经典例题透析类型一：求函数的平均变化率例1、求221y x =+在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，并求01x =，12x ∆=时平均变化率的值. 思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆进行操作. 解析：当变量从0x 变到0x x +∆时，函数的平均变化率为220000()()[2()1][21]f x x f x x x x x x+∆-+∆+-+=∆∆042x x =+∆ 当01x =，12x ∆=时，平均变化率的值为：141252⨯+⨯=. 总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式1】求函数y=5x 2+6在区间[2，2+x ∆]内的平均变化率。

【答案】2225(2)6(526)205y x x x ∆=+∆+-⨯+=∆+∆， 所以平均变化率为205yx x∆=+∆∆。

【变式2】已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]. 【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001. 【变式3】自由落体运动的运动方程为212s gt =，计算t 从3s 到3.1s ，3.01s ，3.001s 各段内的平均速度（位移s 的单位为m ）。

【答案】要求平均速度，就是求st∆∆的值，为此需求出s ∆、t ∆。

设在[3，3.1]内的平均速度为v 1，则1 3.130.1(s)t ∆=-=，22111(3.1)(3) 3.130.305(m)22s s s g g g ∆=-=⨯-⨯=。

所以1110.305 3.05(m / s)0.1s gv g t ∆===∆。

同理2220.03005 3.005(m / s)0.01s gv g t ∆===∆。

3330.0030005 3.0005(m / s)0.001s gv g t ∆===∆。

【变式4】过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.【答案】3.31 当0.1x ∆=时33(1)1(1)(1)(1)1 1.11 3.31(1)10.1PQy y f x f x k x x x x +∆-∆+∆-+∆--======+∆-∆∆∆ 类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数()y f x ==x=1处的导数。

解析：∵(1)(1)1y f x f ∆=+∆-====∴y x ∆=∆ ∴01'(1)lim2x y f x ∆→∆==-∆。

总结升华：利用导数的定义求导数的步骤： 第一步求函数的增量y ∆；第二步求平均变化率yx∆∆；第三步取极限得导数。

举一反三：【变式1】已知函数1y x=（1）求函数在x=4处的导数. （2）求曲线1y x =7(4,)4P -处的切线方程。

【答案】（1）0011(2)(4)(4)44'(4)lim lim x x f x f x f x x∆→∆→-+∆-+∆==∆∆0112)44lim x x x ∆→⎛⎫-- ⎪+∆⎝⎭=∆0lim x ∆→=15lim 4(4)16x x ∆→⎛-==- +∆⎝， （2）由导数的几何意义知，曲线在点7(4,)4P -处的切线斜率为'(4)f ，∴所求切线的斜率为516-。

∴所求切线方程为75(4)416y x +=--，整理得5x+16y+8=0。

【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数： （1）()f x c =； （2）()f x x =； （3）2()f x x =； （4）1()f x x=。

【答案】（1）()()0y f x x f x c c ∆=+∆-=-=，∴()()0y f x x f x x x∆+∆-==∆∆， ∴00'lim lim 00x x yy x ∆→∆→∆===∆。

（2）()()y f x x f x x x x x ∆=+∆-=+∆-=∆，∴1y x x x∆∆==∆∆， ∴00'lim lim11x x yy x ∆→∆→∆===∆。

（3）222()()()2()y f x x f x x x x x x x ∆=+∆-=+∆-=⋅∆+∆，∴22()2y x x x x x x x∆⋅∆+∆==+∆∆∆， ∴00'limlim(2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆==+∆=∆。

（4）11()()y f x x f x x x x ∆=+∆-=-+∆()()x x xx x x x x x x--∆-∆==+∆⋅+∆⋅，∴1()y x x x x∆=-∆+∆⋅， ∴20011'limlim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆-===-∆+∆⋅。

例3、求曲线y=x 3+2x 在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x 3+2x 在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设3()2f x x x =+.0(1)(1)'(1)limx f x f f x ∆→+∆-=∆330(1)2(1)(121)lim x x x x ∆→+∆++∆-+⨯=∆ 20[()35]lim x x x x x∆→∆∆+∆+=∆20lim[()35]x x x ∆→=∆+∆+5= 由f(1)=3，故切点为（1，3），切线方程为y ―3=5(x ―1)，即y=5x ―2.总结升华: 求函数()y f x =图像上点P 00(,)x y 处的切线方程的求解步骤：① 求出导函数在0x x =处的导数0'()f x （即过点P 的切线的斜率）， ② 用点斜式写出切线方程，再化简整理。

举一反三：【变式】在曲线y=x 2上过哪一点的切线： （1）平行于直线y=4x ―5； （2）垂直于直线2x ―6y+5=0； （3）与x 轴成135°的倾斜角。

【答案】2200()()()'()limlim 2x x f x x f x x x x f x x x x∆→∆→+∆-+∆-===∆∆， 设所求切点坐标为P （x 0，y 0），则切线斜率为k=2x 0（1）因为切线与直线y=4x ―5平行，所以2x 0=4，x 0=2，y 0=4， 即P （2，4）。

（2）因为切线与直线2x ―6y+5=0垂直，所以01213x ⨯=-，得032x =-，094y =， 即39(,)24P -。

（3）因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。

即2x 0=―1，得012x =-，014y =， 即11(,)24P -。

例4．已知函数()f x 可导，若(1)3f =，'(1)3f =，求21()3lim 1x f x x →--解析：22211()3()3limlim[(1)]11x x f x f x x x x →→--=⋅+-- （(1)3f =） 221()(1)lim[(1)]1x f x f x x →-=⋅+- 2211()(1)lim lim(1)1x x f x f x x →→-=⋅+- （令t=x 2，x →1，t →1） 1()(1)2lim1t f t f t →-=-2'(1)236f ==⨯= 举一反三：【变式】已知函数()f x 可导，若(3)2f =，'(3)2f =，求323()lim 3x x f x x →--【答案】3323()(26)63()limlim33x x x f x x f x x x →→--+-=-- 33[2()]lim{2}3x f x x →-=+-3(3)()23lim 3x f f x x →-=+-3()(3)23lim 3x f x f x →-=--23'(3)23(2)8f =-=-⨯-=类型三：利用公式及运算法则求导数例5．求下列函数的导数：（1）41y x=； （2）y （3）222log log y x x =-； （4）y=2x 3―3x 2+5x ＋4解析： （1）44154514'()'()'44y x x x x x----===-=-=-.（2）332155533'()'55y x x x --=====（3）∵2222log log log y x x x =-=，∴21'(log )'ln 2y x x ==⋅. （4）322'2()'3()'5()'(4)'665y x x x x x =-++=-+总结升华：①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导； ②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）y = （2）22sin(12cos )24x x y =-- （3）y=6x 3―4x 2+9x ―6【答案】（1）331223'(()'2y x x -====（2）22sin(12cos )24x x y =--22sin (2cos 1)24x x =-2sin cos sin 22x xx == ∴'cos y x =.（3）322'6()'4()'9()'(6)'1889y x x x x x =-+-=-+ 例6．求下列各函数的导函数（1）2()(1)(23)f x x x =+-；（2）y=x 2sinx;（３）y=1e 1e -+x x ； （４）y=x x xx sin cos ++解析：（1）法一：去掉括号后求导.32()2323f x x x x =-+- 2'()662f x x x =-+法二：利用两个函数乘积的求导法则22'()(1)'(23)(1)(23)'f x x x x x =+-++⋅-=2x(2x －3)+(x 2+1)×2=6x 2－6x+2 （2）y ′=（x 2）′sinx ＋x 2（sinx ）′=2xsinx ＋x 2cosx（３）2(e 1)(e 1)(e 1)(e 1)'(e 1)x x x x x y ''+--+-=-2e 2-x x（4）2(cos )(sin )(cos )(sin )'(sin )x x x x x x x x y x x ''++-++=+=2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+- =2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x +--+--举一反三：【变式1】函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D法一： 22'[(1)]'(1)(1)(1)'y x x x x =+-++- 222(1)(1)(1)321x x x x x =+⋅-++=+-∴1'|4x y ==.法二：∵22(1)(1)(1)(1)y x x x x =+-=-+321x x x =+--∴322'()'()''1'321y x x x x x =+--=+- ∴1'|4x y ==.【变式2】下列函数的导数（1）2(1)(231)y x x x =++-； （2）y =【答案】（1）法一：13232223-++-+=x x x x x y 125223-++=x x x∴26102y x x '=++法二：)132)(1()132()1(22'-+++-+'+='x x x x x x y =1322-+x x +)1(+x )34(+x 26102x x =++ （2）231212332----+-=x x xx y∴252232123233---+-+='x x x x y【变式3】求下列函数的导数.（1）2311()y x x x x =++； （2）1)y =-；（3）52sin x x y x =. 【答案】 （1）321y x x-=++，∴23'32y x x -=-.（2）1122y x x -===-，∴312211'22y x x --=--.（3）∵3322sin y x xx x --=++，∴522223'3()'sin (sin )'2y x x x x x x ---=-++52322332sin cos 2x x x x x x ---=--+.类型四：复合函数的求导 例7．求下列函数导数. （1）41(13)y x =-； （2）ln(2)y x =+；（3）21e x y +=； （4）cos(21)y x =+.思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导. 解析：（1）4y u -=，13u x =-.4'''()'(13)'x u x y y u u x -=⋅=⋅-5554(3)1212(13)u u x --=-⋅-==-. （2）ln y u =，2u x =+∴'''(ln )'(2)'x u x y y u u x =⋅=⋅+ 1112u x =⋅=+ （3）e uy =，21u x =+.∴'''(e )'(21)'ux u x y y u x =⋅=⋅+212e 2eu x +==（4）cos y u =，21u x =+，∴'''(cos )'(21)'x u x y y u u x =⋅=⋅+ 2sin 2sin(21)u x =-=-+.总结升华：①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。