• 其二是英国的威廉·山克斯，他耗费了15年的光阴， 在1874年算出了圆周率的小数点后707位，并将 其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜，后人发 现，他从第528位开始就算错了。[7]
• 圆周率的最新计算纪录由日本筑波大学所创造。 他们于2009年算出π值2576980370000 位小数， 这一结果打破了由日本人金田康正的队伍于2002 年创造的1241100000000位小数的世界纪录。
• 数学分析 • • • • 特斯林近似公式： • • 欧拉恒等式： • • π的连分数表示： •
数论
• 两个任意自然数是互质的概率是 6/(π*π)。 • 任取一个任意整数，该整数没有重复质因
子的概率为 6/(π*π)。 • 一个任意整数平均可用 π/4 个方法写成两
个完全数之和。
概率论
设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地 板，现在随意抛一支长度比木纹之间距离 小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。 这就是布丰投针问题。1777 年，布丰自己 解决了这个问题——这个概率值是 1/π。
例如，金字塔的周长和高度之比等 于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半 径之比。
公元前800至600年成文的古印度宗 教巨著《百道梵书》（Satapatha Brahmana）显示了圆周率等于分数 339/108, 约等于3.139。[3]
• 几何法时期
• 古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突 出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过数学算法计算圆周率近似 值的先河。他求出圆周率的下界和上界分别为 223/71 和22/7， 并取它们的平均值3.141851 为 圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两 侧数值逼近的概念，称得上是“计算数学”的鼻 祖。
祖冲之35岁时，他开始计算圆周率。
• 在中国古代，人们从实践中认识到，圆的 周长是“圆径一而周三有余”，也就是圆 的周长是圆直径的三倍多，但是多多少， 意见不一。
• 祖冲之不但精通天文、历法，他在数学方面的贡献，特别 对“圆周率”研究 的杰出成就，更是超越前代，在世界数学 史上放射着异彩。
• 圆周率的应用很广泛。尤其是在天文、历法方面，凡牵涉 到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。我国古代劳动 人民在生产实践中求得的最早的圆周率值是“ 3”，后来， 随着天文、数学等科学的发展，研究圆周率的人越来越多 了。西汉末年的刘歆首先抛弃“3”这个不精确的圆周率值， 他曾经采用过的圆周率是3.547。东汉的张衡也算出圆周 率为π=3.1622。这些数值比起π=3当然有了很大的进步， 但是还远远不够精密。到了三国末年，数学家刘徽创造了 用割圆术来求圆周率的方法，圆周率的研究才获得了重大 的进展。
从理论上来讲，如果内接正多边形的边数增加 到无限多时，那时正多边形的周界就会同圆周密切 重合在一起，从此计算出来的内接无限正多边形的 面积，也就和圆面积相等了。不过事实上，我们不 可能把内接正多边形的边数增加到无限多,只能有 限度地增加内接正多边形的边数，使它的周界和圆 周接近重合。
刘徽从圆内接正六边形开始，逐次加倍地增加 边数，一直计算到内接正九十六边形为止，求得了 圆周率是3.141024。把这个数化为分数，就是 157/50。刘徽所求得的圆周率，后来被称为“徽率”。 他这种计算方法，实际上已具备了近代数学中的极 限概念。
• 7月22日为圆周率近似日（英国式日期记作22/7，看成圆 周率的近似分数）
• 有数学家认为真正的圆周率应为2π，并将“真正的圆周率” 记为τ（发音：tau）。数学界对圆周率到底是π还是τ长期 存在争论。[8
祖冲之和圆周率
• 祖冲之是中国古代伟大的数学家和天文学 家。祖冲之于公元429年出生在建康（今江 苏南京），他家历代都对天文历法有研究， 他从小就接触数学和天文知识，公元464年，
中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的 中有“径一而周三”的记载，意即取π=3。[4]汉 朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等 于10的开方（约为3.162）。这个值不太准确，但 它简单易理解。
公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计 算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一 直算到圆内接正192边形。他说“割之弥细，所 失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合 体而无所失矣。”，包含了求极限的思想。后来 发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到 1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满 意的圆周率3927/1250=3.1416。
• 约在公元530年，印度数学大师阿耶波多利 用384边形的周长，算出圆周率约为 √9.8684。婆罗门笈多采用另一套方法，推 论出圆周率等于10的算术平方根。
• 阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率 17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年 的纪录。德国数学家柯伦于1596年将π值算 到20位小数值，后投入毕生精力，于1610 年算到小数后35位数，该数值被用他的名 字称为鲁道夫数。
代数
• π是个无理数，即不可表达成两个整数之比， 是由JohannHeinrich Lambert于1761年证 明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更 证明了π是超越数，即不可能是任何有理数 多项式的根。
• 圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺 规作图问题的可能性，因所有尺规作图只 能得出代数数，而超越数不是代数数。
• 其中arctan(x)可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。 1873 年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位，可惜 他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共 同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。
计算机时代
• 1949年，美国制造的世上首部电脑－ENIAC（Electronic Numerical Interatorand Computer）在亚伯丁试验场启用 了。 次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑， 计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成 了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分 钟算出一位数。五年后，NORC（海军兵器研究计算机） 只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。科技不断进步， 电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、 英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也 越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和M. Bouyer发现 了π的第一百万个小数位。
圆周率符号
• 一个是355/113（约等于3.1415927），这 一个数比较精密，祖冲之称它为“密率”。另 一个是22/7（约等于3.14），这一个数比较 粗疏，所以祖冲之称它为“约率”。
• 祖冲之求得“密率”，并且明确地用上、下两 限来说明圆周率这个数值的范围。在一千 五百年前，他有这样的成就和认识，真值 得我们钦佩。
统计学 • 正态分布的概率密度函数：
物理学 • 海森堡不确定性原理：
• 相对论的场方程：
趣闻事件：
• 历史上最马拉松式的手工π值计算，其一是德国 的LudolphVan Ceulen，他几乎耗尽了一生的时 间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到 了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被 称为Ludolph数；
• 排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数， 使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本 号是3.141592
• 3月14日为圆周率日，“终极圆周率日”则是1592年3月 14日6时54分，(因为其英式记法为“3/14/15926.54”，恰 好是圆周率的十位近似值。)和3141年5月9日2时6分5秒 （从前往后,3.14159265）4.
公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之 进一步得出精确到小数点后7位的π值，给出不足 近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得 到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。在 之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。 其中的密率在西方直到1573年才由德国人奥托得 到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中， 欧洲称之为安托尼斯率。
定义：
圆周率，一般以π来表示，是一个在数学 及物理学普遍存在的数学常数。它定义为 圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之 面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、 圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在 分析学上，π可以严格地定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x。
历史发展：
• 实验时期 一块产于公元前1900年的古巴比伦石
• 2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近 藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万 亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位 吉尼斯世界纪录。今年56岁近藤茂使用的是自己 组装的计算机，从去年10月起开始计算，花费约 一年时间刷新了纪录。
在各领域的用途：
• 几何
圆柱 底面积：πr*r 底面周长：2πr、πd 侧面积：πdh、2πrh 表面积：2πr*r+πdh、2πrh 体积：sh、πr*rh（底面积×高） 圆锥 底面积：πr*r 底面周长：2πr、πd 体积：1/3sh、πr*rh 扇形 面积公式： n/360*πr²（其中n表示该扇形对应的角度） 弧长公式：n/180*πr（其中n表示该扇形对应的角度） 圆 面积：πr*r 周长：2πr、πd 圆环 面积：π（R*R-r*r） 周长：2πr、πd
趣味记忆圆周率
趣味记忆圆周率100位
先设想一个酒徒在山寺狂饮，醉死山沟的情景： 山巅一寺一壶酒（3.14159），儿乐（26），我三壶不够吃 （535897），酒撒了（932）！闪不死（384），遛了遛（626）， 死山扇把扇（43383），儿弃沟（279）。[前30位] 接着设想“死”者父亲得知儿“死”后的心情： 吾疼儿（502），白白死已够凄矣（8841971），留给山沟沟 （69399）。[15位] 再设想“死”者父亲到山沟寻找儿子的情景： 山拐我腰痛（37510），我怕你冻久（58209），凄事久思思 （74944）。[15位] 然后是父亲在山沟里把儿子找到，并把他救活。儿子迷途知返的 情景： 吾救儿（592），山洞拐（307），不宜留（816）。四邻乐（406 ），儿不乐（286），儿疼爸久久（20899）。爸乐儿不懂（86280 ）。‘三思吧（348）！’儿悟（25）。三思而依依（34211）， 妻等乐其久（70679）[最后40位] π = 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510