对于这两类函数，可以通过两边取对数， 转化为隐函数，然后按 隐函数求导的方法求 出导数y 。这样会使计算简单或 更容易，这 种方法称作 对数求导法
取对数求导法举例
例 15 求 y
3
x(3x - 1) 1 ( x 2) (5 x 3)( 2 x ) 3
解 两边取对数，有
1 ln y ln x ln(3x 1) ln(5 x 3) ln(2 x) 3
2
1 x 1 1 x
2
(arc cot x)
函数的和、差、积、商的求导法则
设u(x), v(x)可导 ,则
(1) u( x) v( x) u( x) v( x)
(2) cu(x cu(x) (c是常数）
(3) u(x)v(x) u( x)v( x) u( x)v( x)
2 sin x sinx 即 y (cosx) (cos x ln cos x ) cos x
EX 2 8. 利用对数求导法求函数 的导数
(5) y 2x
x
解 两边取对数
ln y ln(2 x
两边求导
x
) ln 2 x ln x
y 1 x ln x y x 2 x
利用上述公式及法则,初等函数求导问题可完 全解决.
注意: 初等函数的导数仍为初等函数. 关键: 正确分解初等函数的复合结构.
思考题: 幂函数在其定义域（ ）.
（1） 必可导； （3）不一定可导. （2）必不可导；
思考题解答： 正确地选择是（3）
例
f ( x) x , x (,) 在 x=0 处不可导;
f (0)
2 x (1 x )
2 2 x 0
0
x 0
f (0)
2(3 x 2 1) (1 x )
2 3
2.
作业 Ex2 8 (1, 5) 10 (1, 3, 5)
EX 2 8. 利用对数求导法求函数 的导数
sinx （ 1）y (cosx)
解 两边取对数，得 lny sinx ln cosx 两边同时对 x求导，可得 1 sin x y cos x ln cos x ( sin x ) y cos x
u(x) u ( x)v( x) u( x)v( x) (4) (v(x) 0) 2 v(x) v ( x)



复合函数的求导法则
设y f (u ), 而u ( x), 则复合函数 y f [ ( x)] 的导数为 dy dy du dx du dx 或 y ( x) f (u ) ( x).
下面，我们给出四个反 三角函数的求导公 式，证明这些公式需要 用到反函数的求导法 则，这里略去不证 .
(arcsin x)
1 1 x
2
(arccos x)
1 1 x
2
1 1 ( arc cot x ) (arctan x ) 1 x2 1 x2
显然，有
例3 求下列函数的n阶导数 .
(2) y e
解
-2x
2 x 1 1 2 x y (2)e (1) 2 e
y (2) e
2 2x
(1) 2 e
n 2x
2 2 2x
-----------
y
(n )
(1) 2 e
n
课堂练习 Ex2 10 (6)
1 x), 求y 10 (6) 设 y ln(
高阶导数求法举例
下面是补充题： 例4 设 y arctan x, 求f (0), f (0). 解
y 1 1 x2
y (
1 1 x2
)
2 x (1 x 2 ) 2
y (
2 x (1 x )
2 2
)
2(3 x 2 1) (1 x 2 ) 3
v( x)
v( x)u ( x) [v( x) ln u( x) ] u ( x)
课堂练习
Ex 2 8 (6)
课堂练习解答：
Ex 2 （ 8 6） 两边取对数，有 lny lnx ln sinx 两边同时对 x求导 y 1 ln x cos x ln sin x y x sin x 1 ln x 1 y (sin x ) ( ln sin x cos x ln x ) x sin x ln x 1 (sin x ) ( ln sin x cot x ln x ) x
授课内容
取对数求导法 导数基本公式 高阶导数
Math2-4
知 识 点
幂指函数转化成隐函数 反三角函数的求导公式 导数基本公式 二阶导数、高阶导数
重
点
导数基本公式和法则的应用
2.2.4 取对数求导法
有时还会遇到这样一些 情形，虽然给定的函数 是显函数，但直接求它 的导数很困难或很麻烦 ，例 如幂指函数 y u v 及一种因子之幂的连乘 积的函数， 如 y3 x(3x - 1) . (5x 3)(2 - x)
两边同时对 x求导，可得
1 11 3 5 1 y y 3 x 3x 1 5 x 3 2 x
即
1 x(3 x 1) y 3 3 (5 x 3)( 2 x)
1 3 5 1 x 3x 1 5 x 3 2 x
即 y 2x
x
(
ln x 2 x

1 x
)
x x
x
(ln x 2)
10.求下列函数的n阶导数
10(5) y xe
x
解 y e x xe x (1 x)e x
x x x y e (1 x)e (2 x)e x x x y e ( 2 x)e (3 x)e
(arcsin x) (arccos x)
(arctan x) (arc cot x)
例 17 求下列函数的导数：
(1) y arcsin(3x )
解
y 1 1 - (3x 2 ) 2 (3 x )
2
2

6x 1 9x
4
例 17 求下列函数的导数：
(2)
x 2 x 解 y 3(arctan ) (arctan ) 2 2 x 2 1 x 3(arctan ) ( ) x 2 2 2 1 ( ) 2 x 2 1 1 3(arctan ) 2 x2 2 1 6 x 2 4 (arctan ) 2 2 4 x
2 3
而 f ( x) x 2 , x (,) 在定义域内处处可导.
2.3 高阶导数
问题:变速直线运动的加速度.
v(t ) f (t ) 设 s f (t ), 则瞬时速度为
加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
a(t ) v(t ) [ f (t )].
例1 求下列函数的二阶导数：
(2)
解
y xcosx
y cosx x sin x
y sinx sinx x cosx
2sinx x cosx
高阶导数求法举例
例2
解
设 f(x) x 2 ln x ,求f (2).
f (x) 2x ln x x
2
.
二阶导数的导数称为三阶导数 三阶导数的导数称为四阶导数 f
f ( x), y ,
( 4)
d y
d y dx
4
3
( x), y ,
( 4)
dx 4
3
.
.
一般地,函数f ( x)的n 1 阶导数的导数称为 函数f ( x)的n阶导数, 记作 n n d y d f ( x) ( n) ( n) f ( x), y , 或 . dx n dx n 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
1 cos x ln x sin x x 1 sin x cos x ln x sin x 即 y x x
1 y (sin x) ln x sin x(ln x) y
一般地对于
f ( x) u( x)
v( x)
(u( x) 0)
相应地, f ( x)称为f ( x)的一阶导数.
高阶导数求法举例 由高阶导数的定义 逐步 求高阶导数.
例1 求下列函数的二阶导数：
(1) y 2x3 3x 2 5
解
y 6x 6x
2
y (6x 2 6x )
12x 6
高阶导数求法举例 由高阶导数的定义 逐步 求高阶导数.
2.2.5 导数基本公式
常数和基本初等函数的导数公式
(a x ) a x ln a 1 (log a x) x ln a
(arcsin x ) (arctan x )
(e x ) e x 1 (ln x) x (arccos x )
2
1
1 1 x 1 1 x2
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即 f ( x x) f ( x) ( f ( x)) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
二阶导数记作 f ( x), y ,
d2y dx
2
或
d 2 f ( x) dx
ln f ( x) v( x) ln u( x)
d 1 d 又 ln f ( x) f ( x) dx f ( x) dx d d f ( x) f ( x) ln f ( x) f ( x) v( x) ln u ( x) dx dx