然后原子束沿直线运动，一直落 在屏幕P上，那时偏离x轴的距离 为z2，可以证明
z2 z1 at1t2
1 2 1 F d at1 at1t2 z 2 2 m v/ /
Fz d 2 FzdD m v/ / v / / mv/ / 2
，而且它们在z方
向的分量只取两个数值
，自旋磁矩是理论值的两倍。
电子自旋是原子物理学和量子力学中十分重要的概念， 在假说的提出与被接受的过程中，从名不见经传的在校学 生到物理学权威皆卷入其间，不同观点针锋相对，虽然电 子自旋假说的提出稍早于量子论的矩阵力学和波动力学， 但它们之间没有直接的逻辑联系，因此不是物理学史家关 注的焦点。 由于自旋发现的历史非常曲折有趣，而且很有教育意 义。艾伦费斯特的教育艺术、乌仑贝克与古兹米特的理论 实验协作、泡利的直觉与执着、克罗尼格的背运、爱因斯 坦的举重若轻、托马斯的数学计算都在这个故事里让人眼 睛一亮。
Z μ
Lz ml
L
l l (l 1) B , l 0,1,2,3.......n
L
l , z ml B ,
m 0,1,2,3....... l
二、史特恩—盖拉赫实验
史特恩和盖拉赫在 1921 年进行的实验是对原子在外场中取向 量子化的首次直接观测，它是原子物理学中最重要的实验之一， 其装置示意图如下 氢原子从容器O内通过小 孔逸出，氢原子通过狭缝 后 , 形成细束 , 经过一不均 匀的磁场区域 , 在磁场的垂 直方向运动 , 最后撞在底片 P 上 , 显像后在底片上看到 两条黑斑 , 表明氢原子在经 过不均匀磁场区域时已分 成两束.
这就是拉莫尔进动的角速度公式。它表明：在均匀外磁场中 的一个高速旋转的磁矩并不向 B 方向靠拢，而是以一定的角 速度 绕 B 进动， 的方向和 B 的方向一致。
磁矩及其Z分量的大小是量子化的，它来源于轨道角动量 L及
其Z分量LZ的大小的量子化。
L l (l 1)
令
e 2me
γ称为旋磁比，式中me为电子的质量，则
此公式即为原子中电子绕核 运动的磁矩和电子的轨道角动 量之间的关系式。 可见电子绕核运动的磁矩与轨
L
L v
道角动量是反向的（磁矩方向是
根据电流方向的右手螺旋定则定 义的，
L r m mr
由公式可见，若仅仅μ是量子化的，而cosβ可以是任意的 话那么μz就不是量子化的，而z2也不可能是量子化。只有当空 间也是量子化时，即μ在z方向的投影也是量子化的，z2的数值 才可能是分立的。因此从实验上测得 z2 的数值是否是分立的， 就可以反过来证明μz是否量子化。史特恩—盖拉赫实验的结果 表明，氢原子在磁场中只有两个取向，这就有力的证明了原子 在磁场中的取向是量子化的。
x方向：x v/ /t v/ / (t1 t2 )
原子束在经过磁场区（长度为 d） 到达出口时，已经偏离 x 轴 z1 的 距离，此时沿z方向的速度为
z方向:
1 Fz 2 z1 t1 2m
Fz d v at1 m v/ / d D v / /t 2 2 z2 z1 v t 2
古兹密特（ Samuel Abraham Goudsmit ，1902—1978），荷兰 裔美籍物理学家。 1953 年获得调查公司奖， 1964 年获得普朗 克奖， 1976 年获得美国国家科学奖。首次测量了核子自旋， 发展了光谱线的超精细结构，首次借助分光镜测出核磁矩， 研究复杂原子和多电子散射理论，引入随机统计问题，发明 一种新的分光计。
μ
）。
dv 磁力矩的存在将引起角动量的变化 dL mr r ma r F dt dt B
L B



d d dL ; B μ B 或 dt dt dt
2
D
d
v/ / v
Bz Fz z z
Bz dD z2 z z mv 2
热平衡时，原子的速度满足
mv 2 3kT
Bz dD z2 z z 3kT

Z B z


z cos
z2 cos Bz dD z 3kT
8、1926年2月20日出版的Nature第117卷发表了乌古二人的论文， 正式以英文形式提出电子自旋假设 ( 不再归因为自转 ) ，以电荷 分布在电子表面解释了反常旋磁比，并计算了原子光谱双线精 细分裂。只留下一个双线分裂距离2倍的最后一个问题。 9、美国物理学家托马斯(Llewellyn Hilleth Thomas)于1925年 秋在哥本哈根受艾伦费斯特的委托，用相对论进行了双线分裂 的计算，其结果以信的方式发表于 Nature1926 年 4 月第 117 卷上 (原来是以前算错了所以才有因子2的差别！) 10、1926年2月，玻尔海森堡改变观念，泡利验算以后也承认自 旋假设。 11、1927年,泡利把电子自旋概念纳入了矩阵力学体系. 12、1928年,狄拉克(Paul A. M. Dirac)建立了量子力学的相对 论性波动方程 , 可以自然地说明电子的半整数的自旋角动量 , 并 得出了反常旋磁因子为2. 13、1940年,泡利基于量子场论的需要，推导出了自旋假设。
三、电子自旋假设
从史特恩—盖拉赫实验只能解释奇数条纹分裂，无法解释偶 数条纹分裂。该实验出现偶数分裂的事实，给人的启示是：要 2l+1为偶数，只有角动量为半整数，而根据轨道角动量理论是 l不可能给出半整数的。 1925 年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据一系列的实 验事实大胆地提出这样一个假设：电子不是点电荷，它除了轨 道角动量以外，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量。
L l l 1 , l 0,1,2,3,......n. S ss 1 , s 1 / 2
轨道量子数 自旋量子数
Lz ml
ml 0,1,2,..... l
1 2
1 Sz 2
1 2
1 ms . 2
任何电子都有相同的自旋角动量
§6.2 自旋算符和自旋态矢量
一、电子自旋算符 二、泡利算符 三、Sz表象和泡利矩阵 四、电子自旋态矢量
一、电子自旋算符
为了描述电子的自旋特性，引入一个厄米算 ˆ 来表征电子的自旋角动量 S 。 符S
[注意]：自旋角动量是电子内部的一种固有特性， 在经典理论中没有对应量，也不同于一般的力学量， 它不能表示为坐标和动量的函数。
3 、 1925 年 1 月 初 ， 德 国 物 理 学 家 克 罗 尼 格 (Ralph De Laer Kronig)根据泡利写给朗德关于第四量子数的信，提出电子内禀 角动量假设并推出了碱金属光谱的双线结构，由于反常旋磁比 的原因，理论值是实验值的两倍。 4、1925年1月8日，克罗尼格请教泡利，电子内禀角动量归结为 电子自转不符合泡利的物理直觉而被否定。加上海森堡的反对， 克罗尼格放弃了！ 5、1925年夏天,莱顿大学艾伦费斯特(Paul Ehrenfest) 的两个 学生乌伦贝克 (George Eugene Uhlenbeck) 和古兹密特 (Samuel Abraham Goudsmit)，将电子内禀角动量理解为第四运动自由度， 提出自旋假设并投稿 Science( 事先不知道泡利和克罗尼格的讨 论)，讨论了反常塞曼效应。 6、1925年秋天，洛伦兹应两人要求算出电子自转违反相对论， 而且反常旋磁比也难解释，两人追回论文未果，于11月发表。 7 、 1925 年 12 月 , 众多物理学家云集莱顿大学庆祝洛仑兹获得博 士学位 50 周年，玻尔请教爱因斯坦，爱因斯坦认为自旋假设是 相对论的必然结果！
B0
B 0 z
史特恩—盖拉赫实验(1922)
角动量取向量子化
史特恩和盖拉赫的功绩之一，就是制造了一块能在很小线度 内产生不均匀磁场的磁铁，对于这样的一个磁场，磁矩只有在Z 方向受力
B

U B μ B
任何一个力都可以写成势能的负梯度，即 U ˆ U ˆ U ˆ F U x i y j z k 所以，一磁矩在z方向上受到的力就可以写成
最终的结论，自旋无需假设！！
保罗 · 埃伦费斯特（ Paul Ehrenfest ， 1880 年 1 月 18 日－ 1933 年9月25日），奥地利数学家、物理学家，1922年取得荷兰国 籍。他的贡献的领域主要是在统计力学及对其与量子力学的 关系的研究上，还有相变理论及埃伦费斯特定理。
乌伦贝克 :(George Eugene Uhlenbeck ， 1900—1988 )1955 年 被任命为洛伦兹讲座教授。 1959 年，他成为美国物理学会主 席。 1965 年获得普朗克奖。 1970 年获得荷兰皇家科学院的洛 伦兹奖章。 1977 年获得美国国家科学奖。 1979 年获得伍尔夫 奖。
B
B

iS iSn0
iS B

iSB sin
磁矩在均匀外场中不受力，但受到一个力矩的作用
B

原子中电子绕核运动必定产生一个磁矩。若电子绕核旋转的 圆周频率为ν，轨道半径为r，则磁矩为
e 2 0 e e 0 2 0 0 iSn e r n r n me rn L 2 r 2me 2me
S 是自旋角动量，应满足角动量算符的普遍对
易关系
ˆ ˆ ˆ S S iS
自旋角动量平方算符
ˆ S ˆ S ˆ S ˆ i S ˆ S x y y x z ˆ ˆ ˆ S ˆ i S ˆ S y S z S z y x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S S S i S x y y z x