话题4：曲率半径问题一、曲率半径的引入在研究曲线运动的速度时，我们作一级近似，把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。

因为在0t ∆→ 的极限情况下，元位移的大小和元弧的长度是一致的，故“以直代曲”，对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经足够了。

对于曲线运动中的加速度问题，若用同样的近似，把曲线运动用一系列元直线运动来代替，就不合适了。

因为直线运动不能反映速度方向变化的因素。

亦即，它不能全面反映加速度的所有特征。

如何解决呢？圆周运动可以反映运动方向的变化，因此我们可以把一般的曲线运动，看成是一系列不同半径的圆周运动，即可以把整条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替。

也就是说，我们在处理曲线运动的加速度时，必须“以圆代曲”，而不是“以直代曲”。

可以通过曲线上一点A 与无限接近的另外两个相邻点作一圆，在极限情况下，这个圆就是A 点的曲率圆。

二、曲线上某点曲率半径的定义在向心加速度公式2n v a ρ=中ρ为曲线上该点的曲率半径。

圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。

我们应该注意到，这也造成了对ρ意义的模糊，从而给其它运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。

曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。

曲率k 是用来描述曲线弯曲程度的概念。

曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径ρ越小，且1kρ=。

这就是说，曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。

二、曲线上某点曲率半径的确定方法1、 从向心加速度n a 的定义式2n v a ρ=出发。

将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度v 和法向加速度n a ，再利用2n v a ρ=求出该点的曲率半径ρ。

例1、将1kg 的小球从A 点以10/m s 的初速度水平抛出，设重力加速度210/g m s =，求：(1)在抛出点的曲率半径； (2)抛出后1s 时的曲率半径。

解析: (1)初时在A 点向心加速度210/n a g m s ==，方向竖直向下，所以小球在曲线上A点的曲率半径10A m ρ=(2)如图，抛出后1s 时到达B点，切向速度/v s =，045α=.向心加速度02cos45/n a g s == 小球在B点的曲率半径B ρ=2、已知曲线()y f x =，由322(1)y y ρ'+=''可得某点曲率半径。

证明：对于任意曲线()y f x =，均可理解为x 方向的匀0x a =0x v v =n y a a =2n v a ρ==例224x ay =的抛物线，点O 、抛物线顶点时速度大小v 抛物线24x ay =aa x y y a v n 21))2(1()1(2322322+='''+==ρ 在原点O ，0x =，所以2a ρ=。

而此时2v F mg mρ-=，所以2F mg =。

3、矢量分解法求椭圆22221x y a b+=的长轴与短轴端点的曲率半径(已知长半轴和短半轴分别为a 和b )。

如图所示，设质点在M 平面内沿椭圆轨道以速率v 运动。

这个运动在1M 平面的一个分运动轨道恰成半径为b 的圆，则两平面间夹角arccos baθ=。

对于椭圆上A 点，设曲率半径为A ρ，质点以线速度v 通过A 点，则该点的向心加速度2A Av a ρ=(1)对A 在1M 平面上的投影1A 点，其线速度为v ,向心加速度1A a 为A a 沿1M 平面方向分量，则2A b v a a b= (2)比较(1)、(2)两式可得222Aav v b ρ=,2A a b ρ=同理，对B 点及其投影1B 点有2B Bva ρ=, 21()B B bv a a a b ==即2B a bρ=4、构造运动法构造两个相互垂直的分运动，写出分运动表达式。

如图所示为椭圆22221x y a b += ，求椭圆上A 、B 两点处的曲率半径。

解：椭圆22221x y a b+= ，可以看成是两个函数的合成。

cos x a t ω= , s i ny b t ω= 即可进一步写出x ,y 两个方向的速度v 和加速度a则sin x v a t ωω=- , c o sy v b t ωω= 2cos x a a t ωω=- , 2s i n y a b tωω=-在(,0)A a 处00t ω=，y v b ω=，2x a a ω=- ,求得A 处的曲率半径为22yA x v b a aρ== 在(0,)B b 处2t πω=，x v a ω=-，2y a b ω=- ,求得B 处的曲率半径为22x B y v a a bρ== 5、利用开普勒第二定律和机械能守恒定律求椭圆的曲率半径例3、地球m 绕太阳M （固定）作椭圆运动，已知轨道半长轴为A ，半短轴为B ，如图所示，试求地球在椭圆各顶点1、2、3的运动速度的大小及其曲率半径． 解：对顶点1、2，由机械能守恒定律有22121122Mm Mmmv G mv G A C A C-=--+ (1) 根据开普勒第二定律有12V A C V A C -=+（）（） (2) (2)式中C =由(1)(2)式解得1V2V 由万有引力提供向心力得2121mv MmG A C ρ=-（）(3) 2222mv MmG A C ρ=+（）(4) 解得212B Aρρ==对顶点3，由机械能守恒得22311122Mm Mmmv G mv GB A C-=--(5) 将1υ代入(5)得3v =同样可得23A Bρ=例4、已知抛物线22(0)y px p =>，求其任意一点的曲率半径。

解、设有图甲所示抛物线22(0)y px p =>，为求其上某点例如(,)2pp 点处的曲率半径，可设想一质点以速度0v 做平抛运动，平抛运动是水平方向的匀速直线运动与竖直方向自由落体运动的合成，设运动t 时间质点水平位移s ，竖直下落高度h ,则0s v t = 212h gt =消去t ， 得222v s h g= 可知平抛物体运动的轨迹为一条抛物线，如图乙所示。

若取20v p g=，则该轨迹即是旋转了090的抛物线22y px =。

取平抛轨迹上任意一点P ，该点速度为v ,与水平成θ角，加速度为g ，该点曲率半径以ρ表示，向心加速度是g的分量且有2cos v g θρ=根据运动的合成，式中2202v v gh =+c o s θ=则有3222200322(1)22(1)g v h v ghv v gg h p pρ++===+将变量s 、h 对应于y ,x .则抛物线上各点的曲率半径为3212(1)h R p k p==+将2px =代入，指定点曲率半径为. 例5、旋转半径为r 、螺距为h 的等距螺旋线,曲率半径ρ处处相同。

试用运动学方法求解ρ值。

解、设物体以0v 做匀速率的圆周运动、同时以h v 沿垂直于0v 方向做匀速直线运动，每前进一个螺距，完成一次圆周，即有02hr hv v π=， 尽管螺旋线是一条三维空间的曲线，但可以利用与二维平面曲率半径相类似的原则来确定螺旋线的曲率半径。

因为在三维曲线上取一小线元，当线元趋于零时，必将趋于同一平面上的小圆弧，对应的圆弧半径就是在该处的曲率半径。

由此可写出法向加速度。

由于速率v 不变，无切向加速度。

设曲率半径为ρ，则有22200hn v v v a r ρ+==ρ=例6(1)角度(2)解、(sin )(1cos )x OA PB R y O A O B R ϕϕϕ=-=-''=-=-这就是参数为ϕ的滚线轨道方程。

(2)0v =p v =P P a此处已利用0v 是常量，轮心作匀速运动。

Pv '是P 点相对O '点的相对速度。

此式说明，由于牵连加速度为零，绝对加速度等于相对加速度。

且22P v a R Rω==方向由P 指向O '。

因此，P 点的法向加速度为20()sin()sin()22P n p v a a R ϕϕ=⋅= (2)这里P 点处曲线的法向为AP 方向。

由式(1)和(2)，得P 点曲率半径为2220()204sin ()24sin()()2sin()2PP n v v R R a v ϕϕϕρϕ=== 这就是各ϕ处曲线的曲率半径。

几个特殊点的曲率半径：(0)0ρ=()2πρ=()4R πρ=（曲线的最高点）例7、与水平方向成角α以初速度0v 抛出石块，石块沿某一轨迹运动，H 为石块上升的最大高度，如果一只鸟以大小恒定的速度0v 也沿这轨迹飞行，求鸟飞到高度2H处的加速度。

空气阻力不计。

解、石块上升的最大高度由初速度的竖直分速度决定220sin 2v H gα=根据机械能守恒定律可求出石块在2H高度处的速度v 22011222H mv mg mv +⋅= 2220sin (1)2v v α=-速度v 与水平线的倾角ϕ（如图）由下式得出0cos cos =v v vvαϕ=水平 式中v 水平是石块的水平速度。

因而cos ϕ=垂直运动轨迹方向盘上的石块分加速度等于2=cos v g ϕρ式中ρ是在高度2H处轨迹的曲率半径，它等于 2cos v g ρϕ=由此可知鸟在这点的加速度为22003222cos cos sin (1)2v v g a g vϕαρα===⋅-轴分运动为匀速运动，速度设为0v ，则在y 轴上运动方程为0y v t =。

由22y x =可得质点在x 轴分运动为22012x v t =，所以质点在x 轴方向做初速为零，加速度为2x a v =的匀加速直线运动，参照图可知，质点沿半径r 方向分加速度20sin r a v θ=而在任何位置质点速度2222222200000()(1+)x y v v a t v v v y v ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+=+⋅= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由2r v a r=得221sin r v y r a θ+==将r 代入(1)式中得因为21tan 2(2)y y θ+=-将tan θ代入(2)式中，得方程334=0y y +- 解此方程，一个合理解为1y =，相应地12x =。

所以质点从(22)，滑下，将在1(1)2，处飞离抛物线。