《相互独立时间发生的概率》教案
一、教材分析 本节内容在全书及章节的地位：《相互独立时间发生的概率》是人
教版高中数学第二册（上）第十章第七节的内容。本节课是在同学们学 习了随机事件发生的概率和互斥事件发生的概率之后，进一步学习事件 的发生相互之间没有影响的情况，相互独立事件和互斥事件是随机事件 的两种特殊情况，是整个概率一章节的核心内容。概率在我们的现实生 活中应用比较广泛，如扔骰子、抽签等，因此学好概率对于我们更好的 理解生活中的公平问题变得尤其重要。 二、教学目标
．这样我们需要研究，上面两个相互独立事件
，
同时发生的概率
是多少？ 从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结 果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结 果，于是从两个坛子里各摸出1个球，共有
种等可能的结果，表示如下： （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） 在上面5×4种结果中，同时摸出白球的结 果有3×2种．因此，从两个坛子里分别摸出1 个球，都是白球的概率．
2）
例6： 某城市的发电厂有5台发电机组，每台 机组在一个季度里停机维修率为
．已知两台以上机组停机维修，将造成城市缺 电．计算： （l）该城市在一个季度里停电的概率； （2）该城市在一个季度里缺电的概率． 解：（l）该城市停电必须5台机组都停电 维修，所以停电的概率是
（2）当3台或4台机组停电维修时，该城 市将缺电，所以缺电的概率是
，事件
表示事件
，
，…，
至少有一个发生，
表示事件
，
，…，
都发生，即
，
，…，
都不发生．显然
与
是两个对立事件，由两个对立事件的概率和等 于1，可得
这个公式叫做概率的和与积的互补公式， 它在概率的计算中常用来简化计算． 例5：某气象站天气预报的准确率为80％．计 算（结果保留两个有效数字）： （l）5次预报中恰有4次准确的概率； （2）5次预报中至少有4次准确的概率． 解：5次预报相当于5次独立重复试验． （1）
．试问
仅在于怎样 解，更在于
与
为什么这样
解，而及时
是不是相互独立事件？
对解题方法
因为事件
和规律进行
发生时（即第一个取到的是白球），事件 发生的概率
由学生 概括，有利 自答 于发展学生 后，教 的思维能 师说明 力。
； 而当事件
理由
不发生时（即第一个取到的是黑球），事 件
发生的概率
．也就是说，事件 的发生与否影响到事件 发生的概率，所以 与 不是相互独立事件。
，“从乙机床制造的产品中任意抽出一件是正 品”为事件
，由于甲（或乙）机床制造正品与否，对乙 （或甲）机床生产正品的概率没有影响，因此
与
是相互独立事件． （1）“两件都是正品”就是事件
发生，因此所求概率为
（2）“恰有一件是正品”包括两种情 况：甲是正品，乙是次品（事件
发生）；甲是次品，乙是正品（事件
另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到 白球的概率
从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率
由
，我们看到
这就是说，两个相互独立事件同时发生的 概率，等于每个事件发生的概率的积．
一般地，如果事件
，
，…，
相互独立，那么这
个事件同时发生的概率等于每个事件发生 的概率的积，即：
思考以下两个问题： 1．互斥事件与相互独立事件有何区别？ 两事件互斥是指两个事件不可能同时发 生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否 对另一事件发生的概率没有影响。
发生），因此所求的概率是
或另解为：所求的概率为：
例4甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击 中目标的概率都是
． 计算：（1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰有一人击中目标的概 率； （3）至少有一人击中目标的概 率． 解：记“甲射击一次，击中目标”为事件
件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验 答，同
中发生的概率都是一样的．比如上面问题中射 时总结
手每次射击之间是独立地，每次射击只有两种 规律。
结果，击中和不击中，且每次击中的概率都为
． 2．独立重复试验的概率计算法则
在上面的问题中： 分别记在第l、2、3、4次射击中，这个射 手击中目标为事件 、 、 、 ，未击中目标为事件 ，、 、 、 ，那么，射击4次，去中3次共有下面四种情 况：
五、巩固练习 1、 课本P132页练习2、3、4题； 2、 课本P134练习1、2题。
六、小结和作业 小结：
1. 两个事件相互独立，是指它们其中一
使学生能巩 固羡慕自觉 运用所学知 识与解题思 想方法。
教师引 知识性内容 导师生 的小结，可
个事件的发生与否对另一个事件发生 的概率没有影响．一般地，两个事件 不可能既互斥又相互独立，因为互斥 事件是不可能同时发生的，而相互独 立事件是以它们能够同时发生为前提 的．相互独立事件同时发生的概率等 于每个事件发生的概率的积，这一点 与互斥事件的概率和也是不同的。 2. 相互独立事件的概率计算，常与互斥 事件的概率计算综合运用，同时还要 注意利用对立事件的概率关系简化计 算。 3. 独立重复试验在实际问题中是很多 的，研究独立重复试验，计算在n次独 立重复试验中某事件恰好发生k次的概 率，在理论上与实践上都是十分有用 的．在推导n次独立重复试验中某事件 恰好发生k次的概率的计算公式时，概 率的加、乘运算和组合知识都用到 了，可以说概率知识在这里得到了复 习和综合。 作业： 1.习题10.7第1、2、3、4、5、11题。
上述每一种情况，都可看成是在四个位置 上取3个写上 ，另一个写上 ，所以这些情况的种数等于从4个元素中取出3 个元素的组合数 ，即4种．
由于各次射击是否击中相互之间没有影 响．根据相互独立事件的概率乘法公式，前3 次击中，第4次未击中的概率
（3）解法1：“两人各射击一次，至少有 一人击中目标”的概率为
解法2：“两人都未击中目标”的概率是 为
因此“至少有一人击中目标”的概率为
1．概率的和与积的互补公式 一般地，对于 个随机事件
，
，…，
不但易于保
持，而且易
于迁移到陌
生的问题情
境中。
二、引入课题
1．独立事件的定义 我们把“从甲坛子里摸出1个球，得到白 球”叫做事件
根据情 通过情景引 景，计 出本节知识 算概 点。 率，在
，把“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”叫 引导学
做事件
生运用
所学知
．很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑 识解答
、
互斥，从集合的角度看，是
、
各自的结果组成的集合的交集为空集，而
、
各自结果组成的集合的交集并非一定等于空 集，因此②也不成立． 例3 制造一种零件，甲机床的正品率是
，乙机床的正品率是
，从它们制造的产品中各任抽1件． （l）两件都是正品的概率是多少？ （2）恰有1件是正品的概率是多少？ 解：记“从甲机床制造的产品中任意抽出 一件是正品”为事件
三、探求、研究
情景二：
让学生 进一步推出
某射手射击一次，击中目标的概率是
归纳这 独立重复事
0.9，他射击4次恰好击中3次的概率是多少？ 类事件 件的课题。
1．独立重复试验的定义
的特
独立重复试验是在同样的条件下，重复地 点，并
各次之间相互独立地进行的一种试验．在这样 用所学
的试验中，每一次试验只有两种结果，即某事 知识解
教学过程 教学内容
一、设置情景
教师导 拨与学 生活动
设计意图
情景一：
提出问
把教学
（1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l 题，让 内容转化为
个红球，设摸到一个球是白球的事件为A，摸 学生思 具有潜在意
到一个球是黑球的事件为B，问A与B是互斥 考后作 义的问题，
事件呢，还是对立事件？
出自己 让学生产生
同理：
因为这四种情况彼此互斥，根据互斥事件 的概率加法公式，射击4次，去中了3次的概率
上面的问题中，4次射击可以看成是进行4 次独立重复试验． 一般地，如果在一次试验中某事件发生的 概率是 ，那么在 次独立重复试来自中，这个事件恰好发生 次的概率为
由于上式右端恰好是下面二项展开 式
3.个性品质目标：通过相互独立事件及其概率的计算，进一步熟练 概率的计算方法，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
4.创新素质目标：通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性 之中的辨证唯物主义思想；理解事物之间相互联系的观点和运用对立统 一规律分析问题的辩证方法。 三、重难点分析
重点：用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率； 难点：互斥事件与相互独立事件的区别； 下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标， 我将从教法和学法上进行讲解。 四、教学程序设计
（2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙 的判 强烈的问题
坛子里有2个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸 断，教 意识，使学
出一个球，得到白球叫做事件A ，从乙坛子里 师通过 生的整个学
摸出一个球，得到白球叫做事件B。问A与B 学生的 习过程成
是互斥事件呢？还是对立事件？还是其他什么 回答了 为“猜
关系？ （3）在问题（2）中，若记事件A与事件
，“乙射击一次，击中目标”为事件
．由于甲（或乙）是否击中，对乙（或甲）击 中的概率没有影响，因此
与
是相互独立事件． （l）“两人各射击一次，都击中目 标”就是事件
发生，因此所求概率为
（2）“两人各射击一次，恰有一人击中 目标”包括两种情况：甲击中，乙未击中（事 件
发生）；甲未击中，乙击中（事件 发生），因此所求概率为：