• 物质坐标/拉格朗日坐标、拉格朗日物质坐 标系、物质描述/拉格朗日描述。
• 空间坐标/欧拉坐标、欧拉空间坐标系、空 间描述/欧拉描述。
• 局部坐标/拖带坐标、局部坐标系/拖带坐标 系、自然拖带系法
物质坐标
• 为了区分各个质点，必须给它们起个“名 字”，即命名，这就需要选择一个坐标系， 以它们在运动开始时或某个时刻处空间位 置的坐标来标记它们。这种标记各个质点 的坐标就叫做物质坐标。
• I（拖带坐标）坐标法是在L（Lagrangian坐 标)坐标法的基础上，引入Euler的刚体运动 的几何描述法，推广到变形体，形成的完 备的空间运动描述法。（《论有限变形理 论中的拖带坐标系》——宋彦琦）
• 首先区分一下运动变换和坐标系变化的概念，点集的运动 变换指的是点集相对于一个固定参考系的变动，而坐标系
空间坐标
• 运动的介质质点，在不同时刻处于不同的 空间位置。为了标定这些空间位置则需要 选取一个空间坐标系，质点在不同时刻所 处位置的坐标就称作空间坐标。
• 在《有限变形力学基础》中有这样一段话：
在计算中，要分清拖带坐标和拖带坐标系 的概念。拖带坐标和Lagrangian坐标是等 同含义，形变体中一点的拖带坐标 是x j 随 着物质点，在运动过程中是不变的，而拖 带坐标系指由拖带坐标线构成的参考系， 它的形状在运动过程中一般是变化的。
• 连续介质力学理论认为物体是介质质点的连续集合,物体的运动和变形 实质是质点的运动。描述欧氏空间内的质点位置有三种物理性质不同 坐标系描述方法。
• 1)物质坐标系 OX1X2X3 。质点在任一时刻t可用描述参考构形内同一质 点的参考坐标系 OX1X2X3 内位置坐标 X J (J=1,2,3)来识别或定名(物质坐 标系中的分量下标采用大写字母表示),显然对于指定的质点在任意时 刻的 X J 坐标都是相同的,因此也称X J 为物质坐标,称 OX1X2 X3 为物质坐标 系或Lagrange坐标系,简记为L坐标系。显然,描述同一质点的物质坐 标总是不变的。
刻度是不变的，但实际尺度（长度标准）改变了。在广义
相对论中，事实上也采用了拖带坐标描述法，不过爱式称 为“软体坐标系”。（陈志达《有理力学》）
• 物体运动的两种描述的实质为:物质描述是以初始构型为 参考状态(参考构型)来描述物体的运动及变形,而空间描 述是以当前构型为参考状态(参考构型)来描述物体的运动 及变形"这两种描述在数学中可以看作是质点位置的互逆 变换"由于研究问题的出发点不同,因而两种描述的应用范 围也不同"在连续介质力学中,物质描述关注特定的质点, 适用于固体力学;而空间描述关注特定的空间,适用于流体 力学"在岩土工程中,考察的是特定物质点在变形过程中的 位移及由位移引起的应力、应变,所以多选用拉格朗日描 述"。（《有限变形力学在岩土工程中的应用》韩昌瑞）
曲线坐标系。一般取物体在初始构形时的随体坐标系与物
质坐标系重合,即 1 x1 ,因此将这种质点的坐标值不变而坐
标系本身却不断变化的坐标系称为随体坐标系 o1 2 3 ,简记
为I坐标系。由于代表I坐标系性质的基矢量随物体变形而
变化,因此还另需一参考坐标系来描述I坐标系本身的运动,
通常采用E坐标系作为这一参考坐标系。
变换指的是点集不动而选取的参考坐标系变动。拖带坐标 系实质上是刚体运动理论中所用的Euler动坐标系的合理 推广。在描述刚体的空间一般运动时，我们采用了二个参 考系：（1）固定在空间的定系（固定参考系）；（2)固 定在刚体上的动系（动参考系）。更形象地说，拖带坐标
好比刻在钢尺上的标度数，当钢尺弯曲伸长时，每一点的
• 2)固定坐标系ox1x2x3 。固定坐标系是固定于空间的参考坐标 系,是用来描述空间点的位置坐标,它不随质点运动或时间 参数t而改变,是描述物体运动的静止背景,每组坐标值 xi定 义了一个固定的空间点,是识别空间点的标志,因此有时也 称为空间坐标系或Euler坐标系,简记为E坐标系,固定坐标 系中的分量下标采用小写字母表示。显然,不同时刻的空 间点xi 由不同的质点X J 占据,而同一质点X J 在不同时刻占 据着不同的空间点xi 。
• 比较上述几种描述方法可知:在E坐标系中,物体的变形表现 为质点的坐标 xi不断变化,而坐标系本身却保持不变;在I坐 标系中,物体的变形表现为描述质点坐标的坐标系构架在 不断地变化,而坐标系中的质点坐标值 i 保持不变。
• 在连续介质力学中,物理、力学变量以及各种规律既可以 用L坐标X J 或I坐标 i 来描述,也可以用E坐标xi 描述,只不过L 坐标或I坐标描述的是质点及其邻域在某一时刻t的物理量, 而E坐标描述的是空间某点及其邻域在某一时刻t产生的物 理量。
• 3)随体坐标系 o1 2 3。将物体的变形理解成描述质点位置的

物质坐标系在变形过程随物体一起运动、旋转和变形,同
一质点的物质坐标值 1 始终保持不变,但度量物体长度的

尺度即坐标系本身的性质(协变基矢量g
、度量张量gIJ
和
Christoffel符号 TIKJ 等)也在不断地变化,如从直线坐标系变成