1.452697) ( -0.474813) (0.479104) (2.712997) (1.625993)R 0.974539 R =0.953321 DW=1.969898 F=45.93047Y X X X X X t =++++== 从回归结果可以看出，模型的2R 和2R 值都较高，F 统计量也显著。
但是除4X 的系数显著之外，其他系数均不显著，模型可能存在多重共线性。
计算各解释变量的相关系数。
相关系数矩阵X1 X2 X3 X4 X5 X1 1.000000 0.851867 0.963173 0.456913 0.892506 X2 0.851867 1.000000 0.843541 0.549390 0.856933 X3 0.963173 0.843541 1.000000 0.583048 0.924806 X4 0.456913 0.549390 0.583048 1.000000 0.543765X5 0.892506 0.856933 0.924806 0.543765 1.000000由相关系数矩阵可以看出，解释变量之间的相关系数较高，存在多重共线性。
采用逐步回归的办法，来解决多重共线性问题。
分别做Y 对X1、X2、X3、X4、X5的一元回归，结果如下表所示：一元回归结果 其中加入X3的方程2R 最大，以X3为基础，顺次加入其他变量逐步回归，结果如下：加入新变量的回归结果（一）变量X1 X2 X3 X4 X5 2R X3， X10.002636 （0.089770） 1.481909 (2.8792930.915816 X3， X2 0.066909 0.789958 1.360291 5.4565840.921204X3， X4 1.352291 9.776764 0.009691 2.1590710.944492X3， X51.115680 (3.355936) 0.023552 (1.335921)0.929684经比较，新加入X4的方程2R 0.944492 ，改进最大。
且从经济意义来看，户均固定资产对农业总产值有影响，因此保留X4，再加入其他变量逐步回归，结果如下：加入新变量的回归结果（二）变量 X1 X2 X3 X4 X5 2R X3，X4 X1 0.035438 （1.365712） 0.696651 (1.399128) 0.012887 （2.638461）0.949360X3，X4 X2 0.047486 （1.487193） 1.241502 （5.528062） 0.009296 （1.984375）0.940595X3， X4 ，X5 0.951924 （3.375236） 0.009594 （2.312344） 0.023059 （1.592574） 0.952585加入X1后方程的2R 增大，但是t 值不显著；加入X2后2R 降低，且系数不显著；变量 X1 X2 X3 X4 X5 参数估计值 0.084078 0.456767 1.526410 0.035277 0.078269 t 统计量 8.097651 5.099371 11.62132 2.991326 8.197929 2R 0.867676 0.722250 0.931061 0.472241 0.870476 2R0.8544430.6944750.9241670.4194650.857524假如X5后方程的2R 增大，但是t 值不显著。