x
y O
y
x
xy

x y 2
n
x y 2 2
2
2 xy
2
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆， 由德国工程师：Otto Mohr引入）

y

y x n D( , C O 2 O
x 1 tg 0 xy
x 95MPa
0 30
例6 如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），某截面上M、
FS>0，试确定此截面上各点主应力大小及主平面位置。 F1 F2 q
解：由梁弯曲应力公式：
1 2 3 4 5
My x Iz
xy
FS S z b Iz
yx
C Me C
解：确定危险点并画单元体
xy
x y 0
xy
T WP
xy
求主应力及最大切应力
yx
y O
x y 2 i x y 2 （ ） xy 2 2 j
x

2 xy
1 ; 2 0; 3
25 3
2
45 B
150°
95
A
0
25 3
1
0 30
(MPa)
B A 20MPa
3
20
C
O 2
1
(MPa)

解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
25 3
y
45
150°
95
60°
x y 2 2 i x y （ ） xy 2 2 j
n
二、应力圆的画法 建立应力坐标系，如下图所示，

x
（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x，xy)和 B(y，yx) AB与 轴的交点C便是圆心。
xy
x
A(x ,xy)
以C为圆心，以AC为半径画 圆——应力圆；

B(y ,yx)
y

y x n D( , C O 2 O
O

y x
y
考虑切应力互等和三角变换，得：
xy
x
图1
x y x y cos2 xy sin 2 2 2
同理： F 0
O

x
y
y
x
xy
图2

x y sin 2 xy cos2 2
n
O

二、极值应力 2 xy d 令: x y sin2 0 2 xy cos2 0 0 tg2 0 d x y 0
40 44.14 arctg 22.5o 10 1 3 max 22.07MPa 2
1
22.5o
2 )2 xy
10MPa
x 40 MPa xy 10 MPa
y 20 MPa
i, j
x y
2
2 44.14MPa 30 10 2 15.86MPa
离。
y
y
证明 : 单元体平衡
M
z
0
z
z
xy
x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体：
例1 F y B F x Me 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 A F
x
A
x
z
C
FP
S平面
x
zx
yx
B
xz
x
C
xy
l/2
铸 铁 扭 转
F
铸
铁 压 缩
y'
yx
x'
xy xy
x'y'
yx
x'
切中有拉
重要结论
不仅横截面上存在应力，斜截 面上也存在应力；不仅要研究横 截面上的应力，而且也要研究斜 截面上的应力。
FS
Mz
横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力 各不相同，此即 应力的点的概念 。
1 x x 2 2 （ ） xy 2 3 2
2 0
yx
xy
x
1

3 3
D1 A2 C A1 D2 O

D1
A2
D1 D1
20 C O

A1
D2
1
3
0 3
–45°


20= –90°
C O D2

A2 O
D2 20 C
1
3 0
l/2
六、主单元体、主平面、主应力：
y
y x
主单元体(Principal bidy)： 各侧面上切应力均为零的单元体。 主平面(Principal Plane)： x
z
z
切应力为零的截面。
主应力(Principal Stress ）：
2 1
主平面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
max 1 3
2
主 单元体
x 1 tg 0 1 0 45 xy
3 xy
0
x y tg21 0 10 2 xy
破坏分析
yx 1
低碳钢 : s 240 MPa; s 200 MPa
灰口铸铁 : tb 98 ~ 280 MPa
cos2 xy sin2

x y
2 21.65MPa
si n2 xy cos2
例4 用解析法确定图示应力状态的主应力大小、主平面方位、最大切应力。
解：
20MPa
1 44.14MPa 2 15.86MPa 3 0 1 1 arctg x xy 40MPa
(
x y
x
2
§7–3
平面应力状态分析——图解法
一、应力圆（ Stress Circle）
y x
y O x
xy

x y x y cos2 xy sin2 2 2 x y sin2 cos2 xy 2 对上述方程消去参数（2），得：
D2 A2 C O
D1 A1

1
5
1
A1 D1
x A(x ,xy)
i OC R j
x y
2
（
x y
2
2 2 ） xy
3 2
1

min
max 1 3 R 2 min
例5 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa) 解：主应力坐标系如图 在坐标系内画出点
y
y
yx
xy
x
x
单元体的性质 a、任意面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
z
z
四、切应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分
量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相
由此得两个驻点：
0、（ 0 ）和两个极值：
2
i j
0

y x

x y
2
±（
x y
2
2 ） xy 2
y O x
xy
0
极值正应力就是主应力 ！
三、主应力大小及方向
(1) i j 0 (2) 0 i j (3) i 0; j 0
y x
y
一、任意斜截面上的应力 规定： 截面外法线同向为正；
xy
x
图1
绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
O

x
y
y
x
xy
图2

F 0
n
n
S x S cos2 xy S cos sin
y Ssin 2 yx Ssin cos 0
' i j max ' 2 min 空间应力状态： max 1 3 2 min
y O x
xy 1
max
1 3
2
0 1

4
0 , 即 极 值 剪 应 力 面 与 主面 平 成45
例2 分析受扭构件的破坏规律。
一个主应力不为零的应力状态。
z
z
zy yz
zx
x
x
xz
x
y
xy yx
y
zx
B
xz
x
x
A
x
§7–2 平面应力状态分析——解析法 y
y
等价
y x
y x O x
xy
z
x
xy
应力状态分析的任务： 1.任意斜截面上的应力。 2.主应力的大小及主平面的方位。 3.最大切应力。
n
三、单元体与应力圆的对应关系 面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， )

x
xy
面的法线
两面夹角 且转向一致。
应力圆的半径
两半径夹角2 ；
x
A(x ,xy)

B(y ,yx)
四、在应力圆上标出极值应力

max
21 O C B(y ,yx) 2 0
3
1 2 3