闵行中学2010学年第二学期高一年级数学学科期中考试卷2010.4一． 填空题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 与2009︒终边相同的最小正角是_________________.2. 集合,25k M k Z ππαα⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，{}N απαπ=-<<，则M N =∩ _____ .（用列举法表示）3. 若角α的终边经过点(1,A -,则cos α= ． 4. 已知4sin 5α=，且α是第二象限角，那么tan α的值为_________________. 5. 已知半径为2cm 的扇形的圆心角为23π，则该扇形的面积为___________2cm . 6.倍，则这条弦所对的圆心角为________________弧度.7. 函数21xy =+(0x ≥)的反函数是_________________________. 8. 化简cos45cos15cos45cos75__________________.9. 若tan 2α=，则22sin cos sin cos αααα=-________________.10. 已知角α和β满足220πβα≤<<，且()()ββαββαsin sin 21cos cos 2++-=+，则α和β满足的关系式是:_______________________. 11. 如图，有一高楼OP ，楼前有遮挡物体，故不能直接测量到高楼的水平距离，现采用如下方法测量高楼高度：A 为观测地点，'','A A 是两个高度已知且在同一条垂直地面的垂线上的两个观测点. 给出如下观测数据：① 观测点高度 'AA a = '''A A b = ② 观测仰角 α=∠''O PA β=∠''''O PA试用上述数据表示高楼高度：OP =___________________________.O ''O 'A 'OA 'A12. 如果()sin sin sin αβαβ+=+，则α和β满足的关系式可以是:__________________.① ()2k k Z απ=∈ ② ()24R k k Z παβπ∈=+∈且③ ()2k k Z αβπ+=∈ ④ ()k k Z αβπ+=∈二． 选择题（共4小题，每小题4分，共16分）13． “3πα=”是“tan α=------------------------------------------------------------（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分又非必要条件14． 下列命题中真命题的个数是 ------------------------------------------------------------------（ ）①{}{}36090,18090,k k Z k k Z ααββ=⋅︒±︒∈==⋅︒+︒∈；② ()cos cos παα-=-；③ 若4α=，则sin 0cos 0αα><且.A ．0 个B ．1 个C ． 2 个D ． 3 个15．在ABC ∆中，若cos cos sin sin A B A B >，则此三角形一定是------------------------（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．形状不确定16．若2log 1sin x α=+()R α∈，则函数24312x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为-------------------------（ ）A ．(]0,2B ． 11,162⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦三． 简答题（共5小题，共计74分，每小题要有必要的解题过程）17．（本题满分10分）已知是第一象限的角，且4sin5，求sin 2和tan 2的值.18．（本题满分14分） （1）已知tan 34πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求θθ2cos 22sin -.（219．（本题满分12分）已知锐角ABC ∆，三条边c b a ,,的对角分别是C B A ,,，其中8a =，3B π=，ABC S ∆=（1）求边长c ； （2）求ABC ∆中最小内角的正弦值.20．（本题满分18分,第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）设()x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，()12log f x x =，（1） 当0<x 时，求()x f 的表达式； （2） 解不等式()2f x ≤；（3） 是否存在正实数()0,1a ∈，使得当[]1,1x a a ∈-+时，函数()f x 的最大值是2141log 2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.21． （本题满分20分,第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）已知ABC ∆，三条边c b a ,,的对角分别是C B A ,,，其周长为p ，面积为S . 根据下列条件，研究以下各问题： （1） 若tan tan tan a b cA B C==，判断ABC ∆的形状； （2） 若22sin sin 1A B +=，且最大边12=c ，求其面积S 的最大值； （3） 若57a ≤≤，78c ≤≤，且2cos 9C =，求其面积S 的最大值. 对问题（3）有同学给出如下解法： 11sin 7812822S ac B =≤⨯⨯⨯= 当7,8,90a c B ===︒时，面积S 有最大值28.上述解法是否正确，请说明理由；若正确试求ba的取值范围，若不正确给出求面积S 最大值的正确解法.2010年高一年级期中考试数学试卷（解答）1. 209︒2. 347,,,510510ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 3. 12- 4. 43- 5.43π 6. 23π 7. ()()2log 12y x x =-≥ 8.2 9. 23 10. 223παβ+=11. tan tan tan b OP a ααβ=+- 或 ()sin cos sin OP a b αβαβ=+- 12. ① ③13. A 14. C 15. A 16. D17.（满分10分） 解：θ是第一象限的角，3cos 5θ∴== （2分）24sin 22sin cos 25（4分） sin 1tan21cos2（4分） 18．（14分） 解：（1）1tan 2θ=2222tan 24sin 22cos 1tan 1tan 5θθθθθ-=-=-++ （7分） （2）原式)2sin10cos10sin10cos10cos10sin101sin10cos10sin10cos10sin10cos170---====---- （7分）19．（满分12 分）. 解：（1）11sin 8sin 12223ABC S ac B c c π∆==⋅⋅⋅=⇒=（4分） （2）由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+- 2112b b =∴= （4分）c b a >> ∴A 为最小角由正弦定理：sin sin a bA B= 得sin sin 7a B A b == （4分） 20.（满分18分）解： （1）当0<x 时，0x -> ()()12log f x x ⇒-=-∵()f x 是奇函数 ∴()()()()122log log f x f x x x =--=--=- （4分）（2）由题意，得()12200140log 2log 24x x x x x x >⎧<⎧⎪⎪⇒≥-≤<⎨⎨≤-≤⎪⎩⎪⎩或或又()00f =，所以不等式的解集[]14,0,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（7分）()[]()()()()()[]()()(){}()()()()()()()()12212max 21212222111124241111111111131,10,0,1log 1,log 1,max ,max log ,log log log log log log log log log 2f x f x f a f a a a a a a a a a a a a x x x x x a a f x ≠-+-+-+-+-+-+⊂+∞∈=∈+∞=∴∈--⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎧><⎪⎪⇒⎨⎛⎫⎪=+= ⎪⎝⎭⎪⎩由上述可知：是减函数；是增函数.当当时，当时，时，或2()1214a a ⎧⎪⎪⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭⎪⎩=舍解得满足要求.（7分）21.（满分20分） 解： （1）tan tan tan a b cA B C==由正弦定理得2sin 2sin 2sin tan tan tan R A R B R CA B C==cos cos cos A B C ⇒== (),,0,A B C π∈ ∴A B C == 即ABC ∆是等边三角形. （6分）（2）c 是最大边 ∴,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由2222sin sin 1sin cos sin cos A B A BA B +=⇒=⇒=sin sin 22A B A B ππ⎛⎫⇒=-⇒=- ⎪⎝⎭即2C π=()()1sin cos 36sin 2362S c A c A A =⋅=≤ （7分） 所以当4A π=时 max 36S =（3） 上述解法不正确，可验证此时2cos 9C ≠由余弦定理得22224422999c a b ab ab ab ab =+-⋅≥-= 2914ab c ⇒≤2119sin 221497S ab C c =≤⋅⋅≤所以当()5,7a b ==时 max 7S =. （7分）。