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（1）
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可以看出它是一个二阶齐次线性常微分方程，其解可为：
其时域波形如下图，是个正弦波：
（2）
但是，实际上由于振子系统不是完全孤立的，除受系统内部弹簧的弹性力外， 还受系统外界的干扰作用。比如滑块体积不为 0，运动中必然受空气的阻力；平 面不光滑，滑块受到摩擦力。这些摩擦力会消耗一部分机械能转化成热量散发到 系统以外。这些“反动”作用叫做摩擦阻尼。一般的机械振动中，振动的质点带 动邻近的质点振动，振子的部分机械能必然传递给邻近的质点，即振子的能量要 辐射出去一部分，振子系统的这种能量耗散叫做辐射阻尼。
便称出各自的质量。）
5．测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。
6．在天平上称衡两弹簧的实际质量与其有效质量进行比条件
时，方程（4）的解可为：
（6） 其中 c1 和 c2 为积分常数。式（6）表述的振子位移曲线 x（t）如下图：
可以看出阻尼作用抵消了振子振动的机械能，恰恰形不成周期振动，质点运 动的速率较小，在系统能量消耗完毕时，恰好回到平衡位置，静止下来。这就是 我们通常所说的临界阻尼情况。
根据牛顿第二定律可得振子系统的振动方程为：
（3）
其中
（4）
称为阻尼系数。而
可以看作系统固有的谐振圆频率。
可以看出式（4）是一个二阶齐次线性常微分方程，它所描述的系统会做什 么样的运动？关键要看阻尼作用的大小。下面听周法哲为你一一分析：
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1、当没有阻尼作用时，即阻尼系数β＝0 时，方程（4）回到简谐振动方程 （1），其解可为式（2）所表述的正弦波函数，系统永远作等幅振动。
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阻尼振动周期
由于质点的运动不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期运动。 不过 cos(ωt+φ)是周期变化的，他使得质点每连续两次通过平衡位置并沿着相同方向运动所 需的时间是一样的，于是把 cos(ωt+φ)的周期叫做阻尼振动的周期用 表示。与数学上通常理 解的周期不同。
原创）弹簧振子会永远振动吗？（图）
有效质量是 效质量。
，其中 m1 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，m0 为弹簧的有
3．在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤 2 测量相应的周期 T，这时系统的有效质量
，其中 m2 应是滑块本身质量加上两块砝码的质量和。
4．再用
和
测量相应的周期 T。式中：
“4
块砝码的质量”；
“6 块砝码的质量”。（注意记录每次所加砝码的号数，以
一、必做部分：简谐振动 [实验目的] 1．测量弹簧振子的振动周期 T。
2．求弹簧的倔强系数 和有效质量 。 [仪器仪器] 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 [实验原理] 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图 13-1 所 示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。
（4） 式中：m—振动系统的有效质量；m0—弹簧的有效质量；m1—滑块和砝码的质量。
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. 由振动系统本身的性质所决定。振动周期 T 与 有下列关系：
（5）
在实验中，我们改变 m1，测出相应的 T，考虑 T 与 m 的关系，从而求出 和 。 [实验内容] 1．按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 2．测量图 13-1 所示的弹簧振子的振动周期 T，重复测量 6 次，与 T 相应的振动系统的
4、当阻尼作用较大，超过临界值时，即阻尼系数满足条件
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时，方程（4）的解可为：
其中 c1 和 c2 为积分常数，并且：
（7）
式（7）表述的振子位移曲线 x（t）如下图：
可以看出阻尼作用大大抵消了振子振动的机械能，根本形不成周期振动，质 点运动的速率很小，需要经过相当长的时间过程，才能回到平衡位置静止下来。 这就是我们通常所说的“过阻尼振动”情况，实际上毫无“振动”可言。
2、当阻尼作用较小时，即阻尼系数满足条件 时，方程（4）的解可为：
（5） 其中 A0 和φ 为由初始条件决定的积分常数，振动的“圆频率”为 式（5）表述的振子位移曲线 x（t）如下图：
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可以看出其振动“周期”没有变，但振幅却按照指数规律衰减，从初始的最 大振幅为 A0 逐渐衰减为 0，振子最终稳定下来，静止在平衡位置。这就是我们 通常所说的阻尼振动或阻尼振荡。
科学的皇后 2008-07-08 23:21:39 阅读 161 评论 10 字号：大中小 订阅
上次周法哲说到一个弹簧振子，假定滑块是一个质点，质量为 m，质点运动 的动能和弹簧的弹性势能不断互相转化，滑块会在初始位置 O 点的左右永远振 动下去，且振幅保持为 A 不变。如下图所示：
描述这个弹簧振子系统的振动方程为
设质量为 m1 的滑块处于平衡位置，每个 弹簧的伸长量为 x0，当 m1 距平衡点 x 时，m1
只受弹性力
与
的作
用，其中 k1 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第
二定律，其运动方程为
图 13-1 简谐运动原理图
令
（1）
方程（1）的解为
（2）
说明滑块是做简谐振动。式中：A—振幅； —初相位。
（3） 叫做振动系统的固有频率。而
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世界上大部分物体振动，实际上都属于上述各种情况的阻尼振动，宏观上系 统振动能量不衰减的等幅振动或等幅振荡，一定是在特殊条件下的理想状态。
实验 13 气垫导轨上弹簧振子振动的研究
力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力 学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物 体与导轨表的摩擦，也就是说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。利用气垫导轨可以进行 许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐振动、阻 尼振动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振子的振动。
无论摩擦阻尼还是辐射阻尼的作用，事实上都会使振子系统的机械能有所耗 散。所以实际中的振子系统不可能永远振动下去。这种受外界阻尼作用的振动， 物理学上叫做阻尼振动。
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阻尼振动系统描述仍然可用微分方程，只不过需要考虑阻尼因素的作用。在 振动速率 v << 光速 c 时，阻尼作用相当于振子受到了一个正比于振动速率 v 的 阻力 f ：