§3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义学习目标 1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质．知识点一 复数代数形式的加减法思考1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.思考2 若复数z 1，z 2满足z 1－z 2>0，能否认为z 1>z 2? 答案 不能，如2＋i －i>0，但2＋i 与i 不能比较大小． 梳理 (1)运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di 是任意两个复数，那么(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ，(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i. (2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．知识点二 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 答案 如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋bi ，c ＋di 对应，则OZ 1→＝(a ，b)，OZ 2→＝(c ，d)，由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d)，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c)＋(b ＋d)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？答案 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1―――→对应复数z 1－z 2.梳理1．两个虚数的和或差可能是实数．( √)2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √) 3．复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．( ×)类型一 复数的加、减法运算例1 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 考点 复数的加减运算法则 题点 复数加减法的综合应用解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i.(2)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i.(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)当一个等式中同时含有|z|与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)． 跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________. (2)(a ＋bi)－(2a －3bi)－3i ＝________(a ，b ∈R)． (3)已知复数z 满足|z|＋z ＝1＋3i ，则z ＝________. 考点 复数的加减运算法则 题点 复数加减法的综合应用答案 (1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)－4＋3i 解析 (1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i. (2)(a ＋bi)－(2a －3bi)－3i＝(a －2a)＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i. (3)设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，|z|＝x 2＋y 2，∴|z|＋z ＝(x 2＋y 2＋x)＋yi ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，∴z ＝－4＋3i.类型二 复数加、减法的几何意义 例2 已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i. (1)求z 1－z 2；(2)在复平面内作出z 1－z 2的运算结果所对应的向量． 考点 复数的加减运算法则 题点 复数加减法与向量的对应解 (1)z 1－z 2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.(2)在复平面内作z 1－z 2的运算结果所对应的向量，如图中所示的OZ →.反思与感悟 复数的减法可以用向量来运算，同样可以运用平行四边形法则和三角形法则进行运算． 跟踪训练2 已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 C解析 z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i ，故复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－3)，故选C. 类型三 复数加、减法及其几何意义的综合运用例3 已知复数z 的模为2，求复数1＋3i ＋z 的模的最大值、最小值．考点 复数加减法的几何意义的应用 题点 与加减法几何意义有关的模的最值问题解 由已知得，在复平面内复数z 对应的点Z 在以原点为圆心，半径为2的圆上． 设w ＝1＋3i ＋z ，∴z ＝w －1－3i ， ∴|z|＝|w －(1＋3i)|＝2，∴在复平面内复数w 对应的点在以(1，3)为圆心，半径为2的圆上，且该圆过点(0,0)， 故|1＋3i ＋z|max ＝4，|1＋3i ＋z|min ＝0.反思与感悟 在复平面内，任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去起点所对应的复数所得的差，即AB →所对应的复数是z B －z A ，BA →所对应的复数是z A －z B ，不可把被减数与减数弄错． 跟踪训练3 在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 对应的复数分别为4＋i,3＋4i,3－5i ，则点D 对应的复数是( ) A ．2－3i B ．4＋8i C ．4－8iD ．1＋4i考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 C解析 AB →对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i ＝－1＋3i. 设点D 对应的复数为z ，则DC →对应的复数为(3－5i)－z. 又AB →＝DC →，∴－1＋3i ＝(3－5i)－z ，∴z ＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i ＝4－8i.1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( ) A ．1B ．－iC ．5＋2iD ．1－i考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 A解析 (3＋i)－(2＋i)＝1.2．在复平面内，向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0D ．10＋8i考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应 答案 C解析 OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 故OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.3．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝22，|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于( ) A ．1B.12C ．2D ．2 2考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 D解析 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z 1，z 2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z 1－z 2|＝2 2.4．若z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，x 2，y 1，y 2∈R)，则|z 2－z 1|＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2解析 ∵z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ， ∴z 2－z 1＝(x 2－x 1)＋(y 2－y 1)i ， ∴|z 2－z 1|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.5．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则2z 1＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 8＋2i解析 两式相加得2z 1＝8＋2i.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．一、选择题1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )A．1 B．2C．－2 D．－1考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案 A解析z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0， ∴x ＝y ＝1，则xy ＝1.2．已知复数z 1＝(a 2－2)－3ai ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－2或1考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 C解析 z 1＋z 2＝(a 2＋a －2)＋(a 2－3a ＋2)i ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝－2.3．设复数z 满足关系式z ＋|z|＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋iB.34－i C ．－34－iD.34＋i 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 D解析 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)， 则z ＋|z|＝(a ＋a 2＋b 2)＋bi ＝2＋i ，则⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，∴z ＝34＋i.4．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－1＋2i ，则复数z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 D解析 z ＝z 1＋z 2＝3－4i ＋(－1＋2i)＝2－2i ，z 在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限． 5．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1对应的向量是( )考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与向量的对应答案 A解析由题图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，故选A.6．已知z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )A．0B．1C.22 D.12考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案 C解析由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是直线y＝－x，∴|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，故所求最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离22. 7．复数z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)满足|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．42D ．8 2考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 C解析 ∵|z －4i|＝|z ＋2|，且z ＝x ＋yi ，∴|x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋yi|，∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，∴x ＝－2y ＋3，∴2x ＋4y ＝2－2y ＋3＋4y ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋4y ≥42， 当且仅当8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＝4y ， 即y ＝34时，等号成立． 二、填空题8．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝________.考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 16i解析 原式＝2＋7i －5＋13i ＋3－4i ＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i ＝16i.9．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是z ＝________.考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 115＋3i 解析 设这个复数为z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，∴x ＋yi ＋x 2＋y 2＝5＋3i ， ∴⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝5，y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝115，y ＝ 3.∴z ＝x ＋yi ＝115＋3i. 10．已知z 1＝(3x ＋y)＋(y －4x)i ，z 2＝(4y －2x)－(5x ＋3y)i(x ，y ∈R)．若z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________.考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 5－9i －8－7i解析 z ＝z 1－z 2＝[(3x ＋y)＋(y －4x)i]－[(4y －2x)－(5x ＋3y)i]＝(5x －3y)＋(x ＋4y)i ，又z ＝13－2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z 2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i ＝－8－7i.11．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a 2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C ＝－b ＋ai ，a ，b ∈R ，则a －b ＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 －4解析 因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a 2i ＋(－b ＋ai)＝－2a ＋3i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝6.故a －b ＝－4. 三、解答题12．(1)设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－yi(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求x ＋yi ；(2)已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R)，且z 1－z 2为纯虚数，求实数a 的值． 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则解 (1)∵z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y)i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，∴x ＋yi ＝2＋8i. (2)∵z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R)为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.13．复数z 1＝3m －1－2mi ，z 2＝－m ＋m 2i ，m ∈R.若z 1＋z 2>0，求实数m 的值．考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则解 z 1＋z 2＝(3m －1－2mi)＋(－m ＋m 2i)＝(3m －1－m)＋(m 2－2m)i.∵z 1＋z 2>0，∴z 1＋z 2为实数且大于0， ∴⎩⎨⎧ 3m －1－m>0，m 2－2m ＝0，3m －1≥0，解得m ＝2.四、探究与拓展14．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________. 考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 3解析 z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋[(a ＋1)－(b ＋2)]i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，∴a ＋b ＝3.15．设z 为复数，D 为满足条件||z|－1|＋|z|－1＝0的点Z 所构成图形的边界．(1)若复数ω＝12z ＋1－2i(其中z ∈D)，试证明表示复数ω的点在某一个圆上运动，并写出此圆的复数方程；(2)若满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －32i 的点所构成的图形D ′与D 有两个公共点A ，B ，OA ，OB 的倾斜角分别为α，β(O 为原点)，求cos(α＋β)的值．考点 复数加减法几何意义的应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1)由已知得||z|－1|＝－(|z|－1)，∴|z|－1≤0，即|z|≤1，∴|z|＝1.又∵ω＝12z ＋1－2i ，∴ω－1＋2i ＝12z ， ∴|ω－(1－2i)|＝12|z|＝12， ∴ω所对应的点在以(1，－2)为圆心，12为半径的圆上运动． 圆的复数方程为|ω－(1－2i)|＝12. (2)设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，∵|z|＝1，∴x 2＋y 2＝1.① 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －32i ，得x ＝－3y ＋2.② 把②代入①整理得10y 2－12y ＋3＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝65，y 1·y 2＝310. 又x 2＋y 2＝1，设x 1＝cosα，x 2＝cosβ，y 1＝sinα，y 2＝sinβ，∴sinα·sinβ＝y 1·y 2＝310， cosα·cosβ＝x 1·x 2＝(－3y 1＋2)(－3y 2＋2)＝9y 1y 2－6(y 1＋y 2)＋4＝－12. ∴cos(α＋β)＝－45.。