渭南师范学院本科毕业论文题目：如何构造辅助函数专业：数学与应用数学系班：数学系09级专升本1班毕业年份： 2011年姓名：王婉丽学号： 090721085 指导教师：薛利敏职称：教授渭南师范学院教务处制目录本科毕业论文任务书 (1)本科毕业论文开题报告 (3)本科毕业论文登记表 (5)本科毕业论文文稿 (7)本科毕业论文答辩记录 (15)渭南师范学院本科毕业论文（设计）任务书注：1. 任务书由指导教师填写、经教研室主任及系主管教学副主任审批后，在第七学期末之前下达给学生.2. 文献查阅指引，应是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什么和怎样查阅.渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告注：开题报告是在导师的指导下，由学生填写.渭南师范学院本科毕业论文（设计）登记表如何构造辅助函数王婉丽（渭南师范学院数学与信息科学学院数学系09级专升本1班）摘要:简单探讨了微积分解题中辅助函数的构造方法，微积分中构造辅助函数解决有关问题是一种创造性的思维过程,具有较好的灵活性和技巧性，它可以架起一座连接条件和结论的桥梁,从而可化难为易,使问题得以解决。
因此,总结和研究了微积分解题中构造辅助函数的原函数法并对其给以相应的例题加以说明。
通过对微积分解题中辅助函数构造方法的总结探讨,不但使我们对辅助函数的作用有了深刻的认识理解,而且对辅助函数的构造方法及应用有了进一步的掌握,为微积分中诸多综合复杂问题的解决提供了较为便捷的思路与方法。
关键词：罗尔定理；辅助函数；微积分1预备知识定理1.1[2]（罗尔中值定理）若函数()f x满足如下条件：（i）()f x在闭区间[]b a,上连续；a,内可导；（ii）()f x在开区间()b（iii）)faf=，(b)(a,内至少存在一点ξ,使得则在()bfξ'=。
()0定理1.2[2]（介值定理）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠若μ介于()f a 与()f b 之间的任何实数(()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()f x μ=。
2 方法及应用原函数法其实是一种逆向思维的方法,在结合微分中值定理求解介值定理（或者零点）问题时,要证明的结论往往是一个函数的导函数的零点,这时可通过不定积分反求出原函数构造出辅助函数,然后用以下步骤求辅助函数：第一步：将结论通过恒等变换,化为容易积分的函数形式,在结论积分不是 很复杂的情况下一般常用的变换方法是移项将等式一端变换为常数0；第二步：用x 替换变换后等式中的变量；第三步：用观察法或凑微分法求出原函数,则原函数即为所要构造的辅助函数；第四步：最后结合微分中值定理,推导出结论来。
例 2.1 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且(0)(1)0f f ==,求证：存在(0,1)ξ∈，使2()()1f f ξξξ'''=-。
分析： 这个辅助函数的构造可以根据要证结论的等式进行变换,则可得()2()1f x f x x''='-，两边积分可得ln ()2ln 1ln f x x c '=--+，得2(1)()c x f x '=-，这样就找出了所需要构造的辅助函数。
证明： 设辅助函数2()(1)()F x x f x '=-,因为()f x 在[0,1]上二阶可导,则()f x 在[0,1]上连续且在(0,1)内可导,而(0)(1)0f f ==满足罗尔定理,则存在1(0,1)ξ∈内,使1()0f ξ'=.在1(,1)ξ内又2111()(1)()0F f ξξξ'=-=，2(1)(11)(1)0F f '=-=则可知()F x 满足罗尔定理,所以存在1(,1)(0,1)ξξ∈⊂,使得()0F ξ'=又2()2(1)()(1)()F x x f x x f x ''''=--+-所以2()2(1)()(1)()0F f f ξξξξξ''''=--+-=即得2()()1f f ξξξ'''=- 证毕。
例 2.2 设函数()f x 在[,]a b 上可导，试证明存在(,)z a b ∈，使得()()()()bf b af a f z zf z b a-'+=-。
分析： 本例题按照归纳的证明步骤，将结论通过恒等变换，移项将等式一端变换为常数0，然后用x 替换变换后等式中的变量z ，再求出原函数，即函数()f x ，则完成了辅助函数的构造，最后运用罗尔得出结论。
证明：将要证得结论变形为：()()()()0bf b af a f z zf z b a-'+-=-， 则根据积分构造辅助函数 ()()()()()[()()]()bf b af a bf b af a F x f x xf x dx xf x b a b a --'=+-=---⎰ 可知函数满足罗尔定理的条件，即()()F a F b =，所以，存在(,)z a b ∈，使得()()()()()0bf b af a F z f z xf z b a-''=+-=-。
证毕。
例 2.3 ()f x 在[,]a b 连续，(,)a b 可导，则存在(,)a b ξ∈222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-。
证明：（证明一）将要证的结论变形得22()()()2f b f a f b aξξ-'=•-，将等式中的ξ记为x ，即22()()()2f b f a f x x b a-'=•-， 然后积分得 222()()()f b f a f x x c b a -=•+-， 得到辅助函数 222()()()()f b f a F x c f x x b a -==-•-， 显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，又因为2222()()()()b f a a f b F a F b b a -==-， 满足罗尔定理，所以存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，故222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-。
证毕。
本例题证明中在构造辅助函数时使用了一个技巧，即将积分后的原函数的常数，独立出来移项到一端，则利用常数在区间[,]a b 上的性质，然后运用罗尔定理，导出结论。
如果严格按照归纳的步骤来做依然能够得出结论，如下 （证明二）：将要证明的等式中的ξ记为x ，然后积分得222(()())()()x f b f a b a f x -=-，得到辅助函数222()(()())()()F x x f b f a b a f x '=---，可知()()F a F b =.故由罗尔定理可得222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-。
证毕。
通过例2.3的两个证明我们可以看出，构造函数法是一个发散性思维很强，方法，可以从不同的角度来考虑辅助函数的构造。
例 2.4设()f x 在[,](0)a b a b <<上连续，在(,)a b 内可导，且()0()f x a x b '><<， ()()0af b bf a -=.证明在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()f f ξξξ='。
分析：要证()()0f f ξξξ'-=，即证2()()0f f ξξξξ'-=， 即证2()()[]0x xf x f x x ξ='-=，即证()[]0x f x xξ='=。
从而作辅助函数()()f x F x x=，并对()F x 在[,]a b 上使用罗尔定理即可。
证明：令()()f x F x x=， 由题设知，()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，又： ()()()()f a f b F a F b a b=== 由罗尔定理，存在(,)a b ξ∈，使0F '=，即()()f f ξξξ='。
证毕。
例 2.5 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，1()12f =，试证至少存在一个(0,1)ξ∈，使()1f ξ'=。
分析：()1()1()()0f f x f x x f x x ξ''=⇒=⇒=⇒-=，令 ()()F x f x x =-。
证明：令()()F x f x x =-，则显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导.又(1)(1)110((1)0)F f f =-=-<=， 11111()()0(()1)22222F f f =-=>=。
由零点存在定理可知，∃一个1(,1)2η∈，使()0F η=。
又(0)(0)00F f =-=，对()F x 在[0,]η上用罗尔定理，存在(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()0F ξ'=，即()1f ξ'=。
证毕。
例 2.6 设()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且1(1)2f =，(2)2f =，证明存在点(1,2)ξ∈，使得2()()f f ξξξ'=。
分析：以本题为例，介绍求辅助函数()F x 的不定积分法，具体步骤为：（1）将所证等式中的ξ换成x ，2()()f x f x x '=； （2）将上式变形为易于积分的形式，()2()f x f x x '=； （3）两边积分()2()f x dx dx f x x '=⎰⎰，得 2ln ()2ln ,()f x x c f x cx =+=；（4）解出c ，2()f x c x =， 作辅助函数2()()f x F x x =，容易验证： 24()2()()0f f F ξξξξξξ'-'==， 等价于 2()()f f ξξξ'=。
证明：令2()()f x F x x =。
显然()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导， 又 1(1)(1)2F f ==，(2)1(2)42f F ==. 由罗尔定理知，存在(1,2)ξ∈，使()0F ξ'=，即2()()f f ξξξ'=。
证毕。
构造辅助函数的方法中，原函数是常用的，因此，熟悉一些常见函数的导数形式对寻找原函数是有用的。
下面介绍一些常见表达式中的原函数。
(1)要证()()()()0f g f g ξξξξ''+=，即证[()()]0x f x g x ξ='=，所以可令()()()F x f x g x =。