sin sin 2sin

2
cos

2
x x y 2 sin cos( x ) 2 2
x 0, sin x x
x
x 0
0
即函数 y sin x在(, )内连续 .
同理可证 y cos x在(, )内连续 .
x 2 , x 0, 例3 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
下列情形之一，y f ( x)在 x0不连续：
(1) f ( x)在 x0无定义；
(2) f ( x )在 x0有定义，但 lim f ( x )不存在；
x x0
(3) f ( x )在 x0有定义，且 lim f ( x )存在，但是
x x0
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
lim f ( x0 x ) f ( x0 )
yy f ( x) Nhomakorabealim y 0

y
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
左连续 右连续
x
o
x0
x
x
0 , 0, 当 x x0 x 时，有
f ( x ) f ( x0 ) y .
x U ( x0 ),
y f ( x) f ( x0 ) ---函数的增量
y
y f ( x)
y
y
x
0
x
0
x0
x 0 x x
x0
x 0 x
x
2. 函数连续的定义 定义 设函数y f ( x )在 x0的某邻域内有定义，如果
lim y lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0 x 0 x 0
作业：
P65 习题1-8 2.(2) 3.(1)(2)(4)
x 1
x
x 1为可去间断点.
补充定义：x 1时，y 2, 该函数在x 1处连续.
说明： 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的
的定义, 则可使其变为连续点.
y
y tan x
解 x 无定义，是间断点. 2 π x 为无穷间断点. 2 y
o
o

2
x
解 在x 0处没有定义,
3. 连续区间与连续函数
且在a右连续，在 b左连续.
连续区间
区间上连续： 指函数在区间[a, b]上的每一内点都连续，
记为：C [ a , b ].
连续函数：y f ( x)在整个区间都连续. 说明：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
y
y f ( x)
o
a
b
x
例如： 多项式函数
x x0
x 0 x 0
故当 a 1时，f ( x)在 x 0处连续 .
评注： (1) 函数无定义的点一定是间断点、分段函数的 分界点可能是间断点； (2) 判别间断点的类型主要方法是讨论极限、 左、右极限.
小结
左连续
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 振荡间断点 个不存在
这样的 x0称为 f ( x )间断点.
2. 间断点的分类 第一类间断点:
解
称 x0为可去间断点 .
称 x0为跳跃间断点 .
第二类间断点:
若其中一个为 , 称 x0为无穷间断点 .
若其中有一个为振荡, 称 x0为振荡间断点 .
例1 求下列函数的间断点
y
2
o
1
解 x 1无定义，是间断点.
lim （x 1）
x 1，x 3时无定义是间断点.
x 1 x 1 1 lim 2 lim ， x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 2
2
x 1是可去间断点.
x2 1 lim 2 ， x 3是无穷间断点. x3 x 2 x 3
1 2 x sin , x 0 在x 0连续. 例3 当a为何值时，f ( x ) x 2 a x , x0
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
说明： f ( x )在 x0连续要满足三条件：
(1) f ( x)在 x0有定义，即f ( x0 )存在；
(2) 极限 lim f ( x )存在；
x x0
(3) 极限值等于函数值，即 lim f ( x ) f ( x0 ).
x
x 0时，函数值在 1与1之间变动无限次，
1 lim sin 不存在， x 0为振荡间断点. x 0 x
y
解 lim f ( x ) lim x 1 f (1)
x 1 x 1
1 2
o
1
x
x 1为可去间断点.
y
1
o
1
x
解 lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
第八节 函数的连续性 与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
一、函数的连续性
1. 函数的增量 设变量u从初值u1 ,变到终值u1 , 称 u u2 u1 ---变量u的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义,
x x x0 ---自变量的增量
y
y f ( x)
lim P ( x ) P ( x0 )
又如： 有理分式函数
只要 Q( x0 ) 0, 都有 lim R( x ) R( x0 )
x x0
在其定义域内连续.
1 x sin , 例2 试证函数 f ( x ) x 0,
x 0, x 0,
在x 0处连续.
证明 lim x sin
x0
1 0, x
又 f (0) 0,
lim f ( x ) f (0), x 0
所以函数 f ( x)在 x 0处连续.
例3 证明函数 y sin x在区间( ,)内连续. 证明 任取 x (,),
y sin( x x ) sin x
1 f ( x ) lim x sin 1, 解 lim x 0 x 0 x
2
x0
2 lim f ( x ) lim ( a x ) a , x 0
又
f (0) a,
f ( x ) lim f ( x ) f (0) 当a 1时， lim
x x0
f ( x ) f ( x0 )； 左连续： f ( x 0 ) lim
) lim f ( x ) f ( x0 ). 右连续： f ( x0 x x0 x x0

等价命题:
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
x 0
x 0

2 2 sin sin 2cos sin 2 2 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2
cos

二、函数的间断点
1. 间断点的定义 定义 设函数y f ( x)在 x0的某去心的邻域内有定义，
x 0 x 0 x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
x 0
x 0 为跳跃间断点.
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
例2 解
x2 1 ( x 1)( x 1) ， 2 x 2 x 3 ( x 1)( x 3)
那么就称 y f ( x)在点x0连续.
记
x x0 x, y f ( x ) f ( x0 ), x 0 x x0 , f ( x) f ( x0 ) y 0.
连续的等价定义
设函数y f ( x)在 x0的某邻域内有定义，如果
那么就称 y f ( x)在点x0连续.
解 lim f ( x ) lim ( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
三角函数和差化积公式
sin sin 2sin