第五章曲线运动【知识点汇总】一曲线运动1.曲线运动的位移x方向的分位移：x A=l cosθy方向的分位移：y A=l sinθ（θ为合位移l与x轴正方向的夹角）合位移为 l=√x A2+y A2，tanθ=y Ax A2.曲线运动的速度x方向的分速度：v x=v cosθy方向的分速度：v y=v sinθ合速度为v=√v x2+v y2，tanθ=v y（θ为合速度v与x方向分速度的夹角）v x3.物体做曲线运动的条件初速度不为零，即v0≠0；合力不为零，即F合≠0；初速度方向与合力方向不在同一直线上。

4.曲线运动的性质曲线运动的速度方向时刻改变，一定是变速运动；做曲线运动的物体受到的合外力一定不为零，加速度一定不为零；曲线运动是否是匀变速运动取决于物体所受的合力情况。

合外力为恒力，物体做匀变速曲线运动。

5.运动的合成与分解（1）已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解。

求解时遵循矢量运算的平行四边形定则。

（2）合运动和分运动的关系：等效性、独立性、等时性、同体性。

（3）进行运动分解的步骤：①确定合运动方向（实际运动方向）；②分析合运动的运动效果；③依据合运动效果确定两分运动方向；④依据平行四边形定则作出分解矢量图。

二平抛运动1.平抛运动的条件：①物体具有水平方向的初速度；②运动过程中只受重力作用。

2.平抛运动的性质：做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g；平抛运动是匀变速曲线运动，3.解决平抛运动问题的方法：将其分解为水平方向上的匀速直线运动；竖直方向上的自由落体运动。

4.平抛运动的速度 水平分速度：v x ＝v 0 竖直分速度：v y =gtt 时刻平抛物体的速度大小和方向：v t =√v x 2+v y 2=√v 02+（gt ）2设v t 与x 轴正方向的夹角为α，则tan α=v y v x=gt v 0任意时刻速度的水平分量均等于初速度v 0；任意相等时间间隔△t 内的速度改变量均竖直向下，且∆v ＝△v y ＝g ·∆t 。

5.平抛运动的位移 水平分位移：x ＝v 0t 竖直分位移：y =12gt 2t 时间内合位移的大小：s =√x 2+y 2设合位移s 与x 轴正方向的夹角为θ，则tan θ=yx=12gt 2v 0t=gt2v 0由x =v 0t =v 0√2y g 知平抛物体的水平位移由初速度v 0和下落的高度y 共同决定。

平抛运动的轨迹是一条抛物线。

6.平抛运动的五结论（1）运动时间t =√2hg ，即做平抛运动的物体在空中飞行时间仅取决于下落的高度，与初速度v 0无关。

（2）落地的水平距离x =v 0√2hg ，即水平距离与初速度v 0和下落高度h 有关，与其他因素无关。

（3）落地速度v =√v 02+2gh ，即落地速度只与初速度v 0和下落高度h 有关。

（4）做平抛运动的物体，速度矢量的反向延长线过水平位移x 的中点O ’。

如图所示，因为 tan θ=v y v x=gt v 0， 由几何关系知 tan θ=PA O ′A =yO ′A =gt 22O ′A，联立以上两式得 O ′A =12v 0t =x2（5）做平抛运动的物体在t 时刻的速度与水平方向的夹角θ（速度偏向角）和位移与水平方向的夹角α（位移偏向角）的关系为tan θ=2tan α。

因为tan α=y x ，而tan θ=y O ′A =yx 2，故tan θ=2tan α。

三圆周运动1.描述圆周运动的物理量（1）线速度v：质点做圆周运动通过的弧长 ∆s 和所用时间 ∆t 的比值，v=∆s∆t（单位：m/s）；描述质点沿圆周运动的快慢；线速度方向沿圆周上该点的切线方向与半径垂直。

（2）角速度ω ：质点做匀速圆周运动时，连接运动质点所在的半径转过的角度 ∆θ 跟所用时间 ∆t 的比值，ω=∆θ∆t（单位：rad/s）；描述质点转过圆心角的快慢；在匀速圆周运动中角速度是个恒量。

（3）周期T：做圆周运动的物体运动一周所需的时间。

（ω=2πT 、T=2πω）（3）频率f：做圆周运动物体，在1s内转过的圈数叫频率（单位：Hz）。

（4）转速n：做圆周运动的物体，在单位时间内转过的圈数，常用单位：转每秒（r/s）、转每分（r/min）。

2.圆周运动中各物理量之间的关系（1）v、T、r的关系：物体在转动一周的过程中，通过的弧长Δs=2πr，用时为T，则v=ΔsΔt =2πrT。

（2）ω、T的关系：物体在转动一周的过程中，转过的角度Δθ=2π，用时为T，则ω=ΔθΔt =2πT。

（3）ω、n的关系：物体在1秒内转过n圈，1圈转过的角度为2π，则1秒内转过的角度∆θ=2πn，即ω=2πn。

（4）v、ω、r的关系：v=ωr。

3.常见的传动装置及其特点（1）共轴传动A点和B点在同轴的一个圆盘上，如图所示。

圆盘转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系，并且转动方向相同。

ωA=ωBνAνB =rRT A=T B2.皮带传动A点和B点分别是两个轮子边缘的点，两个轮子用皮带连接起来，并且皮带不打滑。

如图所示，轮子转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系，并且转动方向相同。

νA=νBωAωΒ=rRT AT B=Rr3.齿轮转动A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合。

如图所示，齿轮转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系，并且两点转动方向相反。

νA=νB T AT B =r1r2=n1n2ωAωΒ=r2r1=n2n1，其中n1、n2分别表示两齿轮的齿数。

四向心加速度和向心力1.任何做匀速圆周运动的物体，加速度都指向圆心，这个加速度被称为向心加速度，描述线速度方向改变的快慢；方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直。

2.向心加速度的公式：a n=ν2r=rω2，不论加速度a n的大小是否变化，a n的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。

3.不同形式的各种表达式①对应线速度：a n=ν2r ；②对应角速度：a n=rω2；③对应周期：a n=4π2T2r④对应转速：a n=4π2n2r；⑤推导公式：a n=ων4.做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，是由于它受到了指向圆心的力，这个合力叫做向心力；向心力的方向总是指向圆心，故方向时刻在变化，所以向心力是变力；向心力的作用效果只是改变物体速度的方向，而不改变速度的大小。

5.向心力的大小F n=mω2r=m v2r=mωvF n=m(2πT)2r=m(2πf)2r=m(2πn)2r6.向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力的各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。

7.解决圆周运动问题的关键：从“供”、“需”两方面来进行研究（1）供：分析物体受力，求沿半径方向指向圆心的合外力。

（2）需：确定物体圆周轨道平面，定圆心、找半径，用公式求出所需向心力。

（3）算：根据“供”“需”平衡列方程F供=F需五生活中的圆周运动1.火车转弯模型F=mg tanθsinθ=hL当θ很小时，sinθ=tanθ故可推得：v0=√ghRL（1）当火车转弯速率 v 等于v0，F=F0，内外轨道对轮缘都没有侧压力。

（2）当火车转弯速率 v 大于v0，F＜F0，外轨对轮缘有侧压力。

（3）当火车转弯速率 v 小于v 0，F ＞F 0，内轨对轮缘有侧压力。

2.拱形桥模型内容项目汽车过凸形桥汽车过凹形桥受力分析以向心力方 向为正方向mg −F N =m v 2rF N =mg −m v 2rF N −mg =m v 2rF N =mg +m v 2r牛顿第三定律F 压=F N =mg −m v 2r ；v 增大，F 压减小；当v 增大到√rg 时，F 压=0F 压=F N =mg +m v 2rv 增大，F 压 增大3.航天器中的完全失重现象航天器在近地轨道运动时，对航天器，重力充当向心力，满足的关系为mg ＝mv 2R，航天器的速度v =√gR ；对航天员，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系式为mg −F N =mv 2R，由此可得F N =0，航天员处于失重状态，对座椅无压力（不是物体不受重力）。

4.轻绳模型（1）在最高点时，小球的受力有两种情况①当v =√gR 时，小球只受重力mg 的作用，F 向=mg 。

②当v ＞√gR 时，小球重力mg 和绳子拉力F 两个力的合力提供向心力，即F 向=mg +F （2）在最低点，小球的受力只有一种情况小球受到向下的重力mg 和向上的拉力F ′作用，这二力的合力提供向心力，即F 向=F ′−mg （3）拓展：小球在竖直放置的光滑圆形轨道内侧做圆周运动，实际上就是轻绳 模型。

如图所示，小车到达最高点A 时，轨道内侧对小球施压力F ，由牛顿第二 定律得mg +F =m v A 2R，F ≥0即小球过最高点时的速度为v A ≥√gR 。

5.轻杆模型：（1）在最高点，小球的受力有三种情况：①当v=√gR时，小球只受重力mg的作用，F向=mg；②当v＞√gR时，小球受到重力mg和杆向下的拉力F两个力的作用，两个力的合力提供向心力，F向=mg+F。

③当0≤v＜√gR时，小球受到重力mg和杆向上的支持力F两个力的作用，两个力的合力提供向心力，F向=mg−F。

（2）在最低点，小球的受力只有一种情况：小球受到向下的重力G和向上的拉力F的作用，这二力的合力提供向心力，F向=F−mg。

（3）拓展：小球在竖直放置的光滑圆管内做圆周运动，实际上就是轻杆模型。

①当小球的速度v=√gR，小球只受重力的作用，即不受内管的压力也不受外管的支持力；②当v＞√gR时，小球将受到外管内壁的压力；③当0≤v＜√gR时小球将受到内管外壁的支持力。

6.离心运动（1）做圆周运动物体，一旦提供向心力的外力突然消失，或者外力不能提供足够的向心力时，物体做远离圆心的运动，即离心运动。

（2）合外力与向心力的关系①若F合=mrω2或F合=mv2r，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。

②若F合＞mrω2或F合＞mv2r，物体做半径变小的近心运动，即“提供”大于“需要”。

③若F合＜mrω2或F合＜mv2r，则外力不足以将物体拉回到原轨道上，而做离心运动，即“提供不足”，也就是“需要”大于“提供”。

④若F合=0，则物体做直线运动。

第五章曲线运动综合测试一选择题（16×3分＝48分）1.下列说法中正确的是（）A.曲线运动一定是变速运动B.变速运动一定是曲线运动C.匀速圆周运动就是速度不变的运动D.匀速圆周运动就是角速度不变的运动2.质点从同一高度水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是（）A.质量越大，水平位移越大B.初速度越大，落地时竖直方向速度越大C.初速度越大，空中运动时间越长D.初速度越大，落地时速度越大3.做曲线运动的物体在运动过程中，下列说法正确的是（）A.速度大小一定改变B.加速度大小一定改变C.速度方向一定改变D.加速度方向一定改变4.一质点做匀速圆周运动，下列说法中，错误的是（）A.任意相等的时间内，通过相等的弧长B.任意相等的时间内，通过的位移相同C.任意相等的时间内，转过相等的角度D.任意相等的时间内，速度的变化相同5.如图，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是（）A.绳的拉力等于A的重力B.绳的拉力等于A的重力C.绳的拉力小于A的重力D.拉力先大于重力，后变为小于重力6.在某变速箱中有甲乙丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为（）A.r1ω1r3 B.r3ω1r1C.r3ω1r2 D.r1ω1r27.质量为m的石块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果摩擦力的作用使得石块的速度大小不变，如图所示，那么（）A.因为速率不变，所以石块的加速度为零B.石块下滑过程中受的合外力越来越大C.石块下滑过程中的摩擦力大小不变D.石块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心8.雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下列说法中正确的是（）A.风俗越大，雨滴下落的时间越长B.风俗越大，雨滴着地时的速度越大C.雨滴下落时间与风速无关D.雨滴着地时的速度与风速无关9.关于平抛运动，下列说法正确的是（）可知，物体平抛的初速度越大，飞行时间越短A.由t=xv0可知，物体下落的高度越大，飞行时间越长B.由t=√2hgC.任意连续相等的时间内，物体下落高度之比为1:3:5：…D.任意连续相等的时间内，物体运动速度的改变量相等10.质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，如图所示。