pr =σs 2t
2 2 2 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6(τ xy +τ2 yz + τ zx ) = 2σ s
2 2 2 σ x +σ 2 y − σ xσ y + 3τ xy = σ s 2
pr =σs t
Tresca 条件：
σθ = −
b2 p b − a2
2
p σr
ρ 2q σθ = 2 b − ρ2
⎛ b2 ⎞ b2 p ⎜ ⎜1 + r2 ⎟ ⎟ − b2 − ρ 2 ⎝ ⎠
2
⎛ ρ2 ⎞ ⎜ ⎜1 + r2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
a ρ
b
(σ r − σ θ ) r = ρ
σθ
=
2b 2 ( p − q) = σ s b − ρ2 σs
σ x +σ y ⎛σ x −σ y + ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ σ x +σ y ⎛σ x −σ y − ⎜ ⎜ 2 2 ⎝
⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ≤ σ s ⎠ ⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ≤ σ s ⎠
2
(σ
x
−σ y
σ ⎜ ) +⎛ ⎜
2
y
⎝
−σ x ⎞ ⎛σ y −σ x ⎞ 2 2 ⎟ ⎟ ⎟ +⎜ ⎜ ⎟ + 6 τ xy = 2σ s 2 2 ⎝ ⎠ ⎠
δ = 2%
2 B1 z = 2C 1 z
Mises : (σ θ − σ z ) 2 + (σ z − σ r ) 2 + (σ θ − σ r ) 2 = 2σ s2 ⇒ p = 5.77 MPa
δ = 1.9%
3-2 解：
σ s = 205 MPa σ 1 = 200 MPa σ 2 = 100 MPa σ 3 = −50 MPa Tresca : σ 1 − σ 3 = 250 MPa > σ s = 205MPa
[
]
处于塑性状态。
dε θp : dε ϕp : dε rp = 1 : 1 : −2 dε θp : dε ϕp =
1 dt dr =− r 2 t
3－6：试确定单向拉伸应力状态、纯剪切应力状态的塑性应变 增量之比（理想刚塑性材料）。
dr r
dε rp =
dt t
解： （1）单向拉伸应力状态： σ 1 = σ s , σ 2 = σ 3 = 0
3-1 解：
σθ = pd = 50 p 2t
σ s = 250 MPa d = 400mm pd = 25 p 4t
t = 4mm
σz =
σr = −p
Tresca : σ θ − σ r = σ s ⇒ 51 p = 250 ⇒ p = 4.9 MPa
∂ 2γ xz = 2C 1 z ∂x∂z
∂ 2ε x =0 ∂z 2 ∂ 2 ε x ∂ 2 ε z ∂ 2γ xz + = ∂x∂z ∂x 2 ∂z 2
dε 1 : dε 2 : dε 3 = 2 : − 1 : − 1
（2）纯剪切应力状态：
σ 1 = τ s , σ 2 = 0, σ 3 = −τ s
r t = 0 r0 t
r 2 t = r02 t 0
σ 0 = 0 , s 1 = τ s , s 2 = 0 , s 3 = −τ s
d ε 1 : d ε 2 : d ε 3 = s1 : s 2 : s 3 = 1 : 0 : − 1
Mises : (σ θ − σ z ) 2 + (σ z − σ r ) 2 + (σ θ − σ r ) 2 = 2σ s2
3 ⎛ pr ⎞ 2 2 ⎜ ⎟ +σ = σs 4⎝ t ⎠
2
σ1 =
σ x +σ y ⎛σ x −σ y + ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ σ x +σ y ⎛σ x −σ y − ⎜ ⎜ 2 2 ⎝
⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ⎠ ⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ⎠
2 2
1 (σ x + σ y ) 2
补充题：薄壁圆筒，内半径为 r0＝200mm，壁厚为 t0 =4mm， 承受内压为 p=10MPa ，材料单向拉伸时： σ = 800ε 0.25 dt 求：壁厚变化量 。 ∆t = t0 − t dε =
2
a
2
q: 弹塑性分界面处的压力。
σr = ρ 2q b2 − ρ 2
⎛ b2 ⎞ b2 p ⎜ ⎜1 − r2 ⎟ ⎟ − b2 − ρ 2 ⎝ ⎠ ⎛ ρ2⎞ ⎜ ⎜1 − r 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ a ⎞ ⎜ ⎜1 − r2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ a2 ⎞ ⎜ ⎜1 + r 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ a2 ⎞ b2 p ⎛ ⎜1 + 2 ⎟ σ 1 = σ r ,σ 3 = σ θ = − 2 b − a2 ⎜ r ⎟ ⎝ ⎠ : (σ 1 − σ 3 ) = σ s Tresca Tresca: r=a σs ⎛ a2 ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ 弹性极限压力： pe = 2 ⎜ b ⎟ ⎝ ⎠
2
2
( )
⎛σ x −σ y ⎜ ⎜ 2 ⎝
⎞ 1 2 2 ⎟ ⎟ + τ xy = 3 σ s ⎠
2
Tresca 屈服条件：
τ yz = Βιβλιοθήκη zx = 0σ1 = σ x +σ y ⎛σ x −σ y + ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ σ x +σ y ⎛σ x −σ y − ⎜ ⎜ 2 2 ⎝
σz =σ2 =
塑性区：α≤ r ≤ ρ
dσ r σ r − σ θ + =0 dr r
σr－ σθ = σs
σ dσ r = − s r dr
σ r = − σ s ln r + C
交界处：r＝ ρ
e σr = e
e p σr =σr
e
p
b2 ⎞ ρ2⎞ ρ 2q ⎛ b2 p ⎛ ⎜1 − 2 ⎟ ⎟ − b2 − ρ 2 ⎜ ⎜1 − r2 ⎟ ⎟ b2 − ρ 2 ⎜ r ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3-7 解：
σθ =
pr t pr 2t
σz =
pr +σ 2t
σr = −p≈ 0
3-8 解：
（1）平面应力问题 Mises条件：
σ x , σ y , σ z = 0 , τ xy , τ yz = τ zx = 0
Tresca : σ >
σ z −σ r = σ s ⇒ σ + Tresca : σ < pr 2t σθ −σ r = σ s ⇒
⎛σ x −σ y 2 ⎜ ⎜ 2 ⎝ ⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ≤ σ s ⎠
2 2
2
1 (σ x + σ y ) 2
τ yz = τ zx = 0
Mises 屈服条件：
2 2 2 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6 (τ xy +τ2 yz + τ zx ) = 2σ s
εz =
x ∂w =− ∂z a
γ zx =
ε x , ε y , ε z , γ xy ⋯⋯ 均为 x、y、z 的一次函数，满足变形协调方程。
2-3 解：
ε x = (A0 + A1 x 2 )z ε z = (B0 + B1 x 2 )z + B2 z 3 γ xz = x (C 0 + C 1 z 2 ) ε y = γ xy = γ yz = 0
⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ⎠ ⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ⎠
⎛σ x −σ y ⎜ ⎜ 2 ⎝
2
2
εz = 0
σz =
σ3 = 0
⎞ 1 2 2 ⎟ ⎟ + τ xy ≤ 4 σ s ⎠
εz =
1 (σ z − µ (σ x + σ y ) ) E
σ1 =
σ +σ y ⎛σ x −σ y σ2 = x − ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ σ1 −σ2 ≤ σs σ1 −σ3 ≤ σs σ2 −σ3 ≤ σ s
3-4 解：
σθ = σ0 = sθ =
pr 2t pr 3t pr 6t
σϕ =
pr 2t
σr = −p≈ 0
处于塑性状态。
Mises : (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 = 95000 MPa
95000 MPa > 2σ s2 = 84050 MPa
2-1 解：
u= εx = z 2 + µ (x 2 − y 2 ) ; 2a µx a µx a v= µxy ; a w=− xz a
弹塑性力学习题解答
中国地质大学工程技术学院 力学教研室
∂u = ∂x ∂v εy = = ∂y
γ xy = γ yz
∂u ∂v =0 + ∂y ∂x ∂v ∂w = + =0 ∂z ∂y ∂w ∂u + =0 ∂x ∂z
⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ⎠ ⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ⎠
2
2
σ2 =
σ3 = 0
3-8 解：
（1）平面应力问题 Tresca 条件：
（2） 平面应变问题（ µ =0.5）
σ x , σ y , σ z = 0 , τ xy , τ yz = τ zx = 0
σ x +σ y ⎛σ x −σ y + ⎜ ⎜ 2 2 ⎝