第4模块 第1节[知能演练]一、选择题1．判断下列各命题的真假：(1)向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；(2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； (6)有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：(1)真命题；(2)假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线向量所在直线可以重合、可以平行；(6)假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．答案：C2．若四边形ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b ＋12aB ．b －12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：BE →＝BC →＋CE →＝b ＋(－12a )＝b －12a .答案：B3．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，若CD →＝ rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )A.23B ．0C.43D ．－3解析：在△ABC 中，CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，故r ＋s ＝0. 答案：B4．平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，点E 在BC 上，且BE →＝2EC →，设AB →＝a ，AD →＝b ，则OE →为( )A.32a ＋76b B.12a ＋16b C.12a －16bD.12a ＋23b 解析：如右图．由向量的运算法则得OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13DA →＝12(a ＋b )－13b ＝12a ＋16b ，故选B.答案：B 二、填空题5．△ABC 中，BD →＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →＝________.解析：依题意有BE →＝BD →＋DE →＝BD →＋14DA →＝BD →＋14(BA →－BD →)＝34BD →＋14BA →＝34×13BC →＋14BA →＝14(b －a )＋14(－a )＝－12a ＋14b .答案：－12a ＋14b6．如下图所示，两块斜边长相等的直角三角板并在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设AB →＝(1,0)，AC →＝(0,1)，则|BC →|＝2，∴|BD →|＝2×sin60°＝62.由题意有AD →＝(x ，y )，∴x ＝1＋62cos45°＝1＋32，y ＝62sin45°＝32.故x ＝1＋32，y＝32. 答案：1＋32，32三、解答题7．在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC CA ＝λ(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b .(1)当λ＝1时，用a ，b 表示OC →； (2)用a ，b 表示OC →.解：(1)当λ＝1时，OC →＝12(OA →＋OB →)＝12a ＋12b .(2)OC →＝OB →＋BC →，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， 因为BCCA ＝λ，BC ＝λCA ，BA ＝BC ＋CA ，BA ＝(λ＋1)·CA ，BC ＝λ1＋λBA .所以BC →＝λ1＋λBA →，即OC →＝OB →＋λ1＋λBA →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λa ＋b 1＋λ.8．如下图，点O 是梯形ABCD 对角线的交点，|AD |＝4，|BC |＝6，|AB |＝2. 设与BC →同向的单位向量为a 0，与BA →同向的单位向量为b 0.(1)用a 0和b 0表示AC →，CD →和OA →；(2)若点P 在梯形ABCD 所在的平面上运动，且|CP →|＝2，求|BP →|的最大值和最小值． 解：(1)由题意知BC →＝6a 0，BA →＝2b 0，∴AC →＝BC →－BA →＝6a 0－2b 0； ∵AD →∥BC →，∴AD →＝4a 0，则CD →＝CA →＋AD →＝2b 0－6a 0＋4a 0＝2b 0－2a 0； 过C 点作CM ∥BD ，易知四边形BCMD 是平行四边形．则|AO ||AD |＝|AC ||AM |，即|AO |4＝|6a 0－2b 0|10， 得OA →＝45b 0－125a 0.(2)BP →＝BC →＋CP →，BP →2＝(BC →＋CP →)2＝BC →·BC →＋CP →·CP →＋2BC →·CP →，即|BP →|2＝|BC →|2＋|CP →|2＋2|BC →|·|CP →|·cos 〈BC →，CP →〉＝62＋22＋2·6·2cos 〈BC →，CP →〉＝40＋24cos 〈BC →，CP →〉．∵cos 〈BC →，CP →〉∈[－1,1]，∴当cos 〈BC →，CP →〉＝1时，|BP →|max ＝8. 当cos 〈BC →，CP →〉＝－1时，|BP →|min ＝4.[高考·模拟·预测]1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ， ∴(k －1)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线， ∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向，选D. 答案：D2．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是 ( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得∠BAC 的平分线垂直于BC . ∴AB ＝AC .而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D. 答案：D3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD的面积为________．解析：由于AB →＝DC →＝(1,1)，则四边形ABCD 是平行四边形且|AB →|＝2，又由1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，得BC 、CD (BA )与BD 三者之间的边长之比为1∶1∶3，那么可知∠DAB ＝120°，所以AB 边上的高为62.所以四边形ABCD 的面积为2×62＝ 3. 答案： 34．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{b |b ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝________.解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝0，∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．答案：{(－2，－2)}5． O 是平面上一点，A ，B ，C 是平面上不共线三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12时，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________． 解析：由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12，得AP →＝12(AB →＋AC →)，即P 为△ABC 中BC 边的中点．∴PB →＋PC →＝0.∴P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·0＝0. 答案：06．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |的值最小？ 解：(1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ，化简得(23m －1)a ＝(m3－t )b ，∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧ 23m －1＝0m3－t ＝0⇒⎩⎨⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2 ＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos60° ＝(1＋t 2－t )|a |2.∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.。