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【答案】
题型1
题型2
题型3
题型2 四边形中最值问题 典例2 (2016· 江苏常州)如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正 △APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是 .
题型1
题型2
题型3
【解析】本题考查等边三角形的性质、不等式、平行四边形的判定与性质、三角形全等 的判定与性质等知识,根据题意建立不等式、转化不等式是解答此题的关键.△APB中,因 为AB=2,∠APB=90°,所以AP2+PB2=AB2=4,因为(AP-PB)2≥0,所以AP2+PB2≥2AP· PB,所 以2AP· PB≤4,AP· PB≤2,因为△ABD,△APE和△BPC都是等边三角形,所以 AP=PE=AE,PB=PC=BC,AB=AD=BD,所以PE· PC≤2, 又∠EAP=∠DAB=60°,所以∠EAD=∠PAB,又AP=AE,AD=AB, 所以△EAD≌△PAB,所以ED=PB,又PB=PC,所以ED=PC, 同理EP=DC,所以四边形PCDE是平行四边形,所以EP∥DC,因为 ∠EPA=∠CPB=60°,∠APB=90°,所以∠EPC= 360°-∠EPA-∠CPB-∠APB=150°,因为EP∥DC,∠DCP+∠EPC=180°, 所以∠DCP=180°-∠EPC=30°,过点P作PQ⊥DC于点Q,因为∠PQC=90°,所以PQ= =1,所以四边形PCDE面积的最大值是1.
题型1
题型2
题型3
题型1 三角形中最值问题 典例1 (2016· 江苏淮安)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且 CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的 最小值是 .
题型1
题型2
题型3
【解析】本题考查与三角形有关的折叠的计算.由于FP的长度是不变的,于是P点在以点F 为圆心,以2为半径的圆上运动,由此可确定点P在什么位置时到边AB的距离最小.如图,当 点E在BC上运动时,PF的长固定不变,即PF=CF=2.∴点P在以点F为圆心,以2为半径的圆 上运动.过点F作FH⊥AB交☉F于P,垂足为H,此时PH最短,此时△AFH∽△ABC,∴
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1.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC 上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为 ( C )
A.2
B.3
C.4
D.4
【解析】设BE与AC交于点P',连接BD,P'D.∵点B与D关于AC对 称,∴P'D=P'B,∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE,当点P位于点P'处时,PD+PE最小.∵正方形ABCD 的面积为16,∴AB=4,又∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=4,∴PD+PE的最小值为4.
【答案】 1
题型1
题型2
题型3
【方法归纳】本题借助不等式“a2+b2≥2ab”通过代换转化来求平行四边形面积的最值,体 现了转化思想和整体思想的运用.
题型1
题型2
题型3
题型3 圆中最值问题 典例3 在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ. (1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度; (2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
题型1
题型2
题型3
【归纳总结】此题综合性强,解题方法很多,考查范围较广,与初中数学很多内容有关,如勾 股定理、圆周角定理及推论、垂径定理、相似、三角函数、二次函数、垂线段的性质、 二次根式的计算与化简等.考查了多种数学思想,如建模思想、化归思想等.此题难度中等, 有一定的灵活性,考生不易拿满分.
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2.如图,直线l与半径为4的☉O相切于点A,P是☉O上的一个动点(不与点A重合),过点P作 PB⊥l ,垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y,则(x-y)的最大值是 2 .
【解析】如图,作直径AC,连接CP,则∠CPA=90°,∵AB是切 线,∴CA⊥AB,∵PB⊥l,∴AC∥PB,∴∠CAP=∠APB,∴△APC∽△PBA,
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2Leabharlann 3456
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3.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动,过点A作AC⊥x轴于点C,以AC 为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为 1 .
【解析】本题考查抛物线性质和矩形性质.由抛物线y=x2-2x+2=(x-1)2+1得抛物线的顶点 坐标为(1,1),∵四边形ABCD是矩形,∴BD=AC,∴当BD最小时AC最小.∵点A在抛物线y=x22x+2上,∴当点A是抛物线的最低点,即点A的坐标为(1,1)时,AC最小为1,∴BD的最小值为1.
【解析】本题考查解直角三角形与勾股定理等知识.(1)连接OQ,在Rt△OPB中求出OP的 长,在Rt△OPQ中求出PQ的长即可;(2)由勾股定理可知PQ2=OQ2-OP2,OQ的长为定值,则 OP最小时,PQ最大,此时OP⊥BC,即可求解.
题型1
题型2
题型3
【答案】 (1)连接 OQ,∵PQ∥AB,OP⊥ PQ ,∴OP⊥AB, tan 30°= 在 Rt△BOP 中 ,OP=OB· 在 Rt△OPQ 中 , PQ= . ,
几何最值问题解题策略
1.在求几何图形中的周长或线段长度最值时,解决此类问题的方法一般是先将要求线段 (要求的量)用未知数x表示出来,建立函数模型(一般所表示的式子为一次函数解析式或二 次函数解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式,再用函数的增减性或最值来 求解即可. 2.利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题,解决此类问题的方法为:如图,要求直线l 上一动点P到点A,B距离之和的最小值,先作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直 线l的交点即为P点,根据对称性可知此时A'B的长即为PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.
题型1
题型2
题型3
(2)解法 1:过点 O 作 OG⊥BC 于点 G ,则 OG= , 设 PG=x,则 OP2=x 2+ ,连接 OQ , 则 PQ 2=OQ 2-OP2=32当 x=0 时,PQ 最大= 解法 2:连接 OQ,设 OP=x,则 PQ 2=OQ2-OP2= 32-x 2=9-x2 当 x= . , . -x2,