( B( x, r )) I r 2
( B ( x, r ))
1 I r 2 2
( B ( x, r ))
1 I r 2 4
• 局部分形维数无法区分纹理的一致区域、边和角。因此Xu （2009）中根据局部分形维数的值来对纹理图像像素点进 行分类并不是十分的合理
3.3本文的特征提取方法
• 实际应用中，取有限个r得到一系列的N(r)和r，通过拟合这
些log N (r ) 与 log 得到的直线斜率来近似分形维数。
1 r
(a)是光滑曲线，D=1；(b)棋盘D=2；(c)树叶 D 1.7
4个跟自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成 Koch曲线分形维数为：D=log4/log3约等于1.26于局部分形维数的像素分割与MFS
• 任意 R，定义
E {x R 2 : d ( x) lim log ( B( x, r )) } r 0 log r
（我们获得了一个纹理图像像素点的集合簇 {E : R} ） • 记MFS为 { f ( ) : R} {dim( E ) : R} • 这种方式定义的MFS是对分形维数的自然扩展，它是集合 分形维数形成的向量 • 基于局部分形维数产生的MFS对bi-Lipschitz变换保持不变
4.1.3非线性支持向量机
• • • • 通过非线性映射将非线性可分的点映射到高维空间中 非线性映射可能比较复杂，空间维数可能急剧增加 内积运算 Mercer定理条件，特征空间的内积在输入空间有等价形式
K ( xi x j )=( ( xi ) ( x j ))
• 常用核函数
• 多项式核函数 K ( x, x) (( x x) 1) • 高斯径向基核函数 K ( x, x) e
• Castleman 等人认为：纹理是一种反映图像中一块区域像 素灰度级的空间分布属性。
纹理图例
1.2纹理研究领域
• 纹理分割：根据纹理特征将图像划分为互不相交的若干区 域。 • 纹理描述：即纹理特征提取，通过一定的算法提取出纹理 图像的特征，从而获得对纹理的定量描述的过程。纹理描 述就是找到一个能够有效反映图像纹理特征的向量，并且 希望这些纹理特征向量在能缩小纹理类内距离的同时尽可 能加大纹理类间距离。 • 纹理分类：通过纹理特征的描述、提取和识别处理，将不 同类别的未知纹理图像正确地归类到已知的纹理类型。 • 纹理检索：根据纹理特征检索图像。
3.3.2像素分类方法
• 利用K均值算法（K-means算法）对已经提取的局部分形特
征向量进行聚类分析，得到K个中心向量 • 根据这K个中心向量并按距离最小原则将像素点分为K类 • 计算每个类别的分形维数得到最后的MFS向量 • 是纹理基元方法的一个改进。（纹理基元方法是利用图像
的滤波响应来表示纹理图像，而利用图像的滤波响应来表
• 可分样本集S ( xi , yi ) : i 1, 2,n; x Rm , yi {1, 1} 调整w和b，可使样本点满足
yi [w xi b] 1 0 （i 1, 2,, n)
分类超平面方程为 w x b 0 分类间隔为
min
xi S
| ( w xi ) b | 2 w w
3.1.2分形维数
• • • • 理论基础：豪斯道夫测度、豪斯道夫维数 豪斯道夫维数对任何集合都有意义，但计算困难 盒维数 数盒子法（box-counting method）：用边长为r的小盒子将 分形覆盖起来，当盒子的边长r变小时，N(r)会增大，定义
D0 lim
log N (r ) r 0 log r
3.2多重分形谱
• 3.2.1MFS
• 单一的分形维数无法表示纹理 • 分形维数按下面的方式扩展为多重分形谱
• 1、根据一定的标准对纹理图像的像素点定义一个分割（通常根 据局部描述子） • 2、计算每个点集的分形维数 • 3、将各个集合的分形维数组合，得到最终的MFS向量（全局的 统计信息）
• MFS向量对纹理的内在结构提供了丰富的表示 • 对像素的不同分类方法就会得到不同的MFS向量
基于分形分析的纹理特征提取
内容提要
• • • • • 基本概念 本文主要工作 特征提取 分类方法 试验结果
1基本概念
• 1.1纹理定义
• Coggins收集了一些关于纹理的经典定义： • 1) 纹理是由图像的区域组成，它由重复的图案组成并以图 元的某种排列结构来反映图像的区域结构性。 • 2) 如果图像的某个区域具有缓变的或近似周期性的性质， 那么就认为该图像区域含有不变的纹理。
• Xu（2009）中利用分形理论提出一种方法称为MFS(multifractal spectra) • Xu的MFS方法根据局部分形维数对像素进行分类 • 优点：这种方法能对大幅度的几何变换和一定的照明变化 保持不变，MFS向量已经被证明对全局的bi-Lipschitz几何变 换和光照线性变化保持不变 • 缺点：这种方法只是根据简单局部密度函数的值来对像素 进行分类并且特征维数低，因此它并不具有很强的判别力； 实验结果显示它与S Lazebnik（2005）也有微小的差距
2本文主要工作
• 克服分形方法的这些局限性，特别是局部分形维数判别力 不强的缺点，提出了一种新的纹理描述子 • 结合了高判别力的局部特征和全局统计信息 • 在具有很强判别力的同时对几何变换和照明变化具有很强 的不变性 • 在UIUC数据库上实验取得比较好的结果
3特征提取
• 3.1分形理论
• 3.1.1分形概述
• bi-Lipschitz变换g，I，I g ( E ) • 第一步证明 E • 第二步证明 dim( g ( E )) dim( E )
3.2.3局部分形维数的判别力和不变性
• 局部分形维数在bi-Lipschitz变换下保持不变 • 局部分形特征并不具有很强的判别力 (a) (b) (c)
n
i
0
i 0
i 1,, n
L( w, b, ) 若 为最优解，根据 0 ，则 w i yi xi w 分类函数为： f ( x) sgn(w x b )
f ( x) sgn(i yi xi x b)
i 1
n
• KKT条件 i (1 yi (w xi b)) 0, i 1, 2,, n • 只有极少的 i 不为0，不为0的 i 对应的向量（ H1 与 H 2上的 样本点不为0）就为支持向量
• 3.3.1局部分形维数向量
• MR8(Maximum Response filter sets)滤波器组（旋转不变的 非线性的滤波组）
• 在本文中 i ( B( x, r )) y x r | fi ( y) | 其中 fi max Fi I， 1 i 8 • 产生MR8滤波器组的matlab代码： /?vgg/research/texclass/filters.ht ml
示纹理图像的方法几乎是万能的） • 本文利用NETLAB toolbox中kmeans函数进行聚类分析
• I Nabney, C.B. Netlab neural network software. /netlab/
(a)
(b)
(c)
4分类方法
• 3.2.2局部分形维数
给定一个图像I，令 ( B( x, r )) y x r I ( y ) 假设
(B( x, r)) r D( x)
（即幂律法则成立）
log (B( x, r))
D( x)log r L( x)
其中D(x)为x的局部分形维数,也称为Holder指数
• 优化理论 P1: 在 yi [w xi b] 1 0 （i 1, 2,, n) 约束下求 1 1 2 ( w ) w ( w w) min 2 2 P2:对偶问题 n 1 max L( w, b, ) ( w w) i [ yi ( w xi b) 1]
x x 2 2
2
d
• 指数径向基核函数 K ( x, x) e
• Weber定律，将滤波响应向量规范为 F ( x) F ( x)[log(1 L( x) / 0.03)] / L( x) 其中 L( x) F ( x) 2
• 定义局部分形维数向量 D( x) [ D1 ( x)Dn ( x)] （其中 Di ( x)为图像I在第i个滤波响应下像素点x的局部分形 维数） • 局部分形维数向量对bi-Lipschitz变换保持不变（除去滤波 响应的变化），同时它也比一个单一的局部分形维数更具 判别力
1.3纹理分类
• 分类框架图
• 应用：分析卫星遥感图像的纹理特征可以进行区域识别
或土地治理等；分析不同的气象云图纹理，可以预测天气
1.4纹理分类的研究现状
• 常用的特征提取方法：灰度共生矩阵、马尔可夫随机场模 型、分形模型、Gabor滤波器、小波变换等 • 这些方法大概可分为密集型和稀疏型：
• M Varma (2002)中利用滤波组响应向量的方法（密集） • T Leung (2001)中利用基于仿射不变的纹理描述子得到了很好 的分类效果（稀疏）
R( f ) Remp ( f ) h ln( 2n 1) ln( ) h 4 n
• 将上式写成 R( ) Remp ( ) (h / n)
(h / n) 为置信区间，它随着VC维的增大而 （ Remp ( ) 为训练风险； 增大）
4.1.2线性支持向量机
• 二维线性可分情况 (a) (b)
• 4.1支持向量机
• 4.1.1理论基础
• 统计学习理论 R( f ) E[c( x, y, f ( x))]
X Y

c( x, y, f ( x))dP( x, y)