圆和三角函数及相似练习题1、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。

（1）求证：BC ⊙O 是的切线；（2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=135，求⊙O 的半径。

2、如图，AB 是⊙0的直径，C 是⊙0上的一点，直线MN 经过点C ，过点A 作直线MN 的垂线，垂足为点D ，且∠BAC=∠DAC ．（1）猜想直线MN 与⊙0的位置关系，并说明理由； （2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径．3、已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．（1）求证：BE 与O ⊙相切；（2）连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2s i n 3ABC ∠=，求BF 的长．4、如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD∥ BF；（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．5、如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．6、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若2KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=35，AK=FG的长．545题图P7、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。

（1）求证：BC ⊙O 是的切线；（2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=135，求⊙O 的半径。

3、【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数 【答案】（1）证明：连结OC ∵OD ⊥BC 所以∠EOC =∠EOB 在△EOC 和△EOB 中OC OBEOC EOB OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△EOB （SAS ） ∴∠OBE =∠OCE =90° ∴BE 与⊙O 相切（2）解：过点D 作DH ⊥AB ∵△ODH ∽△OBD ∴OD ：OB =OH ：OD =DH ：BD 又∵sin ∠ABC =23∴OD =6∴OH =4，OH =5，DH又∵△ADH ∽△AFB∴AH ：AB =DH ：PBFB∴FB【点评】（1）利用全等三角形求出角度为90°，即得到相切的结论。

（2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。

4 分析】（1）由BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径，根据切线的性质，可得到BF ⊥AB ，然后利用平行线的判定得出CD ∥BF（2）由AB 是圆O 的直径，得到∠ADB=90º，由圆周角定理得出∠BAD=∠BCD ，再根据三角函数cos ∠BAD=cos ∠BCD== 即可求出AD 的长【解析】（1）证明：∵BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径54ADABBABA∴BF ⊥AB ∵CD ⊥AB ∴CD ∥BF（2）解：∵AB 是圆O 的直径∴∠ADB=90º ∵圆O 的半径5 ∴AB=10∵∠BAD=∠BCD∴ cos ∠BAD=cos ∠BCD== ∴=8 ∴AD=8【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。

圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。

圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。

因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。

在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点.5【解析】（1）要证PA 是⊙O 的切线，只要连接OB ，再证∠PAO ＝∠PBO ＝90°即可．（2）OD ，OP 分别是Rt △OAD ，Rt △OPA 的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA 2＝OD·OP ，再将EF ＝2OA 代入即可得出EF ，OD ，OP 之间的等量关系．（3）利用tan ∠F ＝12，得出AD ，OD 之间的关系，据此设未知数后，根据AD ＝BD ，OD ＝12BC ＝3，AO ＝OC ＝OF ＝FD －OF ，将AB ，AC 也表达成含未知数的代数式，再在Rt △ABC 中运用勾股定理构建方程求解．【答案】解：（1）证明：如下图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°．∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于D ，∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ． 又∵PO ＝PO ，∴△PAO ≌△PBO ．∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°．∴直线PA 为⊙O 的切线．（2）EF 2＝4OD·OP ．证明：∵∠PAO ＝∠PDA ＝90°，45AD AB1054cos ⨯=⋅∠=AB BAD ADP∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OPA ＋∠AOP ＝90°． ∴∠OAD ＝∠OPA ．∴△OAD ∽△OPA ．∴OD OA ＝OAOP，即OA 2＝OD·OP ． 又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD·OP ．（3）∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3． 设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝2x －3． 在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x 2＋32． 解之得，x 1＝4，x 2＝0（不合题意，舍去）． AD ＝4，OA ＝2x －3＝5．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°． 而AC ＝2OA ＝10，BC ＝6， ∴cos ∠ACB ＝610＝35． ∵OA 2＝OD·OP ， ∴3(PE ＋5)＝25．∴PE ＝103． 【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性很强，并富有探究性．要证某线是圆的切线，若已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可；若此线与圆的切点未知，可以过圆心作这条直线的垂线段（即为垂直），再证半径即可．另外，与圆有关的探究、计算问题，多与相似三角形和勾股定理有关，上来从这方面着手分析思考，有利于思路的快速打开．6、解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明∠EGK=∠EKG ，然后根据等角对等边，即可证明第（1）小题；对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG 的长。

答案：（1）如下图，连接OG ，∵EG 是⊙O 的切线∴OG ⊥GE ∴∠OGK+∠EGK ＝90°∵CD ⊥AB ∴∠OAG+∠AKH ＝90°∵OG=OA ∴∠OGK=∠OAG ∴∠EGK=∠AKH=∠EKG ∴KE=GE ；（2）AC ∥EF 理由如下：∵2KG =KD ·GE ，GE=KE ∴KG KEKD KG∴△KGD ∽△KGE ∴∠KGD ＝∠E∠KGD ＝∠C ∴∠E ＝∠C ∴AC ∥EF（3）∵在（2）的条件下， ∴AC ∥EF∴∠CAF ＝∠F ，∠E ＝∠C∵sinE=35 ∴sinC=35,sinF=45,tanE=tanC=34连接BG ，过G 作GN ⊥AB 于N ，交⊙O 于Q则弧BQ=弧BG ∴∠BGN ＝∠BAG 设AH=3k ，则CH=4k于是BH=221616==33CH k k AH k ，OG=+25=26BH AH k∵EG 是切线，CD ⊥AB∴∠OGF ＝90°∴∠FOG+∠F=∠E+∠F ∴∠FOG=∠E ∴NG=OGsin ∠FOG=25365k ⋅=52k∴BN=OB-ON=OG-OGcos ∠FOG=25451-=656k k⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴56点评：本题的第（3）小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比较基础，同学们应争取做对。

7、【解析】（1）连接OB ，证OB ⊥BC ，即证∠OBE+∠EBC=90°。

通过OA=OB ，CE=CB ，∠AED=∠BEC ，可将∠OBE 、∠EBC 分别转化为∠A 、∠AED ，结合CD ⊥OA 可证∠OBE+∠EBC=90°；（2）连接OF ，由CD 垂直平分OA 得AF=OF=OA ，再结合圆心角与圆周角关系易求∠ABF 的度数；，∴QN（3）作CG ⊥BE 于G ，得∠A=∠ECG ，CG 是BE 垂直平分线，由CD=15，BE=10，sinA=135，可求EG 、CE 、CG 、DE 长度，通过△ADE ∽△CGE 可求AD ，从而计算半径OA 。

【答案】（1）证明：连接OB 。

∵OA=OB ，∴∠A=∠OBE 。

∵CE=CB ，∴∠CEB=∠EBC ，∵∠AED =∠EBC ，∴∠AED = ∠EBC ，又∵CD ⊥OA ∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°，∴BC ⊙O 是的切线；（2）∵CD 垂直平分OA ，∴OF=AF ，又OA=OF ，∴OA=OF=AF ，∴∠O=60°，∴∠ABF=30°；（3）作CG ⊥BE 于G ，则∠A=∠ECG 。

∵CE=CB ，BD=10，∴EG=BG=5，∵sinECG=sinA=135，∴CE=13，CG=12.又CD=15，∴DE=2。

∵ADE ∽△CGE ，∴EG DE CG AD =，即5212=AD ，∴AD=524，∴OA=548，即⊙O 的半径是548。

【点评】本题将多个知识点结合在一起，问题设计层层递进，梯度鲜明，是一道中档偏上的题，有一定区分度．我们必须学会由已知条件寻找相应的定理、性质的基本图形，以及在不能直接根据已知条件解决问题时，要学会运用转化的思想。