一、指数的性质 （一）整数指数幂1．整数指数幂概念：an na a a a 个⋅⋅⋅= )(*∈N n ()010a a =≠ ()10,nn aa n N a-*=≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),mnm n a a am n Z +⋅=∈ （2）()(),nm mn a a m n Z =∈（3）()()nnnab a bn Z =⋅∈其中m n m nm na a a aa--÷=⋅=， ()1nn n n nn a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>Nn n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根，即： 若a xn=，则x 叫做a 的n 次方根， ()*∈>N n n ,1例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-，32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-．说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0<n a ；②若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±）③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④()*∈>=Nn n n,100 0=；⑤式子na 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

∴na =．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则a a n n =；若n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a nn．5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）()338- （2）()210- （3）()443π- （4）()()b a b a >-2解：略。

例2．已知,0<<b a *∈>N n n ,1， 化简：()()n nn n b a b a ++-．解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-=当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n nn nb a b a ++-22a n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数．例3．计算：407407-++解：407407-++52)25()25(22=-++=例4．求值：54925-+． 解：54925-+425254549252）（-+=-+=452622525+=-+=2154152+=+=）（ （二）分数指数幂1．分数指数幂：()10250a aa ==>()12430a aa ==>即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）()nk kn aa =对分数指数幂也适用，例如：若0a >，则3223233a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，4554544a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭， 23a =45a =．即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m na a m n N n *=>∈>；（2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1mnm naa m n N n a-*==>∈>．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即()()10,,r sr sa a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs aa a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例题分析：例1． 用分数指数幂的形式表示下列各式()a o >：2a3a.解：2a 11522222a a aa +⋅==；3a 211333a a a ⋅=；=1113322224a a a a ⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭；解（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()()211115326236263a b+-+-⨯-÷-⎡⎤⎣⎦=044ab a =；（2） 83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=883184m n -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2233m m n n -=．例3．计算下列各式：（1）（2)20a >．解：（1）231324555⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭=213134245555÷-÷=5512455-= （22=5262132a a a a==（三）综合应用例1．化简：11555x x x -+++.解：11555x x x -+++=15(1525)x -++=1315x -⨯=3155x⨯. 例2．化简：)()(41412121y x y x -÷-.解：11112244()()x y x y -÷-111111444444()()()x y x y x y =+-÷- 1144x y =+．评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即21241)(x x =，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决。

例3．已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+. 解：（1）11222()x x -+1111222222()2()x x xx --=++112x x -=++325=+=，∴1122x x-+=又由13x x-+=得0x >，∴11220x x-+>，所以1122x x-+=（2）（法一）3322x x-+113322)()x x -+＝（11111122222222()[()()]x x x x xx ---=+-+11122()[()1]x x x x --=++-1)=-=，（法二）33222[()()]x x-+3333222222()()2x x x x---=++332x x -=++而33x x-+122()(1)x x x x --=++-112()[()3]x x x x --=++-23(33)=⨯-18=∴33222()20x x-+=，又由130x x-+=>得0x >，∴33220x x-+>，所以3322x x -+==二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数xy a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R ．2．指数函数xy a =在底数及这两种情况下的图象和性质：（1）定义域：R例1．求下列函数的定义域、值域： （1）1218x y -= （2）y =（3）3xy -= （4）1(0,1)1x xa y a a a -=>≠+． 解：（1）210x -≠ ∴12x ≠原函数的定义域是1{,}2x x R x ∈≠， 令121t x =- 则0,t t R ≠∈ ∴8(,0)ty t R t =∈≠得0,1y y >≠，所以，原函数的值域是{0,1}y y y >≠．（2）11()02x-≥ ∴0x ≥ 原函数的定义域是[)0,+∞，令11()2xt =-(0)x ≥ 则01t ≤<，y t =在[)0,1是增函数 ∴01y ≤<，所以，原函数的值域是[)0,1． （3）原函数的定义域是R ， 令t x =- 则0t ≤，3t y =在(],0-∞是增函数， ∴01y <≤，所以，原函数的值域是(]0,1．（4）原函数的定义域是R ，由1(0,1)1x x a y a a a -=>≠+得11x y a y +=--， 0x a > ∴101y y +->-， ∴11y -<<， 所以，原函数的值域是()1,1-．说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。

例2．当1a >时，证明函数11x x a y a +=- 是奇函数。

证明：由10xa -≠得，0x ≠，故函数定义域{0}x x ≠关于原点对称。

1()1x x a f x a --+-=-(1)(1)x x x x a a a a --+=-11xxa a+=-()f x =- ∴()()f x f x -=-所以，函数11x x a y a +=- 是奇函数。

例3．设a 是实数，2()()21xf x a x R =-∈+， （1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。

分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。

还应要求学生注意不同题型的解答方法。

（1）证明：设1212,,x x R x x ∈<，则12()()f x f x -1222()()2121x x a a =---++ 21222121x x =-++ 12122(22)(21)(21)x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <，所以1222x x<即12220x x -<， 又由20x>，得1120x +>，2120x +>，所以，12()()0f x f x -<即12()()f x f x <．因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，()f x 在R 为增函数。

评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。

（2）解：若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即22()2121x xa a --=--++ 变形得：2222(21)2(21)22121x x x xx x a -⋅+=+=+⋅++， 解得：1a =，所以，当1a =时, ()f x 为奇函数。

三、对数的性质1．对数定义：一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 就是N a b =，那么数 b 叫做a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。