计算结构力学习题库第1章：绪论1.1区域型分析法和边界型分析法在对问题的基本方程和边界条件的处理上有何不同和相同点？试分别举例说明。

1.2里兹法和有限单元法的理论依据、基本未知量的选取、试函数的假设等方面有何异同点？1.3与里兹法相比，有限单元法在解决复杂问题上的适应性更为广泛，你认为主要的原因在于那些方面？第2章：有限单元法2.1图示为一平面应力状态的三结点直角三角形单元，厚度t，弹性模量E，剪切模量G=E/[2(1+ν)]，设泊松比ν=0，结点坐标如图。

若采用线性位移模式（位移函数），试求出：(1) 形函数矩阵[N]；(2) 应变矩阵[B]；(3) 应力矩阵[S]；(4) 单元刚度矩阵[k]；(5) [k]的每行之和及每列之和，并说明其物理意义。

题2.1图2.2为使有限单元解收敛于正确解，位移模式应满足那些条件？对于平面四结点矩形单元，若位移模式取为：u=a1+a2x+a3y+a4x2，v=b1+b2x+b3y+b4y2，试分析该位移模式是否满足这些条件，并说明具体理由。

2.3为使有限单元解收敛于正确解，位移模式应满足那些条件？四结点矩形薄板单元具有12个自由度，其位移模式取为：w(x,y)= α1+α2x+α3y+α4x2+α5xy +α6y2 +α7x3+α8 x2y+α9 xy2+α10y3+α11x3y+α12xy3，试分析该位移模式是否满足这些条件，并说明具体理由。

2.4形函数有哪些主要性质？试由这些性质直接构造图示六结点矩形单元的形函数，写出单元中心点P(a/2, b)处的位移用结点位移表示的表达式。

题2.4图 题2.5图 2.5 图示为平面问题的一个三结点三角形单元。

(1) 试问单元刚度矩阵[k ]有哪些主要特性？其依据各是什么？ (2) 附图说明[k ]元素k 52的物理意义。

(3) [k ]的每行之和及每列之和各为何值，其物理意义是什么？2.6 图(a)所示的平面连续体结构已划分为两个三角形单元，在图(a)坐标系及图(b)局部编号下，两单元的刚度矩阵左下子块均为：,0025.00][,75.025.025.075.0][,5.00025.0][,25.0005.0][⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=E k E k E k E k ji mm jj ii ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=5.025.0025.0][,25.0025.05.0][E k E k mj mi 。

(1) 附图说明单元(1)的刚度元素k 36的物理意义；(2) 试由上述单元刚度矩阵子块形成结构的总体刚度矩阵；(3) 分别采用手算方法和一种计算机方法引进图中的位移边界条件，写出图示荷载作用下的最终有限元方程；(4) 假设结点位移v 2、u 3、v 3、u 4均已求得 (作为已知)，试在此基础上求出结点2和结点4的支座反力。

(a) (b)题2.6图2.7 Timoshenko 梁单元与经典梁单元的基本假定、单元挠度及转角的插值方法有何异同点？图示为一个3结点Timoshenko 梁单元（ξ为无量纲坐标，梁长为2），试利用形函数的性质，直接构造该单元挠度v 和转角θ的形函数，写出单元中一点ξ =-0.5处的挠度和转角用结点位移表示的表达式。

题2.7图 题2.8图2.8 利用形函数的性质，直接构造出图示六结点正方形单元（边长为2）的形函数，写出单元中心点o 的位移用结点位移表示的表达式。

2.9 有限单元法中，一个二维单元在坐标平面内分别发生平移和转动，单元刚度矩阵[k ]是否发生改变？为什么？应力矩阵[S ]又如何变化？2.10 试分析平面四结点矩形单元采用双线性的位移模式为何能够满足解答收敛的全部（完备性和协调性）要求，而四结点任意单元若采用类似的位移模式就不能完全满足解答收敛的全部（完备性和协调性）要求。

2.11 为使有限单元解收敛于正确解，位移模式应满足那些条件？在平面三结点三角形单元中，若位移模式取为：u =a 1+a 2y +a 3xy ，v =b 1+b 2x +b 3xy ，试具体分析该位移模式能否保证解答的收敛性。

2.12 设三结点三角形单元的三个结点依次为i 、j 、m ，单元刚度矩阵为[k ]。

试说明[k ]中第5行第2列元素的物理意义。

[k ]的每行之和及每列之和总为一什么值，说明其原因。

题2.12图 题2.13图2.13 在有限元分析中，非结点荷载需移置为等效结点荷载，移置的原则是什么？试根据该原则，导出三结点三角形单元内任一点（x ，y ）处作用集中荷载{P }=[P x , P y ]T 时的等效结点荷载表达式。

已知形函数矩阵为[N ]，结点位移向量为{∆ e }。

i2.14三结点三角形单元的材料容重为ρ，厚度为t，试导出单元在自重作用下的等效结点荷载向量。

2.15三结点三角形单元的ij边作用一法向的线性分布荷载，的i、j点集度各位q i, q j，试导出单元的等效结点荷载表达式。

2.16计算图示刚架对应于自由结点位移的综合结点荷载列阵{P}。

m 3m3mm1mm1kN m.题2.16图题2.17图2.17采用先处理法形成图示结构的整体刚度矩阵和整体等效结点荷载列阵；引进边界条件，获得矩阵缩小后的最终有限元方程。

2.18已知图2.17所示结构的结点位移列阵为：{}[]T0000.42320.2338-0.1569-=∆计算杆23的杆端力列阵的各元素。

2.19设x轴为一平面弹性力学问题的对称轴，取该对称轴一侧的半边结构进行计算，则结构在该轴上的位移和应力边界条件各是什么？采用以结点位移为基本未知量的有限单元法分析时，试说明应如何引进这些边界条件。

2.20图(a)为平面结构中的一个四结点四边形单元，其对应的等参基本单元如图(b)所示，各结点的整体与局部坐标值列于图中括号内。

基本单元的形函数表达式为：N i =(1+ξiξ)(1+ηiη)/4 （i=1,2,3,4）其中ξi、ηi表示结点i的局部坐标。

(1)计算基本单元中一点（ξ=-0.5，η=0.5）在实际单元中对应的整体坐标值；(2)假定实际单元的结点位移u i、v i（i=1,2,3,4）均为已知，计算单元中一点（2，2.5）处的位移值。

(a) 实际单元 (b) 基本单元题2.20图2.21 图(a)为平面结构的一个四结点四边形单元，其对应的等参基本单元如图(b)所示，各结点的整体与局部坐标值列于图中括号内。

(1) 试计算基本单元中一点(ξ=0.5, η=0.5)在实际单元中对应的整体坐标(x, y )值。

(2) 假定实际单元的结点位移u i 、v i （i =1,2,3,4）均为已知，计算单元中一点（1.5, 1）处的位移值。

(a) 实际单元 (b) 基本单元题2.21图2.22 有限单元法中，引入位移边界条件前后结构的总体刚度矩阵各有哪些基本性质？引入位移边界条件的方法有那些？总体刚度矩阵在计算机中常用那些方法进行存储？各有什么优缺点？2.23 图示平面结构已划分为三结点三角形单元，试完成以下分析：(1) 怎样对结点和单元进行编号可使总体刚度矩阵的存储量最小？此时存储阶数为几乘几？(2) 若在结点C 处添加一刚度系数为k 0的水平弹簧支座（弹簧不作为单元），试根据总体刚度元素的物理意义说明此时总刚矩阵有何变化？1(-4(1(4(-题2.23图2.24 图(a)所示平面结构已划分为3个三角形单元，各单元的局部编号如图(b)。

现用[k pq (e )]表示第(e )个单元（e =1,2,3）的单元刚度矩阵中与结点p 、q 对应的2⨯2子块（p , q =i , j , m ，为单元的结点局部编号）。

（1）试由这些子块形成结构的总体刚度矩阵；（2）若已知结点1发生了水平支座位移d ，试在保留原总体刚度矩阵阶数不变的情况下引进位移边界条件，写出修正后的总体刚度矩阵；（3）说明如何利用总体刚度矩阵的性质节省其在计算机中的存储量，此时最小存储阶数为多少？(a) 离散结构 (b) 结点局部编号题2.24图2.25 形函数有哪些主要性质？试根据这些性质构造图示四结点矩形单元在局部坐标ξη下的形函数。

题2.25图 题2.26图2.26 形函数有哪些主要性质？试根据这些性质直接构造图示六结点矩形单元的形函数，写出单元中心点P (a , b /2)的位移用结点位移表示的表达式。

m j1(4(-2.27图示平面结构已划分为三角形单元。

若用[k ij](e)表示第(e)个单元的单元刚度矩阵中与结点i、j（整体结点编号）对应的2 2子块，（1）试由这些子块形成结构的总体刚度矩阵；（2）在保留原总刚矩阵阶数不变的情况下引进位移边界条件，写出修正后的总体刚度矩阵；（3）说明如何利用总体刚度矩阵的性质节省其在计算机中的存储量，此时最小存储阶数为多少？题2.27图2.28在板弯曲问题的有限元分析中，有两类常用的板单元：基于经典薄板弯曲理论的板单元和基于中厚板（Mindlin板）理论的板单元。

这两类单元的基本假定、连续性要求有何不同点？Mindlin板单元在用于薄板时会遇到什么困难？常用那些方法克服该困难？第3章：加权残数法3.1 根据试函数分类，加权残数法可分为哪几种方法？写出相应的加权积分式的一般表达式，并说明试函数的一般选取原则。

3.2 根据权函数分类（采用内部法），加权残数法可分为哪几种基本方法？其权函数和加权积分式各是什么？设问题的微分方程和边界条件各为：L (u )-p =0（在域V 内）和G (u )-g =0（在边界S 上），这里u 为待求的解函数，L 和G 为给定的微分算子，p 和g 为给定的坐标函数。

3.3 四边简支矩形薄板，边长分别为a 和b ，弯曲刚度为D 。

试用伽辽金方法求板在均布荷载q 作用下的挠曲方程和中心挠度（取一阶近似）。

题3.3图 题3.4图3.4 矩形薄板边长为a 和b ，弯曲刚度为D ，四边固支。

试用伽辽金方法求板在均布荷载q 作用下的挠曲方程和中心挠度（取一阶近似）。

3.5 四边简支的矩形薄板，边长分别为a 和b 。

试用连续型最小二乘法求板在均布荷载q 作用下的挠曲方程和中心挠度（一阶近似）。

3.6 图示四边简支矩形薄板，边长分别为a 和b 。

板在x =ξ ，y =η 处作用一竖向集中荷载P ，试用连续型伽辽金方法求板的挠曲方程和中心挠度（取一阶近似）。

题3.6图A3.7图示四边简支矩形薄板，边长分别为a和b。

已知板在x=ξ 线上作用均布线荷载p，试用连续型最小二乘法求板的挠曲方程和中心挠度（取一阶近似）。

题3.7图第4章：边界单元法4.1 与有限单元法相比，边界单元法有哪些主要的优势和不足？这两种方法的基本思想和分析步骤有何异同点？4.2 平面势问题（如温度场问题）的基本微分方程为∇2u =0。