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1第8课时 分类讨论题
在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方
法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略.
分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,
领会其实质,对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.
分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐
级进行.
类型之一 直线型中的分类讨论
直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论,特别是等腰三角形问题和三角形高的
问题尤为重要.
1.(沈阳市)若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°
2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为( )
A.9cmB.12cm C.15cmD.12cm或15cm
3. (江西省)如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′
处,(1)求证:B′E=BF;(2)设AE=a,AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明.
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2类型之二 圆中的分类讨论
圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,在解决圆的有关问题时,特别是无图的情况下,有时会以偏
盖全、造成漏解,其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等.4.(湖北罗田)在Rt△ABC中,∠C=900,AC=3,BC=4.若以C点为圆心, r为半径 所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则r的取值范围是___ __.
5.(上海市)在△ABC中,AB=AC=5,.如果圆O的半径为,且3cos5B10
经过点B、C,那么线段AO的长等于 .
6.(•威海市)如图,点A,B在直线MN上,AB=11厘米,⊙A,⊙B的半径均
为1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(厘米)
与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0).
(1)试写出点A,B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数表达式;
(2)问点A出发后多少秒两圆相切?
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3类型之三 方程、函数中的分类讨论
方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式,然后根据实际情况进行分类讨论
或在有实际意义的情况下的讨论,在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.
7.(上海市)已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图).E是射线BC上的动点(点E与点
B不重合),M是线段DE的中点.
(1)设BE=x,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,求线段BE的长;
(3)联结BD,交线段AM于点N,如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似,求线段BE的
长.
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48.(福州市)如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建
立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,
使点A落在BC边上的点F处.
(1)直接写出点E、F的坐标;
(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该
抛物线的解析式;
(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的
最小值;如果不存在,请说明理由.
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5参考答案
1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角,所以要分类讨论:(1)当50°角是顶角时,则(180°-50°)÷2=65°,所以另两角是65°、65°;(2)当50°角是底角时,则180°-50°×2=80°,所以顶角为80°。
故顶角可能是50°或80°.
【答案】D.
2.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm,底边长是6cm时,由于3+3不能大于6所以组不成三角形;当腰长是6cm,地边长是3cm时能组成三角形.
【答案】D
3.【解析】由折叠图形的轴对称性可知,,,从而可求得B′E=BF;第(2)BFBFBFEBFE
小题要注意分类讨论.
【答案】(1)证:由题意得,,BFBFBFEBFE
在矩形ABCD中,,,ADBC∥BEFBFE,BFEBEF..BFBEBEBF
(2)答:三者关系不唯一,有两种可能情况:abc,,(ⅰ)三者存在的关系是.abc,,222abc证:连结BE,则.BEBE
由(1)知,.BEBFcBEc
在中,,. ,,.ABE△90A222AEABBEAEaABb222abc(ⅱ)三者存在的关系是.证:连结BE,则.abc,,abcBEBE由(1)知,.在中,, .BEBFcBEcABE△AEABBEabc
4.【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切,此时r=2.4;2、圆与线段相交,点A在圆的内部,点B在圆的外部或在圆上,此时3<r≤4。
【答案】 3<r≤4或r=2.4
5.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5,,3cos5B
可得BC边上的高AD为4,圆O经过点B、C则O必在直线AD上,若O在BC上方,则AO=3,若O
在BC下方,则AO=5。
【答案】3或5.
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66.【解析】在两圆相切的时候,可能是外切,也可能是内切,所以需要对两圆相切进行讨论.【答案】解:(1)当0≤t≤5.5时,函数表达式为d=11-2t;
当t>5.5时,函数表达式为d=2t -11.
(2)两圆相切可分为如下四种情况:
①当两圆第一次外切,由题意,可得11-2t=1+1+t,t=3;
②当两圆第一次内切,由题意,可得11-2t=1+t-1,t=; 311
③当两圆第二次内切,由题意,可得2t-11=1+t-1,t=11;
④当两圆第二次外切,由题意,可得2t-11=1+t+1,t=13.
所以,点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切. 311
7.【解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长,可假设线段的
长,找到等量关系,列出方程求解。题中遇到“如果以为顶点的三角形与相似”,一定要AND,,BME△
注意分类讨论。
【答案】(1)取中点,联结,ABHMH
为的中点,,.MDEMHBE∥1()2MHBEAD
又,. ,得;ABBEMHAB12ABMSABMHA△12(0)2yxx
(2)由已知得.22(4)2DEx
以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,
,即.1122MHABDE2211(4)2(4)222xx
解得,即线段的长为;43xBE43(3)由已知,以为顶点的三角形与相似,AND,,BME△
又易证得.DAMEBM
由此可知,另一对对应角相等有两种情况:①;②.ADNBEMADBBME
①当时,, ..ADNBEMADBE∥ADNDBEDBEBEM
,易得.得;DBDE2BEAD8BE
②当时,, .ADBBMEADBE∥ADBDBE
.又, .DBEBMEBEDMEBBEDMEB△∽△
,即,得.DEBEBEEM2BEEMDEA2222212(4)2(4)2xxxA
解得,(舍去).即线段BE的长为2.12x210x
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7综上所述,所求线段BE的长为8或2.
8.【解析】①解决翻折类问题,首先应注意翻折前后的两个图形是全等图,找出相等的边和角.其次要注意对应点的连线被对称轴(折痕)垂直平分.结合这两个性质来解决.在运用分类讨论的方法解决问题
时,关键在于正确的分类,因而应有一定的分类标准,如E为顶点、P为顶点、F为顶点.在分析题意时,
也应注意一些关键的点或线段,借助这些关键点和线段来准确分类.这样才能做到不重不漏.③解决和最
短之类的问题,常构建水泵站模型解决.
【答案】(1);.(31)E,(12)F,
(2)在中,, .RtEBF△90B2222125EFEBBF
设点的坐标为,其中, 顶点,P(0)n,0n(12)F,
设抛物线解析式为.2(1)2(0)yaxa
①如图①,当时,,EFPF22EFPF
.解得(舍去);.221(2)5n10n24n
. .解得.(04)P,24(01)2a2a
抛物线的解析式为22(1)2yx
②如图②,当时,,EPFP22EPFP
.解得(舍去).22(2)1(1)9nn52n
③当时,,这种情况不存在.EFEP53EP
综上所述,符合条件的抛物线解析式是.22(1)2yx
(3)存在点,使得四边形的周长最小.MN,MNFE
如图③,作点关于轴的对称点,ExE
作点关于轴的对称点,连接,分别与轴、轴交于点,则点就是所求FyFEFxyMN,MN,
点.
,.(31)E,(12)FNFNFMEME,,,
. .43BFBE,FNNMMEFNNMMEFE22345
又,5EF
,此时四边形的周长最小值是.55FNNMMEEFMNFE55