日本东北大学2011年春季高考数学试题解答
（文科）
1.解答下面的问题：
（1）关于x 的不等式组
1
2331
x x
x a -≥-⎧⎨⋅+⋅≤⎩ 有解，求实数a 的取值范围。
（2）当x ≥-1时，关于x 的不等式
33
x
x
a a -+⋅≥
恒成立，求实数a 的取值范围。
【解答】
22
2
1(1)3.1,3233
1,21,
20
11()2,()22811,0,.
39x
x
x t x t a a t t t t a f t t t a f t t a
f a -=≥-∴≥⋅+⋅≤∴+
≤-+≤⎛
⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭⎛⎫
≤∴≤ ⎪⎝⎭
设即设则由图（1）及题意得
2
2
2
2
(2)3.1233
,,3
1,()3
(1),0,0,0, 4.11
,
,39
1019=-1613
1-
4.
6
x
x
x
t a a a t a t at a t t
y t t y a t at a t at a a a y at a a a a -=⋅+⋅≥⇒+
≥≥-≥
=≥
=-=--+=∆===⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
-
=
-
≤≤设即其中由题意函数的图像
在函数的图像的上方（图（2））.对于即由得而直线过点斜率由图（2），得的取值范围是:
2.在△OAB 中，C 在边AB 上，AC ：CB=1∶2，动点D 满足(1)O D xO A x =≥
，
直线CD 与OB 交于点E 。
（1）若实数
y 满足O E y O B
=
，则
213x
y
+
=。
（2）若S 为△OAB 的面积，T 为△ODE 的面积，求S T
的最大值及此时x 的
值。
【解答】
（1）因为C 在边
AB 上，AC ：CB=1∶2，所以2133
O C O A O B
=+。
1,
1,
O D xO A O A O D x
O E yO B O B O E y =⇒==⇒=
所以，2133OC OD OE x y
=+
又因为点C 在DE 上， 所以
21133x
y
+=，即
213x y +=。
（2）在△ODE 和△OAB 中，
11,O A O B O D
x O E y
=
=， 所以，111
23S T
x y x
x ⎛
⎫=
⋅=- ⎪
⎝
⎭。
设1t x
=。
因为1x ≥，所以01t <≤。
从而
3(32)2()2S t t t t T
=-=--
，
结合图像知，(]30,14
t =∈时，
S T
有最大值98
，相应地，43
x =。
7个白球。
摸球方法如下：当王老师掷出的骰子为1点时，甲生从盒中摸一球；当王老师掷出的骰子为2或3点时，乙生从盒中摸一球；当王老师掷出的骰子为其它点时，丙生从盒中摸一球。
三位学生摸球后均不放回。
假定王老师掷出骰子点数的机会均等，学生从盒中摸到任何一球的机会相等。
本实验操作共进行2次。
请解答下面的问题： （1）求学生A 恰好得到2个红球的概率。
（2）求学生B 至少得到1个红球的概率。
【解答】
（1）学生A 恰好得到2块红球，即：
王老师（1点）→A （红球）→王老师（1点）→A （红球）。
因此，学生A 恰好得到2个红球的概率为：1
312161069540
⨯
⨯⨯=。
（2）学生B 至少得到1个红球包括学生B 恰好得到2个红球和恰好得到1个红球两类情形。
（I ）学生B 恰好得到2个红球，即
王老师（2点或3点）→B （红球）→王老师（2点或3点）→B （红球）。
因此，学生B 得到2个红球的概率为：2
322161069135
⨯
⨯⨯=。
（II ）学生B 恰好得到1个红球，可分为三种情形。
此时，概率为：2
3
274956
10696954
⎛⎫
⨯
⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭；
此时，概率为：2
7237610
6
9
270
⨯
⨯
⨯
=
；
此时，概率为：2
3227
231
6
10
6
9
10
6
915⎛⎫⨯⨯⨯+
⨯⨯
=
⎪
⎝⎭。
因此，学生B 恰好得到1个红球的概率为：571554
2701527+
+=。
综上所述，学生B 至少得到1个红球的概率为：
1526135
27
135
+
=。
（iii ）王老师（1或4或5或6）
A 或C （红）→王老师（2或3）→
B （红）
A 或C （白）→王老师（2或3）→
B （红）
（ii ）王老师（2或3）→B （白） 2或3）→B （红）
（i ）王老师（2或3）→B （红）
王老师（2或3）→B （白）
王老师（1或4或5或6）→B （红或白）
（1）若切线l 的切点坐标为()2,a a ，试用a 表示l ，m 的交点坐标。
（2）若直线l ，m 关于y 轴对称，求由直线l ，m 和抛物线2y x =所围成图形的面积。
【解答】
2
2
2
22
2(1)'2,:2,1,(0),
2112,,
2411,,41611:216411,.
84y x y x l y xa a l m m a a x x a
a
m y x a a m y x a
a
a l m a =⇒=∴=-⊥∴≠==⎛⎫∴= ⎪⎝⎭∴=-
-
⎛⎫
-- ⎪⎝⎭ 的斜率为-显然由-得-直线与抛物线的切点坐标为-解得与的交点坐标为
2
(2),4110,.
82
l m y a a a
-∴==±
因为与关于轴对称即
所以，由直线l ，m 和抛物线2y x = 所围成图形的面积S 为（如图）
1
220
2
1
201
32012
412111=.
3224
1=
.
12
S x x dx x dx x S ⎡⎤
⎛⎫=
-- ⎪⎢
⎥⎝⎭⎣
⎦⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴⎰
⎰
【解译：曲阜师范大学附属中学 孔凡代】。