第三学期《数学分析》期末试题一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 2、=∂∂),(00|),(y x xy x f （ ）Ax y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 ； B xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 000； Cx y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 ； D xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000。

3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ；B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ；D 以上全不对。

4、22222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ）A 、0，0，0；B 、不存在，0，0，；C 、0，不存在，0；D 、0，0，不存在。

5、设yx ez =，则=∂∂+∂∂yz y x z x （A ）A 、0；B 、1；C 、-1；D 、2。

二、计算题（50分，每小题10分）1、 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微；2、 设⎰⎰'=-x xtx f x f dt d ex f 0)(),(,)(2求ττ；3、 设有隐函数,0x y F z z ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中F 的偏导数连续,求z x ∂∂、z y ∂∂；4、 计算(cos sin )x Ce ydx ydy -⎰，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点的光滑曲线；5、 计算zdS ∑⎰⎰，其中∑为22z x y =+在14z ≤的部分；三、验证或解答（满分24分，每小题8分）1、验证曲线积分⎰+++++Ldzy x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数；2、说明对任意),0(sin ,00)(2+∞∈>⎰+∞+-t tdx e x 关于αα均一致收敛；3、验证函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x yx xyy x f 在原点（0，0）分别对每个自变数y x 或(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.四、（11分）求由方程组⎩⎨⎧=-+=++10333z y x z y x 确定的隐函数)2,1,1()(),(-==P x z z x y y 在点处的一阶导数。

部分题目参考答案： 二、1、证明：||||022xy yx xy ≤+≤（4分）22)0,0(),(limy x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点连续，（3分）又00lim 0=∆→∆x x ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，（4分）但22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）二、2、解由于2222'000)()(,)()(xxx x xtx x xtxe dt e dt d e x f dt d e x f ----==-+=='=⎰⎰⎰⎰⎰ττττ，所以212121)(21)(22222+-=-=--==----⎰⎰x xxt t xte e t d e dt te xf .二、3、 [解法 1] 由隐函数、复合函数求导法''11''''1212221F zF zzx y xxF yF F F z z ⋅∂=-=∂+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''22''''1212221F zF z zx y yxF yF F F z z ⋅∂=-=∂+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[解法 2] 利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得 ''120x y F d F d z z ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，''12220zdx xdz zdy ydz F F z z --⋅+⋅= ''12''12zF dx zF dy dz xF yF +=+，故 ''12''''1212zF zF zzx xF yF y xF yF ∂∂==∂+∂+.由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.二、4、 解 令X=cos xey ，Y =sin xey -，则xY ∂∂=yX ∂∂=sin xey -,故被积表达式(cos sin )x e ydx xdy -一定有原函数，注意到(cos )x d e y =(cos sin )x e ydx xdy -,知(,)u x y =cos xey 是(cos sin )xeydx xdy -的一个原函数，故由定理21.13，有(cos sin )x C e ydx ydy -⎰= (,)(0,0)cos |x a b e y =cos 1a e b -.二、5、解 曲面∑在0x y平面上的投影区域2221(,)2xy D x y x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，而2,2z zx y x y∂∂==∂∂，于是曲面的面积微元()()221x y dS z z d σ''=++=22144x y d σ++ 所以2222()144xyD zdS x y x y d σ∑=+++=⎰⎰⎰⎰1222014d r x rdr πθ+⎰⎰（在极坐标系下计算）14012142t t π=+⎰2()r t =242112)8u u du π+=-=(14)u t =+.三、1、解 由于,1,,,=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂+=+=+=zPx R y R z Q x Q y P y x R x z Q z y P 所以曲线积分与路线无关. 现在求⎰⎰+++++=MM dz y x dy x z dx z y z y x u 0.)()()(),,( 取MM 0为沿平行于x 轴的直线到),,(001z y x M ，再沿平行于y 轴的直线到),,(02z y x M ，最后沿平行于z 轴的直线到),,(z y x M .于是cxz yz xy z y x z y x y x z y x z x z y x z y dry x dt x z ds z y z y x u xx yy zz +++=+-+++-+++-+=+++++=⎰⎰⎰000000000000)()()()()()()()()(),,(0其中000000z y z x y x c ---=是一个常数，若取0M 为原点，则得.),,(yz xz xy z y x u ++=三、2、解 当dx x x eeeet e，x xx x x ⎰+∞--+-+-≤=≤≥122)()(1,11sin 1222又时ααα收敛，所以⎰+∞+-1)(sin 2tdt ex α关于),0(+∞∈t 一致收敛.而积分tdt ex sin 1)(2⎰+-α是定积分，所以),0(sin 0)(2+∞∈⎰+∞+-t tdx e x 关于α一致收敛. 三、3、证明),0(02lim),(lim ,,2200y f y x xyy x f R x R y x x ==+=∈∀∈∀→→分别有，与)0,(02lim),(lim 2200x f y x xyy x f y y ==+=→→，即),(y x f 在原点（0，0）分别对y x 或都连续当y x =时，却有)0,0(0122lim 2lim ),(lim 22022000f x x y x xy y x f x y x y x =≠==+=→→→→→，即),(y x f 在原点（0，0）不连续（其实),(y x f 在原点（0，0）并不存在极限，当然不连续）.四、解 方程两边对x 求导有⎩⎨⎧='-'+='+'+)2(0)(3)(33)1(0)()(1222 x z z x y y x x z x y 22222)(:)2(3)1(y z x z x y z ++-='+⨯有，代入（1）有：2222)(y z y x x z +-='，所以1)1(-='y ，0)1(='z .。