函数的性质综合应用————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ训练目标函数的单调性、最值、奇偶性、周期性. 训练题型(1)判定函数的性质;（2)求函数值或解析式;(3)求参数或参数范围;(４)和函数性质有关的不等式问题．解题策略 （１)利用奇偶性或周期性求函数值(或解析式)，要根据自变量之间的关系合理转换;(２)和单调性有关的函数值大小问题,先化到同一单调区间；（3)解题时可以根据函数性质作函数的草图,充分利用数形结合思想．一、选择题1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中,既是单调函数又是奇函数的是( ）A ．ｙ=ｌｏg 3x ﻩﻩﻩ ﻩB.y ＝3|ｘ| C ．ｙ=ｘ12 ﻩﻩ D.ｙ＝x 3 ２.(2016·荆州模拟)已知f （x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(０,１)时,ｆ（x )＝3ｘ-１,则ｆ错误!未定义书签。
等于( )Ａ．＼r （3)+1 ﻩﻩ B.错误!未定义书签。
－1 Ｃ.-错误!未定义书签。
-1 ﻩﻩﻩ ﻩ D.－错误!未定义书签。
＋13.(2016·西安模拟)设f (ｘ)是定义在实数集上的函数，且f （2－x )＝ｆ（ｘ)，若当ｘ≥1时，f （x )＝ln x ,则有（ )A ．f 错误!未定义书签。
<f （２)<f 错误! ﻩﻩﻩﻩB ．ｆ错误!＜ｆ(2)＜ｆ错误! C.f 错误!<f 错误!<f (2) ﻩﻩﻩ ﻩD.ｆ(2）＜ｆ错误!未定义书签。
<ｆ错误! 4.已知函数ｆ（ｘ)＝log错误!未定义书签。
(x 2-ax +3a )在［1,+∞）上单调递减，则实数ａ的取值范围是( ）A ．（－∞，2]ﻩ B ．[2,+∞) C.错误! ﻩ ﻩﻩﻩ D.错误!５.(20１6·威海模拟)函数f (ｘ)＝（ｘ－2)(ax ＋b )为偶函数，且在（0，+∞)上单调递增,则f (２－ｘ)>0的解集为( )A.{x｜x>２或x<-2} ﻩﻩﻩＢ．{x|－2<ｘ<２}Ｃ．{x|ｘ<0或ｘ＞4}ﻩﻩﻩＤ．{x|０＜x<4}６．(２0１6·杭州高三联考)已知定义在R上的函数f(ｘ)满足ｆ（ｘ）＋f(-x)＝0，且在(-∞,０)上单调递增,如果x1＋x２<0且x1x2＜0，则f(x１)＋f(x2)的值()A．可能为０ﻩﻩＢ.恒大于0Ｃ.恒小于０ﻩﻩﻩﻩ D.可正可负７．（2016·浙江诸暨中学交流卷一)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名字命名的函数ｆ（x）＝错误!被称为狄利克雷函数，其中R为实数集,Q为有理数集,现有关于函数f(x）的如下四个命题:①f(f(x)）=0;②函数f（x)是偶函数;③任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对任意的ｘ∈R恒成立;④存在三个点Ａ（x1，f(ｘ1）)，Ｂ（x2,f（x2))，C(x３，f(x3)),使得△AＢＣ为等边三角形．其中真命题的个数是（)A．1 B．2ﻩﻩﻩ C．３ﻩﻩ D.４8.关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法:①若函数y＝f(x)满足f(x+1)=f(3＋x),则ｆ(x)的一个周期T＝2;②若函数y＝f(x)满足f(x+1)＝f(3-x），则f（ｘ)的图象关于直线x=2对称；③函数y＝f（ｘ＋1)与函数y=ｆ（3-x）的图象关于直线ｘ=２对称；④若函数y＝错误!未定义书签。
与函数f(x)的图象关于原点对称,则f（ｘ)＝错误!未定义书签。
.其中正确的个数是()A.１ﻩﻩB．2ﻩＣ．3 ﻩＤ.4二、填空题9．(2016·孝感模拟）已知ｙ＝ｆ（x)是定义在Ｒ上周期为4的奇函数,且当0≤ｘ≤2时，f（x)=ｘ2－２x，则当１０≤ｘ≤１2时,f（x)＝_________＿_＿＿___．10.对于函数f(x)，若存在常数ａ≠0,使得x取定义域内的每一个值，都有ｆ(x)=f(2a-ｘ)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是__＿＿＿__＿．（把正确的序号都填上）①f(x)＝|ｘ+2|;②f（x)=x２；③ｆ(ｘ)=sin x；④ｆ(ｘ）＝coｓ2x.11．(２016·北京大兴区高三4月统一练习)已知函数f（x)=错误!若在其定义域内存在n(n≥２,n∈N*)个不同的数x1，x2，…，xｎ,使得错误!＝错误!未定义书签。
＝…＝错误!，则n的最大值是________；若n=2,则错误!未定义书签。
的最大值是_＿＿_____．１2.(2016·武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数ｆ(x)＝a lｏｇ２|x|＋1(a≠0)，定义函数Ｆ(x)=错误!给出下列命题:①F(x)＝|f(x)|；②函数F（x)是奇函数；③当ａ>0时,若ｘ1x2<0,x1＋x2>０,则Ｆ（ｘ1)+Ｆ(x２)＞0成立；④当ａ<0时,函数y＝F(ｘ2-2x-3)存在最大值，不存在最小值.其中所有正确命题的序号是__＿＿___＿.答案解析1.Ｄ2.D3．C [由f(２-x)＝ｆ(x)可知函数f(x)的图象关于x＝１对称,所以f错误!=ｆ错误!，f错误!＝f错误!,又当x≥1时，f(x)=lｎｘ，单调递增，所以f错误!<f错误!<ｆ(2),即f错误!<ｆ错误!<f(２）．］4．D[令t=g（x)＝ｘ2－aｘ+3a，易知f（t)=log13t在其定义域上单调递减,要使f(x)=lｏg＼f(1,3) (x2-ax＋３a)在[１，+∞)上单调递减,则ｔ＝ｇ(x）=x2-ax＋3a在[1,＋∞）上单调递增,且ｔ＝g(x)=ｘ2－ax+3a>０,即错误!所以错误!未定义书签。
即-错误!未定义书签。
＜ａ≤2.］5．Ｃ[由题意可知ｆ（-x)＝ｆ（x)，则（－ｘ－2)(－ax+b)＝（x-２）（ax＋ｂ),即(2a-b)ｘ=0恒成立，故2ａ－b＝0，即ｂ=2a．则f(x)＝a(x-2)(x+2).又函数在（０，＋∞)上单调递增,所以a>0.f(2-x)>0，即ax(x－４)>0，解得x＜0或ｘ>４.故选Ｃ.]６．Ｃ[由ｘ1ｘ２＜０,不妨设x1<0，x2＞0.∵x1＋x2<0,∴x1<-x2<0.由f(x)+f(-x）=０，知f(x)为奇函数,又由ｆ(x）在（-∞，0)上单调递增，得f(ｘ1)<f(-x2)=-ｆ(x2)，∴f(ｘ1）＋f(ｘ2）<0.故选C．]７.C [命题①，因为f(x)=0或f(x）＝1,即f（x)∈Ｑ,所以f(f(x）)=1,故①错误;命题②，因为ｘ和－ｘ要么同为有理数,要么同为无理数,所以f(-x)=f（x)，故②正确;命题③,因为T为有理数，所以x＋T和x要么同为有理数,要么同为无理数,所以f(ｘ＋Ｔ)＝f(x)，故③正确；命题④,取Ｂ，Ｃ两点在x轴上，Ａ点在直线y=1上，由两直线距离是1,可知BＣ边上的高为１，所以三角形的边长是错误!未定义书签。
，当A的横坐标为有理数x１时，B，C的横坐标分别为x1±错误!未定义书签。
，为无理数，所以④也成立.故选Ｃ．]８．C [在ｆ（x＋1)＝f(3+x)中，以x-1代换x,得f(x）=f(２+x),所以①正确；设P（ｘ1,ｙ1）,Q(x ２，ｙ２）是y＝f(x)上的两点，且x1＝x+1,ｘ2=3－x，有错误!未定义书签。
=2，由f（x1)=f(x2),得y1＝y2,即Ｐ，Q关于直线x=2对称,所以②正确;函数ｙ=f(x＋1)的图象由y=ｆ(x)的图象向左平移1个单位得到，而y＝f(３－x）的图象由y＝ｆ(x）的图象关于ｙ轴对称得ｙ＝f（-ｘ)，再向右平移３个单位得到,即y=f[－（ｘ-3）]=ｆ(３-x),于是y＝f(x＋1)与函数y＝f(3-x)的图象关于直线x＝错误!＝1对称，所以③错误；设Ｐ(ｘ，ｙ)是函数ｆ（x)图象上的任意一点,点P关于原点的对称点P′(-x,－y）必在ｙ=错误!未定义书签。
的图象上,有－y＝１－x＋１,即y=错误!,于是f（x)＝错误!未定义书签。
,所以④正确.]9．-x2＋22x-120解析∵ｆ（x)在R上是周期为4的奇函数，∴f(－ｘ)＝-f(x)．由f(x+4)=f(x)，可得f(x-１２）=f（x)．设-2≤ｘ≤０，则0≤－ｘ≤2,f(x)＝－ｆ(－ｘ)=－x2－2x，当10≤ｘ≤１2时,－2≤x-1２≤0，f(x)=f(x-1２)=－(x－1２)2-2(x－１２）=－x２+２2ｘ－１20.10.①③④解析因为f(ｘ）=f(2a-x）(a≠0),所以函数ｆ(ｘ）的对称轴为x=a.所以准偶函数的定义等价于“若函数f(ｘ)存在对称轴ｘ＝a(a≠０)，则称f(ｘ)为准偶函数”.因为函数ｆ(ｘ）=|x＋2｜的对称轴为ｘ＝-2，所以ｆ（x)＝|x＋２|是准偶函数;因为f（x)＝x2只有一条对称轴是x＝0,不满足准偶函数的定义,所以f(x)＝x２不是准偶函数;因为x＝错误!未定义书签。
是函数ｆ(x)＝sｉn x的一条对称轴，所以函数ｆ（ｘ)＝ｓiｎｘ是准偶函数;因为ｘ=π是函数ｆ(x）=cos 2x的一条对称轴，所以函数f(x)=cos2x是准偶函数.综上，应填①③④.11.34－2错误!未定义书签。
解析画出函数f（x）＝错误!未定义书签。
的图象，如图，使得错误!＝错误!未定义书签。
＝…＝错误!未定义书签。
的x1,x２,…,ｘn的个数就是直线ｙ=kｘ与y=f(ｘ)的图象的交点个数，由图知直线ｙ=kx与y=ｆ(x)的图象的交点个数最多有三个，所以n的最大值是3.当n ＝2时，错误!的最大值就是直线y=ｋx与-ｘ2＋4x－3（1≤x≤３)的图象相切时k的值，由判别式可得k＝4－２错误!未定义书签。
（ｋ=４＋2错误!未定义书签。
不合题意舍去）,即错误!未定义书签。
的最大值是4－2错误!未定义书签。
.12.②③解析①因为｜ｆ(ｘ)|＝错误!而F(x)＝错误!未定义书签。
这两个函数的定义域不同，不是同一个函数,即F(ｘ）＝|f(x)|不成立，①错误．②当x>０时，Ｆ(ｘ)=f(x)=aｌog2|x|+1，-x<０，F（-x)=－f(-x）＝－（ａlog2|－x|＋1）=-(a log2|ｘ｜+1)=－F(x);当x<０时,F(x)＝-f（x）=－（a log２|ｘ｜＋1）,－x>０，F （-x)=f（-x)＝a lｏg2|－x｜+1＝a lｏg2|ｘ|＋1=－F(x）,所以函数F(x)是奇函数，②正确.③当a ＞0时，Ｆ(x)=f(x)=a log2|x|＋1在(0,+∞)上是单调增函数.若x1ｘ2<０,x1＋x2>０，不妨设x1>０,则x２＜0，x１＞-x2>0,所以F（x1)＞F(-ｘ2)＞0，又因为函数F（ｘ)是奇函数，－F（x２)=F（-x2）,所以F(x1)+F(ｘ２）>0,③正确．④函数ｙ＝Ｆ（x2-2x-3）=错误!未定义书签。