第五章静电场5 －9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：(1)在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为224π1LrQεE-=(2)在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为2204π21LrrQεE+=若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x，其电荷为d q＝Q d x/L，它在点P的电场强度为rrqεeE2dπ41d'=整个带电体在点P的电场强度⎰=EE d接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1)若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，⎰=L E iE d(2)若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是⎰⎰==LyEαE jjE dsind证 (1)延长线上一点P 的电场强度⎰'=L r πεE 202，利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则()220022204π12/12/1π4d π41L r QεL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰电场强度的方向沿x 轴.(2)根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为E r εqαE L d π4d sin 2⎰'=利用几何关系 sin α＝r /r ′，22x r r +='统一积分变量，则()2203/22222041π2d π41Lr rεQrx L xrQ εE L/-L/+=+=⎰当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度rελL r L Q r εE l 0220π2 /41/π21lim=+=∞→此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2/L 2＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.5 －14设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.分析方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即⎰⋅=SS d s E Φ方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理∑⎰==⋅0d 0q εSS E 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而⎰⎰'⋅-=⋅=S SS E S E Φd d解1由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有⎰⎰'⋅-=⋅=S SS E S E Φd d依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向，E R πR E 22πcos π=⋅⋅-=Φ解2取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①()r θθθE e e e E sin sin cos sin cos ++=r θθR e S d d sin d 2=ER θθER θθER SS2ππ2222πdsin d sin dd sin sin d ===⋅=⎰⎰⎰⎰S E Φ5 －17设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为()()R r ρkr ρ>=≤≤= 0R r 0k 为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E 与r 的函数关系.分析通常有两种处理方法：(1)利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大. (2).将带电球分割成无数个同心带电球外激发的电场由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布解1因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理(0≤r ≤R )球体外(r ＞R )解2由上述分析，球体内(0≤r ≤R )球体外(r ＞R )5 －20一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2.求电场分布.电场强度是否为离球心距离r的连续函数？试分析.分析以球心O 为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而24d rπE⋅=⎰SE.在确定高斯面内的电荷∑q后，利用高斯定理∑⎰=0/dεqSE即可求出电场强度的分布.解取半径为r的同心球面为高斯面，由上述分析∑=⋅2/π4εqrEr＜R1，该高斯面内无电荷，0=∑q，故01=ER1＜r＜R2，高斯面内电荷()31323131RRRrQq--=∑故()()2313231312π4rRRεRrQE--=R2＜r＜R3，高斯面内电荷为Q1，故213π4rεQE=r＞R3，高斯面内电荷为Q1＋Q2，故2214π4rεQQE+=电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r＝R3的带电球面两侧，电场强度的跃变量23234π4ΔεσRεQEEE==-=这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E 的变化成为一跃变.5 －21两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2＞R 1)，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：(1)r ＜R 1，(2) R 1＜r ＜R 2，(3)r ＞R 2.分析电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且⎰⋅=rL E d π2S E ，求出不同半径高斯面内的电荷∑q .即可解得各区域电场的分布.解作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理 ∑=⋅0/π2εq rL Er ＜R 1，0=∑q01=E在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 R 1＜r ＜R 2，L λq =∑rελE 02π2=r ＞R 2，0=∑q03=E在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变π2π2ΔεσrLεLλrελE===这与5－20题分析讨论的结果一致.5 －22如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布且Q1＝Q3＝Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1、Q3的情况下，将Q2从点O 移到无穷远处外力所作的功.分析由库仑力的定义，根据Q1、Q3所受合力为零可求得Q2.外力作功W′应等于电场力作功W 的负值，即W′＝－W.求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为lE d02⎰∞=QW其中E是点电荷Q1、Q3产生的合电场强度.(2)根据电场力作功与电势能差的关系，有()22VQVVQW=-=∞其中V0是Q1、Q3在点O产生的电势(取无穷远处为零电势).解1由题意Q1所受的合力为零()02π4π4231221=+dεQQdεQQ解得QQQ414132-=-=由点电荷电场的叠加，Q1、Q3激发的电场在y轴上任意一点的电场强度为()2/32231π2ydεQEEE yyy+=+=将Q2从点O沿y轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为()dεQyydεQQQW y22/32202π8dπ241d=+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅-='⎰⎰∞∞lE解2与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时QQ412-=，并由电势的叠加得Q 1、Q 3在点O 的电势dεQd εQ d εQ V 003010π2π4π4=+=将Q 2从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功dεQ V Q W 0202π8=-='比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多. 5 －23已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为r rελe E 0π2=为电荷线密度.(1)求在r ＝r 1和r ＝r 2两点间的电势差；(2)在点电荷的电场中，我们曾取r →∞处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？试说明. 解 (1)由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有12012ln π2d 21r r ελU r r =⋅=⎰r E (2)不能.严格地讲，电场强度r e rελE 0π2=只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷分布在无限空间，r →∞处的电势应与直线上的电势相等.5 －27两个同心球面的半径分别为R 1和R 2，各自带有电荷Q 1和Q 2.求：(1)各区域电势分布，并画出分布曲线；(2)分析通常可采用两种方法(1)由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由⎰∞⋅=pp V l E d 可求得电势分布.(2)利用电势叠加原理求电势.一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势其中R 是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布.解1 (1)由高斯定理可求得电场分布.当r ≤R 1时，有当R 1≤r ≤R 2时，有当r ≥R 2时，有(2)两个球面间的电势差解2 (1)由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即r ≤R 1，则若该点位于两个球面之间，即R1≤r≤R2，则若该点位于两个球面之外，即r≥R2，则(2)两个球面间的电势差第六章静电场中的导体与电介质6 －1将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，则导体B的电势将（）（A）升高（B）降低（C）不会发生变化（D）无法确定分析与解不带电的导体B相对无穷远处为零电势。
由于带正电的带电体A移到不带电的导体B附近时，在导体B的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A）。
6 －3如图所示将一个电量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d，参见附图。
设无穷远处为零电势，则在导体球球心O点有（）（A（B（C（D分析与解达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。
点电荷q在导体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O点激发的电势为零，O点的电势等于点电荷q在该处激发的电势。