练习1
求下列圆的极坐标方程
（１）中心在极点，半径为２；
＝2
（２）中心在Ｃ（ａ，０），半径为ａ；
＝2acos
（３）中心在（ａ，／2），半径为ａ；
＝2asin
（４）中心在Ｃ（0，０），半径为ｒ。
2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
练习2
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
据条件或几何性质列关于M的等式。 ④将等 式坐标化，⑤化简 此方程即得曲线的方程。
二 新课讲解：
探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为
(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(,)满足的条件？
M (,)
O
A
C(a,0)
x
思路分析
1、把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上 明确标出来、 即明确长度与角度是哪一 边，哪一个角
方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以
取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可
以表示为
( R) 或
4
5 ( R)
4
例2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直 线L的极坐标方程。（学生们先自己尝试做）
解：如图，建立极坐标系，设点 M ( , )
A且与极轴所成的角为 ,求直线l 的极坐标方程。
解：如图，建立极坐标系，设点M(, )
为直线 l上异于A点的任意一点，连接OM，
在 MOA中，由正弦定理 得
M
即
a
﹚ ﹚
oA
x
sin( ) sin( )
化简得 sin( ) a sin
显然A点也满足上方程
例3：设点P的极坐标为(1,1 )，直线 l 过点P且
一 复习引入：
1.建立极坐标系的四要素是哪些？
2.平面内点的极坐标如何表示？
1.方程的曲线和曲线的方程：
在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一 个二元方程的实数解建立如下的关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解。 ②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。 那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方 程叫做曲线的方程。
2、找边与角能共存的三角形，最好是直角三角 形
3、利用三角形的边角关系的公式与定理列等式 4、列式时要充分利用已知条件：圆心与半径
曲线的极坐标方程
一 定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标 中至少有一个）符合方程f(,)=0 ；
（２）以方程f(,)=0的所有解为坐标的 点都在曲线Ｃ上。
例1：
⑴求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。
M
﹚4
o
x
( 0)
4
5
（2）求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。
5 ( 0)
4
（3）求过极点，倾斜角为 4 的直线的极坐标方程。
(
4
0)
和
5 ( 0)
4
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形
式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不
为直线L上除点A外的任意一点， M
连接OM 在 RtMOA中有
﹚
OM cos MOA OA o A x
即 cos a
可以验证，点A的坐标也满足上式。
交流做题心得归纳解题步骤：
求直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M(, )是直线上任意一点；
3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程， 并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
2概念的意义：借助直角坐标系，把曲线和
方程联系起来，把曲线用一个二元方程表示， 通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性 质，即几何问题代数化，这就是坐标法的思 想。
3求曲线的方程的步骤：曲线的方程是曲
线上所有点的坐标都满足的一个关系式。 可按以下步骤：①建系 ②设点，设M（x,y) 为要求方程的曲线上任意一点③列等式，根
A. 2 cos B. 2 sin
4
4
C . 2cos 1 D. 2 sin 1
三 .圆的极坐标方程
（１）圆心在极点，半径为r ＝r
（2）中心在Ｃ（ 0， ０），半径为ｒ。
2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
四 直线的极坐标方程：
思考：在平面直角坐标系中 过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 x=3 ; 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3
sin[ ( 1 )] sin( ) o
sin( ) 1 sin( 1 )
1 P
﹚1 ﹚
Ax显然点P的Fra bibliotek标也是上式的解。
练习3
求过点P(4,/3)且与极轴夹角为/6的直线l 的
方程。
sin( ) 2
6
直线的几种极坐标方程
l
1、过极点 0( R)
2、过某个定点垂直于极轴
与极轴所成的角为 ,求直线l 的极坐标方程。
解：如图，设点M(, )为直线上除点P外
的任意一点，连接OM，则 OM ,xOM
由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1
设直线L与极轴交于点A。则在MOP 中
OMP ,OPM ( 1)
M
由正弦定理得 OM OP
即
sin
OPM
si1n OMP
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
二 求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样 ①建系 （适当的极坐标系） ②设点 （设M（ ，)为要求方程的曲线上任意一点） ③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式） ④将等式坐标化 ⑤化简 （此方程f(,)=0即为曲线的方程）
例1 已知圆O的半径为r，建立怎样 的坐标系，可以使圆的极坐标方程 更简单？
cos a
3、过某个定点平行于极轴 sin ＝a
o ﹚
M
﹚
o
Ax
AM
﹚
o
x
4、过某个定点(1,1 ) ，且与极轴成的角度a
sin( ) 1 sin( 1 )
M
1 P
﹚1 ﹚
o
Ax
小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）求曲线的极坐标方程的步骤 （3）会求圆的极坐标方程 （3）会求直线的极坐标方程
练习1求过点A (a,/2)(a>0)，且平行于
极轴的直线L的极坐标方程。
解：如图，建立极坐标系， A M
设点M(, )为直线L上除点
﹚
A外的任意一点，连接OM o
x
在 RtMOA中有
IOMI sin∠AMO=IOAI 即 sin ＝a
可以验证，点A的坐标也满足上式。
课堂练习2 设点A的极坐标为(a, 0)，直线l 过点