最新人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案第一章 测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四小选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫4，π3 B ．⎝⎛⎭⎫4，4π3 C ．⎝⎛⎭⎫－4，－2π3 D ．⎝⎛⎭⎫4，2π3 解析： 由直角坐标与极坐标互化公式： ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝3， 因为点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.答案： B2．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )A ．①③B ．①C ．②③D ．③解析： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．答案： D3．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换( )A ．⎩⎨⎧5x ′＝2x 2y ′＝yB ．⎩⎨⎧2x ′＝5x y ′＝2yC ．⎩⎨⎧2x ′＝x5y ′＝2xD ．⎩⎨⎧5x ′＝2x2y ′＝y解析： 方法一：将椭圆方程x 210＋y 28＝1化为2x 25＋y 22＝4，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 52＋⎝⎛⎭⎫y 22＝4， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝y2，得x ′2＋y ′2＝4，即x 2＋y 2＝4，∴伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y 为所求．方法二：将x 2＋y 2＝4改写为x ′2＋y ′2＝4，设满足题意的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′2＋y ′2＝4得λ2x 2＋μ2y 2＝4， 即λ2x 24＋μ2y 24＝1，与椭圆x 210＋y 28＝1比较系数得⎩⎨⎧ λ24＝110，μ24＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝25，μ＝12，∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝12y ，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y. 答案： D4．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4B ．7C ．22D ．23解析： ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝⎛⎭⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为(23)2＋(2－2)2－22＝2 2. 答案： C5．在极坐标中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析： 圆ρ＝4sin θ的圆心为⎝⎛⎭⎫2，π2，半径为r ＝2， 对于选项A ，方程ρsin θ＝2对应的直线y ＝2，与圆相交； 对于选项B ，方程ρcos θ＝2对应的直线x ＝2，与圆相切； 选项C ，D 对应的直线与圆相离． 答案： B6．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1，π4 B ．⎝⎛⎭⎫12，π4 C ．⎝⎛⎭⎫2，π4 D ．⎝⎛⎭⎫2，π4 解析： 将圆的极坐标方程化成直角坐标方程⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1， 圆心直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，22，故其极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π4. 答案： A7．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝⎛⎭⎫1，π2的最近距离等于( ) A ．2－1 B ．5－1 C ．1D ．2解析： 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0,1)，则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心的距离减去半径，即2－1.答案： A8．已知点P 的坐标为(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线方程是( ) A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ解析： 由点P 的坐标可知，过点P 且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为x ＝－1，即ρcos θ＝－1，故选C ．答案： C9．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( ) A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r B ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r解析： 圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2① 圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－2r ⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝－2r (sin θ＋cos θ)． 两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ)， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .答案： D10．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫23，56π B ．⎝⎛⎭⎫23，π6 C ．⎝⎛⎭⎫23，7π6 D ．⎝⎛⎭⎫23，116π 解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3(①)，ρ＝4cos θ(②)，∴4cos 2 θ＝3.∴cos θ＝±32.∵0≤θ<π2，∴cos θ＝32，∴θ＝π6.将θ＝π6代入②，得ρ＝23，∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. 答案： B二、填空题(每小题5分，共20分．把正确答案填在题中的横线上)11．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线l 的距离为________． 解析： 直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3，化为直线方程得y ＝3； 点⎝⎛⎭⎫2，π6化为直角坐标即为(3，1)，于是点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线l 的距离为2. 答案： 212．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．解析： 三条直线在直角坐标系下的方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1.如图可知，S △POQ ＝12×|OQ |×|y p |＝12×1×33＋1＝3－34. 答案：3－3413．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝⎛⎭⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标________．解析： 依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π12， ∵cos5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12＝6－24，sin5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22×32＋22×12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2，y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋ 2.∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2)． 答案： (6－2，6＋2)14．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________．解析： 数形结合，易知所求轨迹是以⎝⎛⎭⎫a 2，0为圆心，a2为半径的圆．求得方程是ρ＝a cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2. 答案： ρ＝a cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线，由极轴到垂线OA 的角度为α(如图所示)．求直线l 的极坐标方程．解析： 在直线l 上任取一点M (ρ，θ)． 在直角三角形OMA 中， 由三角知识得ρcos(α－θ)＝d ，即ρ＝dcos (α－θ).这就是直线l 的极坐标方程．16．(12分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．解析： ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝⎛⎭⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝⎛⎭⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.17．(12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解析： (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，得M (2,0)； 当θ＝π2时，ρ＝233，得N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈R .18．(14分)△ABC 底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．解析： 如图：令A (ρ，θ)， △ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ2，又|BC |＝10，|AB |＝ρ. 于是由正弦定理， 得ρsin ⎝⎛⎭⎫π－3θ2＝10sin θ2， 化简，得A 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝10＋20cos θ.第二章 测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t(t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线解析： ∵ρ＝cos θ， ∴x 2＋y 2＝x ，∴表示一个圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t得到直线3x ＋y ＝－1. 答案： A2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A ．72B ．4014C.82D ．93＋43解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t⇒⎩⎨⎧x ＝－2＋22·2t ，y ＝1－22·2t ，令t ′＝2t ，把⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝1－22t ′代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25. 整理，得t ′2－72t ′＋4＝0， |t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝82.答案： C3．点集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ是参数，0＜θ＜π)，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则b 满足( )A ．－32≤b ≤32B ．－3＜b ＜32C ．0≤b ≤32D ．－3＜b ≤32解析： 用数形结合法解． 答案： D4．参数方程⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )解析： 由y ＝1tt 2－1，得t 2y 2＝t 2－1，把t ＝1x 代入，得x 2＋y 2＝1.由于t 2－1≥0，得t ≥1或t ≤－1.当t ≥1时，得0<x ≤1且y ≥0； 当t ≤－1时，得－1≤x <0且y <0.答案： D5．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r (θ为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ是参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．由r 的大小而定解析： 圆心到直线的距离 d ＝|0＋0－r |cos 2θ＋sin 2θ＝|r |＝r ，故相切．答案： B6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝－2(t 为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ所表示图形的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都不对解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ表示图形为方程是x 2＋y 2＝4的圆．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝－2表示的图形与圆无交点．故选A. 答案： A7．已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．4πD ．9π解析： 把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝r (cos φ＋φsin φ)， ①0＝r (sin φ－φcos φ). ② ①×cos φ＋②×sin φ得r ＝3，所以基圆的面积为9π. 答案： D8．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋3解析：把直线参数方程化为⎩⎨⎧x ＝－32t ′，y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，求得t ′1＋t ′2＝－4(2＋3)，t ′1t ′2＝16>0，知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t ′1|＋|t ′2|＝|t ′1＋t ′2|＝4(2＋3)． 答案： C9．过抛物线⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝3t(t 为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为( )A.π3 B ．π3或2π3C.π6D ．π6或5π6解析： 将抛物线的参数方程化成普通方程为y 2＝32x ，它的焦点为⎝⎛⎭⎫38，0.设弦所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －38，由⎩⎨⎧y 2＝32x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －38，消去y ，得64k 2x 2－48(k 2＋2)x ＋9k 2＝0， 设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34·k 2＋2k 22－916＝2 解得k ＝± 3.故倾斜角为π3或2π3答案： B10．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)上的两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且AP→＝λPB →(λ≠－1)，则点P 所对应的参数为( )A.t 1＋t 22B ．t 1＋t 21＋λC.t 1＋λt 21＋λ D ．t 2＋λt 11＋λ答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ＋1，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________．解析： 由题意知，曲线C ： x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0， 所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0， 化简得ρ＝2sin θ. 答案： ρ＝2sin θ12．如图所示，齿轮的廓线AB 为圆的渐开线的一段弧．已知此渐开线的基圆的直径为225 mm ，则此渐开线的参数方程为________．答案： ⎩⎨⎧x ＝2252(cos t ＋t sin t )y ＝2252(sin t －t cos t )(t 为参数)13．点M (x ，y )在椭圆x 212＋y 24＝1上，则点M 到直线x ＋y －4＝0的距离的最大值为________，此时点M 的坐标是________．解析： 椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则点M (23cos θ，2sin θ)到直线 x ＋y －4＝0的距离 d ＝|23cos θ＋2sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－42.当θ＋π3＝32π时，d max ＝42，此时M (－3，－1)．答案： 42 (－3，－1) 14．若曲线y 2＝4x与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t cos αy ＝－4＋t cos β(t 为参数)相切，则cos αcos β＝________.解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t cos αy ＝－4＋t cos β，∴x －2y ＋4＝2cos αcos β＝2m ，其中m ＝cos αcos β，∴x ＝2＋2my ＋8m ，代入y 2＝4x ， 得y 2＝4(2＋2my ＋8m )， y 2－8my －8－32m ＝0. ∵直线与曲线相切，∴Δ＝(－8m )2－4×(－8－32m )＝64m 2＋4×8(1＋4m )＝0， 2m 2＋4m ＋1＝0，∴(m ＋1)2＝12，m ＝－1±22，∴cos αcos β＝－1±22. 答案： －1±22三、解答题(本大题共4题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ＋m y ＝22t(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，试求实数m 的值． 解析： (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 直线l 的直角坐标方程为y ＝x －m (2)m ＝1或m ＝316．(12分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ； (1)若以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程； (2)若P (x ，y )是曲线C 上的一个动点，求x ＋2y 的最大值． 解析： (1)曲线的极坐标方程ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ，即4ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝36， ∴4x 2＋9y 2＝36，∴x 29＋y 24＝1. (2)设P (3cos θ，2sin θ)，则x ＋2y ＝3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)，∵θ∈R ，∴当sin(θ＋φ)＝1时，x ＋2y 的最大值为5.17．(12分)极坐标的极点是直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，若直线l 与⊙O 相切，求实数x 0的值．解析： 由直线l 的参数方程消参后可得直线l 的普通方程为y ＝3(x －x 0)． ⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. ∵直线l 与⊙O 相切，∴圆心O (0,0)到直线l ：3x －y －3x 0＝0的距离为2.即|3x 0|2＝2，解得x 0＝±433. 18．(14分)已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1，F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数，t ∈R )．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程； (2)求点F 1，F 2到直线l 的距离之和． 解析： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2； 曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ∴点F 1到直线l 的距离 d 1＝|－1－0－2|2＝322.点F 2到直线l 的距离 d 2＝|1－0－2|2＝22，∴d 1＋d 2＝2 2.。