又由右准线方程为 x 2 ，得到 a2 2 ， c
解得 a 2, c 1 ，所以 b2 a2 c2 1
所以，椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 2
（2）①设
B
x1,
y1
，而
A0,1
，则
M
x1 2
,
1
y1 2
，
∵
ON
6
OM
，
∴
2
N
6x1 , 4
6
1
4
y1
因为点 B, N 都在椭圆上，所以
2 e
,
4 5
1 2
14.
DE // 平面 AB1C1 ……………………5 分 (2) ABC 为正三角形，且 D 是 AC 的中点
BD AC ……………………6 分 平面 AA1C1C 平面 ABC ，且平面 AA1C1C 平面 ABC AC
BD 平面 ABC BD 平面 AA1C1C ……………………9 分
3t
．…………2
分
因为矩阵 M 的一个特征值为 4，所以 f (4) 6 3t 0 ，所以 t 2 ．…………5 分
2020届江苏省天一中学2017级高三一模考试数学试卷参考答案
所以
M
2 2
1
3 1
，所以
M
1
21 3
2 21 3
2 2
2 2
3 1 3
2 1 3
2 2
1 4
1 2
所以当
时，
恒成立．
函数
的对称轴为
．
①
，即
时，
，
即
，解之得
，解集为空集；
②
，即
时，
2020届江苏省天一中学2017级高三一模考试数学试卷参考答案
即
，解之得
，所以
③
，即
时，
即
，解之得
，所以
综上所述，当
函数 在区间
上单调递增．
（2）∵ 有两个极值点
，
∴
是方程
的两个根，且函数 在区间
和
上单调递增，在 ∵
上单调递减．
∴函数 也是在区间
和
上单调递增，在
∵
，∴ 是函数 的一个零点．
由题意知：
∵
，∴
，∴
∴
又
上单调递减 ，∴
∵
是方程
的两个根，
∴
，
,
∴
∵函数 图像连续，且在区间
上单调递增，在
上单调递减，在
上单
调递增
∴当
时，
，当
时
，当
时
，
∴函数 有两个零点 和 ．
21．A．矩阵
M
的特征多项式为
f
()
2 t
3 1
(
2)(
1)
A1E 平面 AA1C1C
BD A1E A1E AC1 且 DE // AC1
A1E DE ……………………11 分
DE ， BD 平面 BDE 且 DE BD D A1E 平面 BDE ……………………14 分
16.（1）在 △ABC 中，由余弦定理 b2 c2 2bc cos A a2 得，
cos C 10
10
所以 tan 2C
2 tan C 1 tan2 C
23 1 32
3 4
．………………………………………14 分
17. 过程略
答：每天排除 A 型卡车 8 辆，B 型卡车 0 辆，运输队所花的成本最低，最低成本为 1920 元。
18.（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以 a 2c ，
并且当
4 5
时， S
22 5
，当
5 6
时， S
10 ， 6
所以
OAB
的面积
S
的范围为
10 , 2
2 ．
6 5
19.（1）.a=-2,m=0………………………………………2 分
4
(2).（-∞，
）………………………………………16 分
ln4 - ln3
20.（1）当
时，
，因为函数 在
上单调递增，
1 2k2
1 2k2
所以
k2
1 2 1
OAB 的面积 S 1 1 AB 1
2
2
1 k2
x1 x2
1 2
1 k2
x1 x2 2 4x1x2
1 1 k 2 2
8k 2 1 2k 2 2
2
1 k2 k2
1 2k 2 2
2 1 ，
因为 S
2
1
在
4 5
,
5 6
为单调减函数，
3
4 1
2
．……10
分
B.（1）由题意可得直线 l : 3x y 2 0 ，
……………………2 分
由 4
2 sin(
) ，得 2
4 cos
4 sin
，即
x2
y2
4x 4y,
4
所以曲线 C ： (x 2)2 ( y 2)2 8 .
0
OA OB
x1x2
y1 y2
x1x2
kx1
m kx2
m
1 k2
x1x2 km x1 x2 m2
1 k 2
2m2 2 1 2k2
4k 2m2 1 2k2
m2
2m2
2
2k 2m2
2k 2 4k 2m2 1 2k2
m2
2k 2m2
3m2 2 2k 2 1 k 2 ，
3x12 16
x12 2
y12
1
3 1 y1 2 8
8
，将下式两边同时乘以
3 1
再减去上式，解得
y1
1 3
， x12
16 9
所以 OB
x12 y12
16 9
1 3
2
17 3
②由原点 O 到直线 l 的距离为1，得
m 1 k2
1 ，化简得：1 k 2 m2
y kx m
b2 20 2 2 5 5 b 25 ，即 b2 4b 5 0 ， …………………………4 分 5
解得 b 5 或 b 1 （舍），所以 b 5 ． ………………………………………6 分
（2）由 cos A
5 及 0 A 得， sin A 1 cos2 A 1 (
2020 届江苏省天一中学高三年级第一次模拟考试 参考答案
3
1. [0，1] 2. 1
3.[4，+∞]
4.
5
5.y= 3 x 4
1
1
6.
7.
2
4
-3 8. 4
9.-42
5 10.3 11. 3
22 12. 9
13. 3
15.证明：
(1) D ， E 分别是 AC ， CC1 的中点
DE // AC1 ……………………2 分 DE 平面 AB1C1 ， AC1 平面 AB1C1
5)2 2
5
，…8 分
5
5
5
所以
cos C
cos(
(
A
B))
cos( A
)
2 (cos A sin A)
10
，
42
10
又因为 0 C ，所以 sin C
1 cos2 C
1(
10 )2
3
10
，
10
10
3 10 从而 tan C sin C 10 3 ，………………………………………………12 分
联立直线 l 的方程与椭圆 C 的方程： x2 2
y2
，得
1
1 2k 2
x2 4kmx 2m2 2 0
2020届江苏省天一中学2017级高三一模考试数学试卷参考答案
设
A x1,
y1 , B x2,y2ຫໍສະໝຸດ ，则x1x2
4km 1 2k2
, x1x2
2m2 2 1 2k2
，且
8k 2