第六章 常微分方程1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性3. (1)-(3)均为微分方程0222=+y dxy d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得dx ydy cos 2= 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1c x y +-=此外,还有解0=y(2)分离变量,得dx x x y y d xx dx dy y y )111(1)1(2112222+-=+++=+或 两边积分,得cx x y ln )1ln(ln )1ln(212++-=+即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2x(3)将变量分离,得1122=-+-yydy xxdx积分得通解21x -+)20(12c c y =-还有使因子21x -∙012=-y 的四个解.x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2)ex2dx-[]0)1( )e y +(1y=+-dy yex2dx=dy y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-2y11 (e 积分得--=y e e y x arctan 212)1ln(212y +-21(5)令 z=x+y+1,z dx dz sin 1+=分解变量得到dx zdz=+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到dz z z z se dz zzdz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 1222-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c即-tan(22z-∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(214++-∏y x )6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0分离变量得du x dx 1)-u(u u 22-=,即得y 3=c(2y -2x ) 7. 令xy u =,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2222cx x x y +=由定解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y +=8. 将方程化为x y xyy +-='2)(1，令x yu =，得,u u x y +'=代入得dx x du u 1112=- 得c x u ln ln arcsin +=，cx xyln arcsin= 9．化为x e x y dx dy x =+，解得)(1xe c xy +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)()(-+=-x ce y x ϕϕ11.化为x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令xyu =,则原方程化为dx dy y dx du 2--= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得12])(ln 21[1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令xyu =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x解得1122+-=-x cey x13．23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dxdy-=- 22212+-=-y ce z y ，得通解1)2(2212=+--y cex y14．令x y N x y M +-=-=4,32有xNy M ∂∂==∂∂1，这是全微分方程0=duxy x y dy x y dx x y u y x +--=---=⎰32),()0,0(22)4()3(，即方程得通解为c y x xy =--232 15． 化为0122=+-+xdx yx xdy ydx ，得通解为c x xy xy =+-+211ln 16．该方程有积分因子221y x +，)(arctan ))ln(21(2222x y d y x d y x ydx xdy xdy ydx ++=+-++17．1c e xe dx e xe e xd dx xe y xx x xx x+-=-==='⎰⎰⎰21211)2()(c x c x e c e xe x c e dx c e xe y x x x x x x ++-=+-++-=+-=⎰18．xx x dx x x y x1ln 32ln 12--=+=''⎰ 2ln ln 213)1ln 3(21---=--='⎰x x x dx x x x y x 21ln 2223)2ln ln 213(2212+--=---=⎰x x x x dx x x x y x19．令y z '=，则xz z =-'，xx x dxdx e c x c e x e c dx xe e z 111)1(])1([][++-=++-=+⎰⎰=--⎰即x e c x y 1)1(++-='得2121c e c x y x ++--=20．令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''所以0)(2323=+-=+-p p dy dp y p p p dy dp p y 则得p=0或02=+-p p dy dp y，前者对应解，后者对应方程y dy p p dp =-)1(积分得y c pp11=-即y c y c p dx dy 111+==两边积分得21||ln c x y c y '+='+，因此原方程的解是21||ln c x y c y '+='+及y=c 。

5．证明：易验证x e x y 11=，x e xy -=12，是齐次线方程02=-'+''xy y y x 的两个线性无关解，因此xe c e c y xx1)(21-+=是02=-'+''xy y y x 的通解，又易验证2*x e y =为非齐次线性方程的特解，所以2)(121x x x e e c e c x y ++=-是xe xy y y x =-'+''2的通解。

6．应用常数变异法，令x x c x x c y sin )(cos )(21+=将它代入方程，则可得决定)(1x c '和)(2x c ' 的两个方程：⎪⎩⎪⎨⎧='+'-='+'x x c x x c x x c x x c x cos 1)(cos )(sin 0)(sin )(cos 2121于是原方程的通解为x x x x x c x c y sin |cos |ln cos sin cos 21+++=。

7．（1）特征方程为0)1)(2(22=-+=-+λλλλ，21-=λ，12=λ故通解为x x e c e c y 2221+=-（2）特征方程为042=-λ，221==λλ故通解为x xxe c e c y 2221+=（3）特征方程为02234=+-λλλ，021==λλ，143==λλ故通解为x e x c c x c c y )(4321+++=（4）特征方程为01224=++λλ或0)1(22=+λ即特征根i ±=λ是重根，因此方程有四个实值解：cost ，tcost ，sint ，tsint ，故通解为t t c c t t c c x sin )(cos )(4321+++= （5）易看出2*-=y 是此方程的一个特解，又由7（1）题知对应齐次方程的通解为x x e c e c y 221+=-故所求非齐次方程的通解为2221-+=-x x e c e c y（6）先求对应的齐次线性方程03222=--x dtdxdt x d 的通解t t e c e c x -+=231，再求非线性齐次方程的一个特解，这里f(t)=3t+1,λ=0,又因λ=0不是特征根，故可取特解形如，其中A 、B 为待定常数，为了确定A 、B ，将代入原方程，得到-2B-3A-3Bt=3t-1，比较系数得⎩⎨⎧=--=-13233A B B由此得B=-1，31=A 从而t x -=31*，因此，原方程的通解为31231++=-tt e c e c x （7）从上题知，对应的齐次线性方程的通解为现求原方程的一个特解，这里te tf -=)(，因为λ=-1刚好是特征方程的单根，故有特解形如tAte x -=*，将它代入原方程，可得41-=A ，原方程的通解为t t t te e c e c x ---+=41231.（8）特征方程为0222=+-λλ，特征根为i ±=1λ因此对应的齐次方程通解为)sin cos ()(21t c t c e t y t +=观察右端函数t te t cos 有一次多项式因式1+i 是特征方程的单根，故有特解形如te t d ct t b at t t y ]sin )(cos )[()(*+++=代入原方程，经整理得t te t c b ct t d a ct e t t cos ]sin )224(cos )224[(=+--+++,比较同类项的系数得4c=1,a=d=0,-2b+2c=0,即a=d=0,41==c b ,所以)sin (cos 41)(*t t t te t y t +=非齐次方程的通解为]sin )41(cos )41[()()(221*t c t t c t e t y t y y t +++=+=综合题1． 按通解的公式有)2(1xxe c e +- 10≤≤x=+-=⎰])([dx e x Q c e y x xxec -2 1>x代入初始条件y(0)=0得21-=c 即10)1(2≤≤-=-x e y x则有)1(2)1(1--=e y 本题要求连续解,即应有)1(12y ec =-)1(2xe -- 10≤≤x 可以得)1(22-=e c 故满足初始条件的连续解为y=xe e --)1(2 1>x2．因为 ⎰⎰+=xx xdt t x dt t t e x 0)()()(ϕϕϕ………………(1)对于(1)的两边关于x 求一阶、二阶导数得⎰⎰-=--+='xx x x dt t e x dt t x x e x 0)()()()(ϕϕϕϕϕ (2))()(x e x x ϕϕ-=''即x e x x =+'')()(ϕϕ………………(3)，即易求得对应齐次方程0)()(=+''x x ϕϕ的通解为x c x c x sin cos )(21+=ϕ易看出x e x 21)(=''ϕ的通解为x e x c x c x 21sin cos )(21++=ϕ (4)再由(1)知,由(2)知1)0(='ϕ，故代入(4)易得2121c c ==，从而)sin cos (21)(21x e x c x c x ++=ϕ。