圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段 【注：2a>|F 1 F 2|是椭圆，2a=|F 1 F 2|是线段】2.设B －4,0)，C 4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为 )A.x 225＋y 29＝1 y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 y ≠0) 【注：检验去点】3.已知A 0，－5)、B 0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 )A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线，2a=|F 1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】4.已知两定点F 1－3,0)，F 23,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是 )A.||PF 1|－|PF 2||＝5B.||PF 1|－|PF 2||＝6C.||PF 1|－|PF 2||＝7D.||PF 1|－|PF 2||＝0 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线】5.平面内有两个定点F 1－5,0)和F 25,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是 )A.x 216－y 29＝1x ≤－4)B.x 29－y 216＝1x ≤－3)C.x 216－y 29＝1x ≥4)D.x 29－y 216＝1x ≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P 为圆B ：x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.7.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：8.已知圆A ：x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B 3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程.已知动圆M 过定点B －4,0)，且和定圆x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ) A.x 24－y 212＝1 x >0) B.x 24－y 212＝1 x <0) C.x 24－y 212＝1 D.y 24－x 212＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】 9.若动圆P 过点N －2,0)，且与另一圆M ：x －2)2＋y 2＝8相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程.【注：双曲线的一支，注意与上题区分】10.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.11.若动圆与圆x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 )A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线12.已知动圆M 经过点A 3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】13.已知点A 3,2)，点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.（M 的横坐标非负） 1)求点M 的轨迹方程； 【注：体现抛物线定义的灵活应用】2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】（3）其他问题中的圆锥曲线：14.已知A ，B 两地相距2 000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】2.15.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ． 双曲线D ．抛物线【注：体现抛物线定义的灵活应用】2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：16.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.12 C.2－12 D.3417.椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．4 18.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m19.若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________.20.设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形 D ．直角三角形21．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________． 【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a-c ，最大是a+c 】22.已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________. 【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c-a 】23.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小O 为坐标原点). 【注：O 是两焦点的中点，注意中位线的体现】24.设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF ·2PF ＝0，则|1PF ＋2PF |等于( ) A ．3 B ．6 C ．1 D ．225.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是 ) A.172 B.3 C. 5 D.92【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】26.已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.55【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】27.设点A 为抛物线y2＝4x 上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或2【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】3.焦点三角形问题： 椭圆的焦点三角形周长2c 2a 2C PF PF C 21F PF 21+∆＝＋＋＝椭圆的焦点三角形面积： 推导过程：2 tan sin cos 121sin 21 cos 1 -)cos (12 (1)-(2) (2) 2a (1) COS 2-2 1b 2b PF PF S 2b PF PF 4c 4a PF PF PF PF 4c PF PF PF PF 2221F PF 22122212212212221θθθθθθθ=+==+==+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∆得 双曲线的焦点三角形面积： 2tan b S 2F PF 21θ=∆28.设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积． 【注：小题中可以直接套用公式。

S= 15tan 2b 】29.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积. 【注：小题中可以直接套用公式。

】30.已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，求双曲线的标准方程．31.已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求： (1)椭圆的方程；(2)△PF 1F 2的面积．二、圆锥曲线的标准方程：1. 对方程的理解32.方程x 2|a|－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1) B ．(－3，－2) C ．(1，＋∞) D ．(－3,1)33.若k >1，则关于x ，y 的方程1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 )A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在y 轴上的椭圆C.焦点在y 轴上的双曲线D.焦点在x 轴上的双曲线 【注：先化为标准方程形式】34.对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.35.已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π 36.双曲线 x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，求m 的值. 【注：要根据焦点位置分情况讨论】2.求曲线方程（已经性质求方程）37.以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝138.根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 【注：定义的应用】 39.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．40.中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1 41.设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝142.已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．【注：相关点法求曲线方程】43.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝1 44.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1 45.求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点32，2)的双曲线方程. 46.双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．47.根据下列条件写出抛物线的标准方程：1)经过点－3，－1)；2)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点.48.抛物线y 2＝2px p >0)上一点M 的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________.【注：定义的应用，焦半径】三、圆锥曲线的性质：1.已知方程求性质：49.椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( )A .⎝⎛⎭⎪⎫0，±66 B ．(0，±1) C ．(±1,0) D .⎝ ⎛⎭⎪⎫±66，0 【注：焦点位置】 50.椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，3551.设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a 【注：先化为抛物线的标准方程，此处最容易出错】2.求离心率的取值或取值范围52.直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______．53.以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________．54.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A .45B .35C .25D .13【注：寻找a,b,c 的等量关系，遇b 换成a 、c ，整理成关于a 、c 的方程】55.椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．56.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．57.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.5258.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 ) A.2 B. 3 C. 2 D.3259.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：60.已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P －2,1)，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【注：双曲线和抛物线中，都有相交只有一个交点的情况，这是二次项系数为0的时候，因此相离、相切、相交有两个交点，需要用⊿判断时，必须要加上二次项系数不为0的条件】61.已知抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为 )A.1,2)B.0,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.1,4)2.弦长公式的应用：62.已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．63.直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．64.已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x ＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程.65.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 a >b >0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3. 1)求椭圆C 的方程；2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值. 66.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．2、弦的中点问题：67.椭圆E ：x 216＋y 24＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为____________．68.点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．【注：双曲线中，可能求出来的弦并不存在，因此需要注意检验⊿>0】69.若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 5【注：涉及弦的中点问题，可以使用点差法，但仍需要注意带回检验⊿>0】70.已知抛物线y 2＝6x ，过点P 4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.4、韦达定理的应用：（综合题型）71.已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点．(1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．72.如图所示，O 为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x 于M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)两点．(1)求x 1x 2与y 1y 2的值；(2)求证：OM ⊥ON.73.已知F 1、F 2为椭圆x 2＋y 22＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值． 【注：这是个焦点落在y 轴的椭圆，以F 1F 2为底边，将三角形分成上下两部分，而高就是AB 点横向的距离， 即|x A －x B |】74.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA ＝m FA ，MB ＝n FB ，求m ＋n 的值．。