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对数与对数函数知识点与题型归纳

●高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0,且a≠1).★备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出,本节内容在高考中属于必考内容,且占有重要的分量,主要以选择题的形式命题,也有填空题和解答题.主要考查对数运算、换底公式等.及对数函数的图象和性质.对数函数与幂、指数函数结合考查,利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理《名师一号》P27注意:知识点一对数及对数的运算性质1.对数的概念一般地,对于指数式a b=N,我们把“以a为底N的对数b”记作log a N,即b=log a N(a>0,且a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”.注意:(补充)关注定义---指对互化的依据2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①log a(MN)=log a M+log a N;②log a MN=log a M-log a N;③log a M n=nlog a M(n∈R);④log a m M n=nm log a M.(2)对数的性质①a logaN =N ;②log a a N =N (a>0,且a≠1).(3)对数的重要公式①换底公式:log b N =log a N log a b (a ,b 均大于零且不等于1); ②log a b =1log b a ,推广log a b·log b c·log c d =log a d. 注意:(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a ==知识点二 对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质(注意定义域!)指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数, 它们的图象关于直线y =x 对称.(补充)设y =f(x)存在反函数,并记作y =f -1(x),1) 函数y =f(x)与其反函数y =f -1(x)的图象关于直线y x =对称.2) 如果点P(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,则必有f-1(y0)=x0,反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域.3) 函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的单调性相同.二、例题分析:(一)对数式的运算例1.(1)《名师一号》P27 对点自测1(2013·陕西文3)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是()A.log a b·log c b=log c aB.log a b·log c a=log c bC.log a(bc)=log a b·log a cD.log a(b+c)=log a b+log a c解析由对数的运算性质:log a(bc)=log a b+log a c,可判断选项C,D错误;选项A,由对数的换底公式知,log a b·log c b=log c a?lgblga·lgblgc=lgalgc?lg2b=lg2a,此式不恒成立,故错误;对选项B ,由对数的换底公式知,log a b·log c a =lgb lga ·lga lgc =lgb lgc =log c b ,故恒成立.答案 B例1.(2) (补充) 计算下列各式的值 (1) 2lg 2lg 3111lg 0.36lg823+=++ (2) 温故知新P22 第8题 (3) 235111log log log 2589⋅⋅= 答案:(1) 1 (2)10 (3)-12注意: 准确熟练记忆对数运算性质多练《名师一号》P28 高频考点 例1【规律方法】 在对数运算中,要熟练掌握对数式的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式. 例2.(1)《名师一号》P27 对点自测2(2014·陕西卷)已知4a =2,lgx =a ,则x =________.解析 ∵4a =2,∴a =log 42=12.由lgx =12,得x =10 12 =10.例2.(2)《名师一号》P28 高频考点 例1(1)若x =log 43,则(2x -2-x )2等于( )A.94B.54C.103D.43解析:由x =log 43,得4x =3,即2x =3,2-x =33,所以(2x -2-x )2=⎝ ⎛⎭⎪⎫2332=43. 注意:指数与对数的互化a b =N?b =log a N (a>0,a ≠1,N>0).练习:(补充)已知1135,2a b k a b==+=求k答案: k =例3.《名师一号》P28 高频考点 例1(2)已知函数f(x)=⎩⎨⎧ log 2x ,x>0,3-x +1,x≤0,则f(f(1))+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值 是( )A .5B .3C .-1 D.72因为f(1)=log 21=0,所以f(f(1))=f(0)=2.因为log 312<0,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312=3-log 312 +1=3log 32+1=2+1=3.所以f(f(1))+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312=2+3=5. 二、对数函数的图象及性质的应用例1. (补充)求下列函数的定义域.(1)y =log 0.5(4x -3).(2)y =log (x +1)(16-4x ).解析:(1)由函数定义知:⎩⎨⎧ log 0.5(4x -3)≥04x -3>0 ∴⎩⎨⎧4x -3≤14x -3>0,即34<x≤1. 故原函数的定义域是{x|34<x≤1}. (2)由函数有意义知⎩⎨⎧ x +1>0x +1≠116-4x >0∴⎩⎨⎧ x>-1x≠0x<2即-1<x<2,且x≠0. 故原函数的定义域为{x|-1<x<0,或0<x<2}.练习: 已知集合(){}22log x y x ax aR =--=求实数a 的取值范围. 解析:设f(x)=x 2-ax -a ,则y =log 2f(x),依题意,f(x)>0恒成立,∴Δ=a 2+4a<0∴-4<a<0,即a 的范围为(-4,0)例2.《名师一号》P27 对点自测5(2014·重庆卷)函数f(x)=log 2x·log2 (2x)的最小值为________.解析 根据对数运算性质,f(x)=log 2x·log 2 (2x)=12log 2x·[2log 2(2x)]=log 2x(1+log 2x)=(log 2x)2+log 2x =⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x +122-14,当x =22时,函数取得最小值-14. 注意:换元后“新元”的取值范围.练习:1、求下列函数的值域(1)y =log 15(-x 2+2x +4)[答案] [-1,+∞)(2)f(x)=log 22x -3log 2x 2+2⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x≤2 [解析] 令t =log 2x ,∵12≤x≤2∴-1≤t≤1.∴函数化为y =t 2-6t +2=(t -3)2-7∵-1≤t≤1.∴当t =-1,即x =12时,y max =9.当t =1,即x =2时,y min =-3,∴函数的值域为[-3,9].2、已知集合(){}22log y y x ax aR =--= 求实数a 的取值范围.[分析]当且仅当f(x)=x 2-ax -a 的值能够取遍一切正实数时,y =log 2(x 2-ax -a)的值域才为R.而当Δ<0时,f(x)>0恒成立,仅仅说明函数定义域为R ,而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏).要使f(x)能取遍一切正实数,作为二次函数,f(x)图像应与x 轴有交点(但此时定义域不再为R)[正解] 要使函数y =log 2(x 2-ax -a)的值域为R ,应使f(x)=x 2-ax -a 能取遍一切正数,要使f(x)=x 2-ax -a 能取遍一切正实数,应有Δ=a 2+4a ≥0,∴a ≥0或a ≤-4,∴所求a 的取值范围为(-∞,-4]∪[0,+∞)例3. (1)《名师一号》P27 对点自测4已知a >0且a≠1,则函数y =log a (x +2 015)+2的图象恒过定点________.解析 令x +2 015=1,即x =-2 014时,y =2,故其图象恒过定点(-2 014,2).练习:无论a 取何正数(a≠1),函数()33log a y x =-+恒过定点【答案】()43,注意:对数函数()01log ,a y x a a =>≠且图象都经过定点(1, 0)例3. (2) (补充)如右下图是对数函数①y =log a x ,②y =log b x ,③y =log c x ,④y =log d x 的图象,则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是 ( )A .a>b>1>c>dB .b>a>1>d>cC .1>a>b>c>dD .a>b>1>d>c【答案】B在上图中画出直线y =1,分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1),由图可知c<d<1<a<b.注意:(补充)两个单调性相同的对数函数,它们的图象在位于直线x =1右侧的部分是“底大图低”. 利用1log a a =,图象都经过()1,a 点,作直线1y =,则该直线与图象的交点的横坐标即为底数a 。

例3.(3)《名师一号》P28 高频考点 例2(1)(2014·福建卷)若函数y =log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()答案: B.例4.《名师一号》P28 高频考点例3已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.解析:(1)∵f(1)=1,∴log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1.这时f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0得-1<x<3,函数f(x)的定义域为(-1,3).令g(x)=-x2+2x+3,则g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减.又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).(2)假设存在实数a 使f(x)的最小值为0,则h(x)=ax 2+2x +3应有最小值1,因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ a>0,3a -1a=1,解得a =12. 故存在实数a =12使f(x)的最小值为0.练习:温故知新P32 第5题三、比较大小例1.《名师一号》P29 特色专题 典例 ,则( )A .a>b>cB .b>a>cC .a>c>bD .c>a>b【规范解答】 方法1:在同一坐标系中分别作出函数y =log 2x ,y =log 3x ,y =log 4x 的图象,如图所示.由图象知:log23.4>log3103>log43.6.方法2:∵log3103>log33=1,且103<3.4,∴log3103<log33.4<log23.4.∵log43.6<log44=1,log3103>1,∴log43.6<log310 3.∴log23.4>log3103>log43.6.由于y=5x为增函数,故a>c>b.注意:《名师一号》P28 问题探究问题3比较幂、对数大小有两种常用方法:①数形结合;②找中间量结合函数单调性.练习:1、若0<x<y<1,则()A.3y<3x B.log x3<log y3C .log 4x<log 4y D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 解析:∵0<x<y<1,①由y =3u 为增函数知3x <3y ,排除A ;②∵log 3u 在(0,1)内单调递增,∴log 3x<log 3y<0,∴log x 3>log y 3,∴B 错. ③由y =log 4u 为增函数知log 4x<log 4y ,∴C 正确.④由y =⎝ ⎛⎭⎪⎫14u 为减函数知⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ,排除D. 答案:C2、对于0<a<1,给出下列四个不等式①log a (1+a)<log a (1+1a );②log a (1+a)>log a (1+1a );③a 1+a <a 1+1a ;④a 1+a >a 1+1a .其中成立的是( )A .①与③B .①与④C .②与③D .②与④答案:D解析:由于0<a<1?a<1a ?1+a<1+1a ,∴log a (1+a)>log a (1+1a ),a 1+a >a 1+1a .∴选D.四、对数方程与不等式例1.(1)(补充)方程log 3(x 2-10)=1+log 3x 的解是___.[答案] x =5[解析] 原方程化为log 3(x 2-10)=log 3(3x),由于log 3x 在(0,+∞)上严格单增,则x 2-10=3x ,解之得x 1=5,x 2=-2.∵要使log 3x 有意义,应有x>0,∴x =5. 注意:依据对数函数恒单调求解。

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