弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。

并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。

通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。

求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。

在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。

因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。

（1）假设物体是连续的。

就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。

这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。

（2）假设物体是线弹性的。

就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。

而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。

（3）假设物体是均匀的。

就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。

这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。

（4）假设物体是各向同性的。

也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。

（5）假设物体的变形是微小的。

即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。

这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸代替变形后尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积都可以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。

2、外力和应力的概念作用于弹性体的外力可以分为体（积）力和（表）面力。

体力是分布在弹性体体积内质量上的力，例如重力和惯性力、磁力等。

在物体内任一点的体力，用、、来表示。

它们的指向以作用于其上的单位体积的体力沿坐标轴上的投影X Y Z沿坐标轴正方向为正；反之为负。

这三个投影称为该点的体力分量。

面力是指作用于弹性体表面上的外力，例如流体压力和接触力等。

可以是分布力，也可以是集中力。

在弹性表面上任一点的面力，用作用于其上的单位面积上面力沿坐标轴上的投影X、Y、Z来表示。

它们的指向也以沿坐标轴正方向的为正，反之为负。

这三个投影称为该点的面力分量。

弹性体在外力作用下变形，而在弹性体内部为了阻止其变形就产生了内力来平衡外力。

作用在单位面积上的内力称为应力。

3、一点的应力状态分面，而这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。

相反，如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面就称为一个负面，而这个面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。

图上所示的应力分量全部都是正的。

注意，虽然上述正负号规定对于正应力说来，结果是和材料力学中的规定相同（拉应力为正而压应力为负），但是，对于剪应力说来，结果却和材料力学中的规定不完全相同。

剪应力的互等关系：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力，是互等的（大小相等，正负号也相同）。

yz zy zx xz xy yx ττττττ===，，（1）4、斜截面应力公式，物体表面给定力的边界条件现在，假定物体在任一点P 的六个应力分量x y z yz zx xy σσστττ、、、、、为已知，试求经过P 点的任一斜面上的应力。

为此，在P 点附近取一个平面ABC ，平行于这一斜面，并与经过P 点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC ，如图2所示。

当平面ABC 趋近于P 点时，平面ABC 上的应力就成为该斜面上的应图 2 物体内任意一点的应力状态设斜面ABC 的向外法线为N ，而N 的方向余弦为：()()()cos cos cos l n x m n y n n z ===,,,（2）由平衡条件0XF=∑、0YF=∑及0ZF=∑可得出与上式相似的两个方程。

简化后三个方程为：N x yx zx N y zy xy N z xz yzX l m n Y m n l Z n l m σττσττσττ=++=++=++（3）设三角形ABC 上的正应力为N σ，则由投影可得：222222N x y z yz zx xy l m n mn nl lm σσσστττ=+++++（4）设三角形ABC 上的剪应力为N τ，则由于：222222N N N N N N S X Y Z στ=+=++（5）而有：22222N N N N N X Y Z τσ=++-（6）由公式（4）和（5）可见，在物体的任意一点，如果已知六个应力分量x y z yz zx xy σσστττ、、、、、，就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。

因此，可以说，六个应力分量完全决定了一点的应力状态。

在特殊情况下，如果ABC 是物体的边界面，则N X 、N Y 、N Z 成为面力分量X 、Y 、Z ，于是由公式（3）得出：x yx zx y zy xy z xz yz l m n X m n l Y n l m Zσττσττσττ++=++=++=（7）这就是弹性体的应力边界条件，它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。

5、应力分量的坐标转换关系若物体处在某一确定的应力状态，在某一组坐标系中，这个应力状态可以用六个应力分量ij σ表示，在另一组坐标系中，同一个应力状态却以另外一组不同的应力分量kl σ表示。

两组应力分量之间应力满足一定的坐标转换关系。

在物体上任一点处，第一组坐标系的坐标轴为X Y Z 、、，第二组坐标系的坐标轴为'X ,'Y ,'Z ，它们之间的夹角方向余弦见表。

两组不同坐标系中的应力分量满足以下关系：111213111111213123212223222212223123313233333313233123l m n l l l l m n m m m l m n n n n σττστττσττστττσττσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（8）上式也可以表示成抽象的矩阵乘式:kl ki ij jl σβσβ=（9）例如：若第一组坐标系为直角坐标系()x z 、y 、，第二组坐标系为圆柱坐标系()r z θ、、，可知两组坐标系的转换矩阵为：cos sin 0sin cos 001ki θθβθθ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦（10）6、主应力、应力主方向、主剪应力若经过物体中一点P 处的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为P 点的一个主应力，该斜面称为P 点的一个主应力面，而该斜面的垂线方向称为P 点的一个主应力方向。

可以证明，在弹性体的任一点，一定存在三个相互垂直的主应力面及和它们对应的三个主应力，通常用123σσσ、、。

而且，任何一个斜面上的正应力都不会大于三个主应力中最大的一个，也不会小于三个主应力中最小的一个。

主应力与主方向可以用以下的方法求得：假设N 是P 点应力状态ij σ的一个主方向，N 与原始坐标系x y z 、、的夹角方向余弦为n l 、m 、，它们间总满足：2221l m n ++=（11）在垂直于N 的截面上只有正应力σ(某个主应力)作用，则由柯西公式知：x yx zx y zy xy z xz yz l m n l m n l m n l m n σττσσττσσττσ++=++=++=（12）上式中n l 、m 、为待求的方向余弦，将上式移项可以得到求解的齐次线性方程组：()()()000x yx zx xy y zy xz yz z l m n l m n l m n σστττσστττσσ-++=+-+=++-=（13）方程(13)零解的条件是其系数行列式值为零，即：()()()321230x yxzxxy yzy xz yzz I I I σστττσστσσσττσσ⎡⎤-⎢⎥-=-+-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（14）式（14）称为该应力状态的特征方程式，它是一个三次代数方程，可以证明它有三个实根，称为特征根，就是应力状态ij σ所对应的主应力。

可以证明，特征方程(14）式的系数13I I 2，I ，是只与应力状态有关，与所选择的原始坐标系无关的量，分别称为该应力状态的第一、第二、第三不变量。

即1x y z I σσσ=++（15） 2x yx y zy x zx xy y yzz xz z I στστσττστστσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（16）3x yx zx xy y zy xz yz z I στττστττσ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（17）7、叠加原理与圣维南原理在解决一个弹性力学问题时，我们常常利用叠加原理来有效地处理各种复杂载荷作用的情况。

叠加原理是：考虑同一物体受两组载荷作用，第一组为体力'if ()123i =，，和面力'i F ()123i =，，；第二组为体力''i f ()123i =，，和面力''i F ()123i =，，，它们引起的应力和全移场分别为'ij σ和'i u 以及''ij σ和''i u ()123i j =，，，。

如果物体处于线弹性、小变形状态，两组载荷同时作用时物体内的应力和位移场等于它们单独作用时相应的应力与位移场之和。

弹性理论要求在物体的每个边界点上都给定边界条件。

实际工程问题却往往只知道总的载荷量，只能提出等效的近似边界条件，给不出详细的载荷分布规律。

另外，解题时往往难于满足逐点给定的精确边界条件，因而也希望能找到一种边界条件的简化方案。

圣维南原理指出:由作用在物体局部表面上的自平衡力系(即合力与合力矩为零的力系)，所引起的应变，在远离作用区(距离远大于该局部作用区的线性尺寸)的地方可以忽略不计。

圣维南原理的另一种提法是:若把作用在物体局部表面上的外力，用另一组与它静力等效的力系来代替。

则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响将随远离作用区的距离增加而迅速衰减。