第四讲 模糊数学模型（Fuzzy ）过份的精确反而模糊；适当的模糊反而精确。

起源：1965年 L.A.Zadeh 在杂志“ Information and Control ”上发表著名论文，首先提出模糊集合的概念，标志着模糊理论的产生。

一、模糊综合评判法 （一）模糊集合：1、X 上的模糊集合A ，由()A U x 表示的隶属函数的集合。

()A U x 表示X 隶属集合A 的程度，()A U x 越接近1 ，表示X 属于A 的程度越大。

当()A U x =1时，X 肯定属于A ； 当()A U x =0时，X 肯定不属于A ；2、若X 为离散空间，则X 可以表示为：{}12,,,n X x x x =,则模糊集合A 可以表示为：{}1122(,()),(,()),,(,())A A n A n A x U x x U x x U x =。

{}:1,2,,9Eg X =,A=“大体上与5接近的数”，模糊集合A 可以表示为A ={（1，0），（2，0），（3，0.4），（4，0.8）,(5,1),(6,0.8),(7,0.4),(8,0),(9,0)}。

3、若X 为连续空间，则X 可以表示为：{},,X x x R R =∈为某连续区域，模糊集合{}(,()),A A x U x x R =∈。

Eg:若建立年轻人的隶属函数，可以根据统计资料，作出年轻人的隶属函数的大致曲线，发现与柯西分布接近。

21 ()()11()11(30)0.3 13.51(3025)10A A x aU x P x x a x a U βαβα≤⎧⎪==⎨>⎪+-⎩===+-1取a=25,=2,＝10不合理11()0.8125100A U x αα==⇒=+进行反推，A 2U )1 x 251 x>25()()25110A x U x P x x ≤⎧⎪⎪==⎨-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩从而得到（ 例：为解决某一地区的交通运输问题，有两个方案可供选择：评价准则有如下四个： ①费用效益②对区域发展的贡献 ③对社会安全的贡献， ④对环境保护的贡献，评价的结果为： 满意，较满意，不太满意，不满意因素集合（准则）U ={ 费用效益， 区域发展， 社会安全， 环境保护 } 评语集（结论集）V ={ 满意， 较满意， 不太满意， 不满意 }AHP 法。

借用矩阵乘法的运算法则，进行指标权重与模糊判断矩阵R 的乘法。

模糊矩阵的乘法运算法则：“两两相乘取小者，两两相加取大者。

()0.70.20.100.20.70.100.40.30.20.100.20.70.10.10.20.50.10.40.70.30.20.200.10.10.40.20.30.70.20.20.10.3 0.40.10.30.10.20.70.10.50.400.300.20.10.10.1A R ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⨯+⨯+⨯+⨯⎛ ⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⎝T⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎭10.40.200.10.40.20.30.20.10.3 0.10.10.20.10.2000.10.10.1T TT V +++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭0.10.30.50.10.20.70.10(0.4,0.3,0.2,0.1)0.20.70.1000.20.70.10.40.10.30.20.20.20.100.40.30.30.70.20.70.10.2 0.40.50.30.10.20.10.10.70.40.10.300.200.10A R ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯212.10.10.20.200.20.30.30.20.10.3 0.40.10.10.10.40.1000.10.1TT TT T T V V V ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∴>∴选择方案I（二）常见的模糊分布（1）矩形分布型1 0≤x ≤aU （x ）=0 其他（2）Γ分布型()() () 1 ,0k x a k x b e x a U x a x b k e x b ---⎧<⎪=≤≤>⎨⎪>⎩（3）正态分布 中间型：2()x a b U x e-⎛⎫- ⎪⎝⎭=偏小型：21, () x a b x a U x ex a -⎛⎫- ⎪⎝⎭≤⎧⎪=⎨⎪>⎩偏大型2() 1x a b e x a U x x a -⎛⎫-⎪⎝⎭⎧⎪<=⎨⎪≥⎩20, ()1 x a b x a U x ex a -⎛⎫- ⎪⎝⎭≤⎧⎪=⎨⎪->⎩(4)k 次曲线分布型0 ()= 1 0 kk x a x a a x b b a U x b x cd x c x d d c x d ≤⎧⎪-⎛⎫⎪<< ⎪⎪-⎝⎭⎪≤<⎨⎪-⎛⎫⎪≤< ⎪⎪-⎝⎭⎪≥⎩(5)柯西分布型1() (0,0)1()U x x a βαβα=>>+-为正偶数i ） 戒上型：1 ()11()x a U x x a x a βα≤⎧⎪=⎨>⎪+-ii) 戒下型：1 1()() 1 x a x a U x x a βα⎧<⎪+-=⎨⎪≥⎩（6）梯形分布（k 次曲线分布型中k 等于1时）0 () 1 0 x a x a a x b b a U x b x cd x c x d d c x d<⎧⎪-⎪≤<-⎪⎪=≤<⎨⎪-⎪≤<-⎪⎪≥⎩(7)岭型分布型1121212233434430 11sin () 222 1 ()11sin () 2220 x a a a x a x a a a a x a U x a a x a x a a a ππ<++-<≤-<≤=+--<≤-4x a ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪>⎩二、（某品牌）衣服的评价因素集{}12345,,,,U f f f f f =f ：花色, 2f ：式样, 3f ：耐穿性, 4f ：价格, 5f ：舒适度② 评价集 {}1234,,,V C C C C = 1C ：很受欢迎，2C ：欢迎，3C ：不太受欢迎，4C ：不欢迎○3对U 中每一个元素进行评判，评判结果构成模糊矩阵：()()()0.20.50.300.10.30.50.100.40.50.100.10.60.30.50.30.200.10.10.30.150.350.30.30.10.100.200.20.50.300.10.30.50.10.10.10.30.150.3500.40.50.100.10.60.30.50.30.20R A A A R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭男女男()()()()()0.350.30.30.1510.350.30.30.151.10.320.270.270.140.20.50.300.10.30.50.10.30.30.10.10.200.40.50.100.10.60.30.50.30.20 0.20.30.30.1A R ⎪==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=女标准化处理：标准化()()10.20.30.30.10.90.220.330.330.12=处理：三、橡胶的种植由地区的气候条件作为原始资料，来综合评判橡胶在何地种植的适宜程度。

①因素集{}123,,U f f f =1f ：年平均气温≥23℃,2f ：年极端气温≥8℃, 气温在5℃以下，橡胶就会遭受冻害。

3f ：年平均风速＜1米/秒② 评价集 {}1234,,,V C C C C =1C ：很适宜， 2C ：较适宜，3C ：适宜， 4C ：不适宜根据选定的南方六个地区{ 南宁，万宁，景洪，广州，海口，龙州 }，通过1960-1978年的实践总结，选定类似戒下型柯西分布的隶属函数。

○a 用 T 表示平均气温，则：（戒下型）22310231(23)0.0625()T T T T CU T C T αα⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+-⎩=1 其中 多年经验、或回归所得 ○b 用m T 表示年极端最低气温（戒下型）28181(8)0.0833mm m T m m m T T C U C T C T αα⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+-⎩=1 -4 其中○c 用F 表示风速（戒上型） 21111(1)0.009756F FF F U F F αα≤≤⎧⎪=⎨>⎪+-⎩=1 0 其中③ 根据隶属度的大小规定 U ≥0.9 很适宜 0.8≤U<0.9 较适宜 0.7≤U<0.8 适宜 U<0.7 不适宜④从单因子评判入手，先考虑平均气温T ，以南宁为例，1960-1978年中，很适宜的年份是8年，较适宜的年份为10年，适宜年份为0年，不适宜年份为1年。

用19去除有：1(0.42,0.53,0,0.05)f R =再对年最低气温和年均风速计算，有：0.420.5300.05000.260.7400.110.260.63R ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭南宁考虑到最低气温极为重要，风速作用较小，权重分配如下： 取权数 ()0.190.80.01uA =对南宁的综合评价结果为：()()0.420.5300.050.190.80.01000.260.7400.110.260.630.190.190.260.74u B A R ⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭=南宁 标准化处理：()()10.190.190.260.741.380.140.140.190.53B == ⑤同理得：()()()()()0.800.050.1500.320.370.260.050.150.090.170.610.140.140.120.600.630.210.160.01B B B B B =====万宁景洪龙州广州海口∴最适宜种植橡胶的区域是万宁（85%），其次是海口（84%），景洪（69%）,其他三个地区不适宜种植橡胶。

四、二级评判例：某化工厂在使用某种剧毒液体氰化钠时，不慎将其流入河中，危害了下游人们的生命安全，由此受到了起诉。

法院受理了这一案件，并用模糊综合评判的方法研究其中的犯罪事实。

犯罪的因素集：F ={ 污染程度F 1， 污染范围F 2， 危害程度F 3 }，而其中每一个(1,2,3)i F i =又由基本的因素决定。

○1 {}111121314,,,F f f f f =11f :生物需氧量, 12f ：化学需氧量, 13f ：氨氮量, 14f ：溶解氧评价集 {}111121314C C C C C =评价集严重中等轻度清洁， 对F 1，经专家评判，得如下评判矩阵：10.810.19000.790.20.0100.880.090.03000.010.490.5R ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭各因素的权重分配 ()10.20.570.210.02A =()110.570.20.030.02A R =标准化得 ()10.70.240.040.02B =○2对2F ，因素集 {}221222324,,,F f f f f =21f : 分子量, 22f ：溶解度, 23f ：颗粒吸收性, 24f ：水流速度{}221222324,,,C C C C C =评价集很大大较大小，对F 2，经专家评判，得如下评判矩阵：20.10.70.200.20.60.10.100.20.20.600.40.50.1R ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭各因素的权重分配()20.60.10.10.2A =评判结果：()2220.10.60.20.1B A R ==○3 {}3313233,,F f f f =31f :人身危害, 32f ：社会经济损失, 33f ：厂家经济损失{}331323334,,,C C C C C =评价集很严重严重较重一般，对F 3，经专家评判，得如下评判矩阵：300.10.20.70.50.40.100.40.50.10R ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭各因素的权重分配 ()30.1,0.6,0.3A =评判结果 ()3330.50.40.10.1B A R ==标准化得()30.460.360.090.09B =由上述的第一级评判结果可得，第二级评判矩阵：1230.70.240.040.020.10.60.20.10.460.360.090.09B R B B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()123,,0.50.30.2C C C A =设各自的权重为()0.70.240.040.020.50.30.20.10.60.20.10.460.360.090.09B A R ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭()0.50.30.20.1=标准化得()0.460.270.180.09B '=由此可见，犯罪事实是确定的，这使初步审理此案有了依据。