设 X1，X2，…，Xn 是来自正态总体 N (m,s 2 ) 的样本，欲检验假设：
H0
:s
2

s
2 0
； H1
:s
2

s
2 0
（或
s2

s
2 0
或
s
2

s
2 0
）
这叫 2 检验.
均值 m 已知
均值 m 未知
统计量
统计量
H0
H1
2

1
s
2 0
n
(
X
2 i

m)2
i 1
2

1
s
2 0
偏度： g1

1 s3
n
(Xi
i 1
X )3
峰度： g2

1 s4
n
(Xi
i 1
X)4
偏度反映分布的对称性，g1 >0 称为右偏态，此时数据位于均值 右边的比位于左边的多；g1 <0 称为左偏态，情况相反；而 g1 接近 0 则可认为分布是对称的.
峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为 3，若 g2 比 3 大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数
一、点估计的求法
(一）矩估计法
假设总体分布中共含有 k 个参数，他们往往是一些原 点矩或一些原点矩的函数，例如，数学期望是一阶原点矩， 方差是二阶原点矩与一阶原点矩平方之差等.因此，要想估计
总体的某些参数 i （i=1，2，…，k），由于 k 个参数一定可以
表为不超过 k 阶原点矩的函数，很自然就会想到用样本的 r 阶原点矩去估计总体的 r 阶原点矩，用样本的一些原点 矩的函数去估计总体的相应的一些原点矩的函数，再将 k 个 参数反解出来，从而求出各个参数的估计值.这就是矩估计法， 它是最简单的一种参数估计法.
Xn）,使得
P(ˆ1 ˆ2 ) 1 则称随机区间(ˆ1,ˆ2 ) 为参数 的置信水平为1 的置信区间,ˆ1 称为 置1．已知DX，求EX的置信区间
设样本（X1，X2，…，Xn）来自正态母体 X，已知方差 DX s 2 ，
n
p(x1,1, ,k ) p( x2 ,1, ,k ) p( xn ,1, ,k ) p( xi ,1, ,k ) i 1
使 L(1,, k ) 达到最大，从而得到参数 i 的估计值ˆi .此估计值称为极大似然估计值.函数
L(1,, k ) 称为似然函数.
一、参数检验
（一）单个正态总体均值的检验
设取出一容量为 n 的样本，得到均值 X 和标准差 s，现要
对总体均值 m 是否等于某给定值 m0 进行检验.记 H0 : m m0 ； H1 : m m0
称 H0 为原假设，H1 为备择假设，两者择其一：接受 H0；拒绝 H0， 即接受 H1.
1．总体方差s 2 已知
数学建模与数学实验
数据的统计描述和分析
实验目的
1．直观了解统计基本内容. 2．掌握用数学软件包求解统计问题.
实验内容
1．统计的基本理论. 2．用数学软件包求解统计问题. 3．实验作业.
数
据 的
统计的基本概念
统
计
参数估计
描
述
和
假设检验
分
析
一、统计量
1. 表示位置的统计量—平均值和中位数.
平均值（或均值，数学期望）： X
EX 在置信水平 1- 下的置信区间为[ X u 1 2
s
n
,X
u 1 2
s ].
n
2． 未知方差DX，求EX的置信区间
EX 在置信水平 1- 下的置信区间为[ X t 1 2
s n
,X
t 1 2
s ]. n
（二）方差的区间估计
DX
在置信水平
1-
下的置信区间为[(n 1)s 2
据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一.
4.
k 阶原点矩：Vk

1 n
n i 1
X
k i
k 阶中心矩：U k

1 n
n
(Xi
i 1
X )k
二、分布函数的近似求法
1.整理资料： 把样本值 x1，x2，…，xn 进行分组，先将它们依大小次序排列，
得
x1*

x2*

x
* n
.在包含
(二）极大似然估计法
极大似然法的想法是: 若抽样的结果得到样本观测值 x1,x2,…,xn, 则我们应当选取参数 i 的
值,使这组样本观测值出现的可能性最大.即构造似然函数：
L(1, 2 ,, k ) P( X1 x1, X 2 x2 ,, X n xn ) P( X1 x1 )P( X 2 x2 )P( X n xn )
（或
s
2 1

s
2 2
，或
s
2 1

s
2 2
现的次数 ni ，它就是这区间或这组的频数.计算频率
fi

ni n
.
3.作频率直方图：在直角坐标系的横轴上，标出
x1'
,
x2'
,
,
x
' n
各点，分别以
(
xi'
,
x' i 1
]
为底边，作高为
fi
x
' i
的矩形， xi'

xi'1 xi' , i 1,2,, n 1,即得
频率直方图.
2.非参数检验：如果所检验的假设并非是对某个参数作出明 确的判断，因而必须要求构造出的检验统计量的分布函数 不依赖于观测值的分布函数类型，这种检验叫非参数检验. 如：要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验.
假设检验的一般步骤
1．根据实际问题提出原假设 H0 与备择假设 H1，即说明需要检验 的假设的具体内容；
j(x)
1
x2
e2
2p
分布函数
F(x)
1
x
y2
e 2 dy
2p
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-4
-2
0
2
4
6
2. 2 分布 2 (n)
若随机变量 X1，X2，…，Xn 相互独立，都 服从标准正态分布 N（0，1），则随机变量
Y=
X
2 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
返回
无论总体 X 的分布函数 F（x；1, 2 ,, k ）的类型已知或未知，我
们总是需要去估计某些未知参数或数字特征，这就是参数估计问题.即参
数估计就是从样本（X1，X2，…，Xn）出发，构造一些统计量ˆi ( X1，X2，…，
Xn）（i=1，2，…，k）去估计总体 X 中的某些参数（或数字特征） i（i=1，
X
F n1 Y
n2
服从自由度为（n1，n2）的 F 分布，记作 F~ F（n1，n2）.
由 F 分布的定义可以得到 F 分布的 一个重要性质：
若 F~ F（n1，n2），则
1 F
~
F (n2 , n1 )
F（10，50）分布的密度函数曲线
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

1 n
n i 1
Xi
中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值.
2. 表示变异程度的统计量—标准差、方差和极差.
标准差： s
[ 1 n 1
n i1
(Xi

1
X )2 ]2
它是各个数据与均值偏离程度的度量.
方差：标准差的平方.
极差：样本中最大值与最小值之差.
3. 表示分布形状的统计量—偏度和峰度
2．选择适当的统计量，并在原假设 H0 成立的条件下确定该统计量 的分布；
3．按问题的具体要求，选取适当的显著性水平 ,并根据统计量
的分布查表,确定对应于 的临界值.一般 取 0.05,0.01 或 0.10；
4．根据样本观测值计算统计量的观测值，并与临界值进行比较，从
而在检验水平 下对拒绝或接受原假设 H0 作出判断.
Ⅲ m1 m2 m1 m2
z u1
t t1 (n1 n2 2)
（四）两个正态总体方差的检验
设样本 X1，X2，…，Xn
与 Y1，Y2，…，Yn
分别来自正态总体
N
(m1
,s
2 1
)
与
1
2
N
(m
2
,
s
2 2
)
，检验假设：
H0
:
s
2 1

s
2 2
；
H1
:
s
2 1

s
2 2
求极大似然估计值的问题，就是求似然函数 L(1,, k ) 的最大值问题，则
L 0 i 1,2,, k i
即
lnL 0 i 1,2,, k
i
二、区间估计的求法
设总体 X 的分布中含有未知参数 ，若对于给定的概率1 （ 0 1），存在两个统计量ˆ1 ( X1，X2，…，Xn）和ˆ2( X1，X2，…，
三、几个在统计中常用的概率分布
1．正态分布N (m,s 2 )