插值法和拟合实验报告
一、
实验目的
1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；
2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；
3.利用matlab 编程，学会matlab 命令；
4.掌握拉格朗日插值法；
5.掌握多项式拟合的特点和方法。
二、
实验题目
1.、插值法实验
将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点
k
x 的值，进行不同类型
的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较：
;11
)(2x x f += ;arctan )(x x f =
.1)(42x x x f += (1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值.
2、拟合实验
给定数据点如下表所示：
分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数
)
,(i i y x 和拟合函数的图形。
三、
实验原理
1.、插值法实验
∏
∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--=
=-=
==-=-=----==++==j
i j j
i i i i i n
i i n n
j
i j j
n
j
i j j
i i n
j
i j j
n i i i n
i i n n
n o i n
i i n x x x x x y x l x L x x c n
i x x c x x x c
x x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00
,0,0,01100
00
)(l )()()
(1
,1,0,
1)()(l )
()())(()()()()()()()(，
故，
得
再由，设
2、拟合实验
四、实验内容
1.、插值法实验
1.1实验步骤：
打开matlab软件，新建一个名为chazhi.m的M文件，编写程序（见1.2实验程序），运行程序，记录结果。
1.2实验程序：
x=-5:1:5;
xx=-5:0.05:5;
y1=1./(1+x.^2);
L=malagr(x,y1,xx);
L1=interp1(x,y1,x,'linear');
S=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);
hold on;
plot(x,y1,'b*');
plot(xx,L,'r');
plot(x,L1,'g');
plot(xx,S,'k');
figure
x=-5:1:5;
xx=-5:0.05:5;
y2=atan(x);
L=malagr(x,y2,xx);
L1=interp1(x,y2,x,'linear');
S=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);
hold on;
plot(x,y2,'b*');
plot(xx,L,'r');
plot(x,L1,'g');
plot(xx,S,'k');
figure
x=-5:1:5;
xx=-5:0.05:5;
y3=x.^2./(1+x.^4);
L=malagr(x,y3,xx);
L1=interp1(x,y3,x,'linear');
S=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);
hold on;
plot(x,y3,'b*');
plot(xx,L,'r');
plot(x,L1,'g');
plot(xx,S,'k');
1.3实验设备：matlab软件。
2、拟合实验
2.1．实验步骤：
新建一个名为nihe.m的M文件，编写程序（见2.2实验源程序），运行程序，记录结果。
2.2实验程序：
x=[-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5];
y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55];
a1=mafit(x,y,3)
x1=[-1.5:0.05:1.5];
y1=a1(4)+a1(3)*x1+a1(2)*x1.^2+a1(1)*x1.^3;
hold on
plot(x,y,'b*');
plot(x1,y1,'r');
p1=polyval(a1,x);
s1=norm(y-p1)
figure
a2=mafit(x,y,5)
x2=[-1.5:0.05:1.5];
y2=a2(6)+a2(5)*x2+a2(4)*x2.^2+a2(3)*x2.^3+a2(2)*x2.^4+a2(1)*x2.^5; hold on
plot(x,y,'b*');
plot(x2,y2,'r');
p2=polyval(a2,x);
s2=norm(y-p2)
2.3实验设备：matlab软件。
五、实验结果
1.、插值法实验
（1）
（2）
（3）
2、拟合实验（1）
平方误差：s1 =0.0136
输入程序得到：
a1 =
2.0000 -0.0014 -1.5007 0.0514 s1 =
0.0136
（2）
平方误差：s2 = 0.0069
输入程序得到：
a2 =
0.0120 0.0048 1.9650 -0.0130 -1.4820 0.0545 s2 =
0.0069
>>
六、实验结果分析
1.、插值法实验
结果分析：
（1）由插值结果曲线图可见，拉格朗日插值在节点附近误差很小，但在两端有振荡现象；分段线性插值具有良好的收敛性，但在节点处不光滑；而三次样条插值在直观上与原函数曲线吻合得最好；
（2）分析可知，均匀插值时（拉格朗日插值），会出现多项式插值的Runge 现象，当进行非等距节点插值时（分段线性插值、三次样条插值），其近似效果明显要比均匀插值要好，原因是非均匀插值时，在远离原点处的插值节点比较密集，所以其插值近似效果要比均匀插值时的效果要好。
2、拟合实验
结果分析：
可能是原始数据太少的问题，在拟合结果曲线图看不出三次和五次有什么差别，但由于三次多项式拟合的平方误差大于五次多项式拟合的平方误差，因此五次多项式拟合比三次多项式拟合效果要好。