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量化命题和谓词公式
• 量化命题是通过对一个谓词公式中的个体符号进 行量化概括得到的。 • 例如： • Px ( x) Px； Px (x) Px。 • Px → Qx (x) (Px → Qx)
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第六章 量化逻辑
1.4 量化逻辑的公式
如是Fxy表示二元谓词“…是…的朋友”，
那么：Fxy表示“x是y的朋友”。 ¬Fxy表示“x不是y的朋友”。
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单称命题的形式化
（1） 张珊是中国人。 （2） 地球是行星。 （3） 中国是发展中国家。 （4）小张和小李是同乡。 （5）3大于2。 （6）武汉位于上海与重庆之 间。
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• 我们把对命题公式的一个解释称作该命题公式的 一个模型。一个命题公式是重言式，当且仅当它 在所有模型上都真；如果一个命题公式只在某些 模型上真，那么它是协调式；如果一个命题公式 我们无法建立使它为真的模型，那么它是矛盾式 ，即在任何情况下都假的命题公式。 • 例如，“(x) x”和“(x) x”都是协调式。 • 思考题：有哪些公式是重言式？
例如：D=自然数，个体常项a解释为4（aµ=4）；一元谓词P解释 为 “是偶数（Pµ）”；二元谓词G解释为“＞”（Gµ=＞）； 则： Pa的解释是“4是偶数”（真命题）； xPx的解释是“所有自然数是偶数”（假命题）；
xyGyx 的 解 释 是 “ 对 所 有 自 然 数 总 存 在 大 于 它 的 自 然 2014年3 月 7日星期五 )。 31 数” ( 真命题
第六章 量化逻辑
第一节 简单命题的逻辑结构
引言：命题逻辑和量化逻辑
命题逻辑：不分析简单命题内部结构，讨论关于联 结词的推理理论。例如
如果某甲作案，那么他有作案动机。 某甲没有作案动机。 所以，某甲没有作案。
量化逻辑：分析简单命题的内部结构，讨论关于量 词的推理理论。例如
所有的作案者都有作案动机。 某甲没有作案动机。
可译为：x(Sx∧Rxa)。
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限制论域和不限论域
在对以上命题形式化时，没有限制论域，即论域是全
域。我们也可在一定的范围内讨论问题，因些个体变元的
变域往往被限制在某个特定的范围内。 （8）有的学生（Ｓ）对（Ｒ）所有试题（Ｔ）
不限制论域：x（Ｓx∧y(Ty→Rxy)） 限制论域：x的变域:X=学生； 则形式为:
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全称量词和特称量词的相互定义
• 一个全称命题是假的，当且仅当其命题函项的例 示至少有一个假；而一个存在命题是假的，当且 仅当其命题函项的所有例示都假。 • (x) x (x)x • (x) x (x) x • (x) x (x)x • (x) x (x) x
表示论域D中个体数量的语词
全称量词：指称论域D中个体的全部。 例如：所有，任何，每一个，…。 存在量词：指称论域D中个体至少有一个存在。 例如：存在，有，有些，…。 符号化的量词： 全称量词：所有x，任何x，…，均记为：x。 存在量词：有x，存在x，…，均记为：x。 全称命题：含有全称量词的命题。 特称(存在)命题：含有存在量词的命题。
量化逻辑把命题分析为个体词、谓词、量词以及联结词。 例如： （1）我是学生。 （2）王五不是李四的朋友。 表示个体的语词叫个体词。如：“我”、“王五” 、
“李四”。
谓词用来说明个体词的性质或关系。 例（1）中“是学生”是一元谓词，例（2）“…是…的朋 友”是二元谓词。类似的，还有三元谓词，如“…在… 和…之间”以及n元谓词。
什么是复合谓词公式？
例如： H（x） H（x）∧ S（x） （H（x）∧ S（x））→ T（x） 复合谓词公式的例示是复合的单称命题。 例如： “Px → Qx”的例示则是“Pa→Qa”： “如果张珊是年满18岁的中国人，那么张珊有选 举权”。
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1.3 量化命题 什么是量词？
量词的辖域：在量化公式中紧随在量词后出现的 最短公式叫做该量词的辖域。如下两个公式 （1）x (Px Ox) （2）x Px Ox 量词“x”在公式（1）中的辖域是（Px Ox）， 在公式（2）中则是Px。 例如 (3)xy（Ｆxy∧xz（Ｇxz→Ｈyz））
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1 量化公式如何形成？
包括初始符号、形成规则两个部分。
（1）初始符号。 个体变元符号：x,y,z,…；x1,x2,…； 个体常项符号：a,b,c… 谓词符号：P,Q, R，… 命题联结词：,∧,∨,→， ； 量词：,； 辅助符号：括号：（，）。
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量化公式的形成规则（续）
4、如果A是公式，x是个体变元，则xA和xA是公式。 5、只有以上的才是公式。 一个符号串是谓词公式（合式公式） ，当且仅当它符合
以上形成规则。
例如 （x），（ x）P，(x)∧P(x)
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2 自由变元和约束变元
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一阶语言L 的语义解释
语义解释也称为模型，记为µ，µ包括以下内容： (1)一个个体变元的取值范围——非空集合D(论域、个体域) (2)对每个个体常项a，指定D中一个确定的个体aµ； (3)对每个n元谓词符号R，指定D上的一个n元关系Rµ；
在一个解释（模型）中，每个闭公式有确定的真值。
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个体常元和个体变元
（1）所有人都是会死的。 （2）“对任一x而言，都有x+1=1+x”。 （3）“所有的物体都是运动的”。 在这三个命题中，“人”、“x”、“物体”都是 一个变项。“人”，它泛指人类当中的任何一个个 体，“x”则泛指任何一个实数，而“物体”则泛 指大自然中万事万物的任何一样东西，我们把它们 都称作“个体变项”，用x、y、z…来表示，并把 个体变项的取值范围称作个体域（也称为论域）。
开公式和闭公式
我们把所有个体符号都约束出现，即不包含自由变 元的公式叫做闭公式。而包含有自由变元的公式就 称做开公式。 例如 （1）x (Px Ox) （2）x Px Ox 注：开公式不是命题公式。
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1.5 量化命题的真假
• 谓词公式是命题函项，它无所谓真假；而量化命 题作为是命题，它有确定的真假。 • 一个全称量化命题 x x 是真的，当且仅当，命 题函项“x”的所有例示都真；如果“x”的 例示有一个假，xx 就是假的。 • 例如，把个体域解释为“所有金属的集合”，把 “x”为“x是导体”。在这个解释下，“x” 的所有例示为真。
（4）有的大学生是儿童：x(Sｘ∧Cｘ) （5）有人不是中国人：x（Hｘ∧Cｘ）
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全称命题的形式化
含有专有名词和二元谓词的命题的形式 （6）小李没有同任何人吵架。
A：小李；Ｍ：…是人； D：…同…吵架。 可译为：x（Ｍx→Ｄax）。
（7）有些大一学生认识小李。
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个体词和谓词的符号化
个体常元：表示一定范围内确定的个体，记为小写的：a,b,c,…；
个体变元：表示一定范围内不确定的个体，记为小写的x,y,z,…； 个体域也称论域：个体变元的变化范围，记为：D。 谓词符号：表示性质或关系的符号，记为大写的：P、Q、R… 一元谓词公式，记为：Px，Qx，Rx，…；
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1.2 谓词公式和命题函项
谓词模式“H（x）”表示的是： x是行星。 “地球是行星”。 “太阳是行星”。 谓词模式“H（x）”就相当于一个函数式，公式的 值随变元的值而确定。
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谓词公式和单称命题有何关系？
从认识的角度看，谓词公式即命题函项是从具体的 单称命题中抽象出来的。 从逻辑的角度看，单称命题是个体常元代换谓词公 式中的个体变元得到的，单称命题是谓词公式的代 换实例。例如命题 “地球是行星”， “太阳是行星”， “月亮是行星”， “金星是行星”， 等都是谓词公式“H（x）”的代换实例，简称为谓 2014 年3月7日星期五 11 词公式的例示。
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约束出现和自由自由 如果一个个体符号既作为量词组成部 分出现并且还在量词辖域内出现，我 们就称该个体符号是约束出现的，否 则称其为自由出现的个体符号。
例如：在 xＤx∨Ｅx中，变元x 出现了三次，前两次出现是在量词 x的辖域中，因而是约束出现的， 第三次是自由出现的。
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所以，某甲不是作案者。
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命题逻辑和传统直言命题逻辑
研究推理形式的有效性时，把命题当做不可分的逻辑单位有 时是不够的。 文学家的著作都是有价值的； 鲁迅是文学家； 所以，鲁迅的著作是有价值的。 它的推理形式为： P q ∴γ
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1.1 个体词和谓词
二元谓词公式，记为：Pxy，Qxy，Rxy，…；
三元谓词公式，记为：Pxyz，Qxyz，Rxyz，…； n元谓词公式，记为：Px1x2…xn，Q x1x2…xn，…。
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个体词和谓词的符号化
用a表示“张三”，用D表示一元谓词“会死”。
那么命题：“张三会死”可表示为：Da。
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• 一个存在量化命题 xx 是真的，当且仅当，命 题函项“x”的例示至少有一个真；如果 “x”的所有例示都假，xx 就是假的。 • 如果把个体域解释为“所有金属的集合”，把 “x”解释为“x是液体”，用“水银” 代换 “x”中的“x”，得到的就是真命题“水银是 液体”，即“x”的例示至少有一个真。 • 如果把“x”解释为“x是气体”，由于不存在 是气体的金属，因此用任何个体代换“x”都只能 得到假命题。