x 140 A( x) 190 140
也可用Zadeh表示法： 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
还可用向量表示法： A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).
另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等 个子”、“年轻人”、“中年人”等模糊子集. 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方 法是在客观的基础上，特别强调主观的方法.

模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造 模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确 定其分类关系
模糊层次分析法—两两比较指标的确定 模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素 制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品 质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应 性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多 方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性， 采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽 量客观从而取得更好的实际效果

一 二 三
模糊数学基本理论 模糊模式识别 模糊聚类
四
模糊综合评价
第一部分: 模糊数学基本理论
普通集合
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 u A 或者u A ，用函数表示为： 其中
A : U {0,1} u A ( u),
1, u A A ( u) 0, u A
（5）有界和、乘积算子 ( ,)
a b 1 (a b), a b ab
（6）Einstain算子 ( , )

ab ab a b ,a b 1 ab 1 (1 a )(1 b)

模糊集合隶属函数的确定
1、模糊统计法 模糊统计试验的四个要素： （1）论域U； （2）U中的一个固定元素 u0 ;
~
模糊子集 A 由隶属函数 A 唯一确定，故认为二者
A 。 是等同的。为简单见，通常用A来表示 A 和 ~
~
~
~
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有： （1）Zadeh表示法
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn A( xi ) 这里 表示 xi 对模糊集A的隶属度是 A( xi ) 。 xi
选500人，每人测试20次，即每两种颜色比较2次
红 红 橙 黄 绿 蓝 670 742 348 458 橙 330 562 237 149 黄 258 438 135 250 绿 652 763 865 321 蓝.99 11.78 顺序 3 2 1 4 5
18～25 15～30 18～30 18～25 15～28 16～35 15～28 16～25 16～30 18～28 15～30 18～28 15～25 17～30 18～35 18～30 18～25 16～30 15～25 18～30 18～28 18～35 18～30 15～35 18～35 18～35 17～28 17～35 15～25 16～28 19～28 15～25 15～25 16～28 17～25 18～25 15～30 16～30 15～30 18～25 18～25 18～30 18～30 15～30 18～28 15～25 18～30 15～30 16～35 20～30 15～30 15～25 16～35 18～25 15～28 16～30 15～26 16～30 18～30 18～35 18～25 17～29 20～30 18～35 15～30 14～25 18～35 16～28 16～28 17～25 15～28 16～24 18～30 17～30 18～25 16～25 18～35 18～30 18～30 20～30 18～30 18～35 15～36 18～35 15～25 18～30 14～25 17～30 17～30 18～30 17～25 18～35 18～30 18～30 18～35 18～30 18～30 16～32 17～30 18～26 16～28 15～30 17～30 18～29 18～35 16～30 16～30 17～27 17～30 17～28 15～27 18～30 18～29 18～30 18～30 16～35 18～28 16～25 20～35 18～35 16～28 18～35 18～35 18～35 18～35 18～35 16～28 16～30 17～30
如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
1 0.8 0.2 0 A 1 2 3 4
可省略
（2）序偶表示法
A {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),, ( xn , A( xn ))} （3）向量表示法 A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
* （3）U中的一个随机运动集合 A ;
（4）U中的一个以 A* 作为弹性边界的模糊子集A，
A 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 制约着 A 的运动。 u0 , 致使 u0对A的隶属关系是不确定的。
* *
u0 是固定的，而 A* 在随机变动。 特点：在各次试验中，
模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
2、模糊集的运算 定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义
相等： A B A( x ) B( x ), x U
包含： A B A( x ) B( x ), x U
并： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U 交： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U 余： Ac ( x ) 1 A( x ), x U
模糊数学建模方法
参考书目
1. 模糊数学及其应用，梁保松，曹殿立，科学出版 社 2. 模糊数学基础，张文修，西交大出版社 3. 模糊理论及其应用，刘普寅等，国防科大出版社
引言
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：
1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画;
27岁对“青年人”的隶属度
2 直观加推理法
确定隶属函数的方法实际上是先确定隶属函数类型，再
根据具 体问题确定特殊点隶属函数值，最后确定整个隶属
函数。这种方法称为直观加推理方法。
例 设全体三角形构成的论域为 X ( A, B, C ) | A B C 180 , A B C 0 确定等腰三角形 I 和直角三角形 R 的隶属函数。
1, x a b x 偏小型： A( x ) ,a x b ba 0, x b
分布
1, x a 偏小型： A( x ) k ( xa ) , x a( k 0) e e k ( x a ) , x a 中间型： A( x ) 1, a x b( k 0) k ( x a ) ,xb e 0, x a 偏大型：A( x ) k ( x a ) , x a( k 0) 1 e
常用的隶属函数 常用的隶属函数有Z函数（偏小型）、∏函数（中 间型）、S函数（偏大型）.

偏小型一般适合于描述像“小，少，浅，淡，青 年”等偏小程度的模糊现象。

偏大型一般适合于描述像“大，多，深，浓，老 年”等偏大程度的模糊现象。 中间型一般适合于描述像“中，适中，不太多， 不太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现 象。
按百分比排序确定各种颜色乒乓球受欢迎的次序是：橙色、黄色、
绿色、红色和蓝色。表中百分比可以理解为隶属函数值，即
(0.1782, 0.2722, 0.2919, 0.1399, 0.1178)
4 专家打分
5 模糊分布
这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种 方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模 糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。
（2）取大、乘积算子 ( ,)
a b max{ a , b}, a b ab
ˆ ,) （3）环和、乘积算子 (
ˆ b a b ab, a b ab a
（4）有界和、取小算子 ( , )
a b 1 (a b), a b min{ a , b}
R( A, B, C ) 1
1 A 90 90
1 I ( A, B, C ) 1 min A B, B C 60
3
二元对比排序法
设论域为 X x1, x2 , x3 , x4 , x5
x1 , x2 , x3 , x4 , x5
分别表示红色、橙色、黄色、绿色和蓝色乒球， 试确定用什么颜色乒乓球最好？

常用的隶属函数有偏小型、中间型、偏大型. 梯形分布：
0, x a xa ,a x b ba A( x ) 1, b x c 中间型： d x 0, x a ,c c d xa d c 偏大型： A( x ) ,a x b 0, x d ba 1, x b
u0 A*的次数 u0对A的隶属频率 n
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
u0 对A的隶属度：
u0 A*的次数 A( u0 ) lim n n
例 利用模糊统计确定”年轻人”的隶属函数
以人的年龄作为论域U=[0,100]。随机抽取129个大学 生，在独立认真考虑“青年”的含义之后，给出各自的 答案，形成129个“青年”的年龄段.
表示取大； 表示取小。
有两根绳子，它们属于“不易断的绳子”的程度
分别为a,b. 把这两根绳子合起来构成一根新绳子， 那么这条新绳子属于“不易断绳子”的程度应为
多少
两根绳子的连接方式
几个常用的算子：