3.5 运动算子
一点在同一坐标系中运动完后，其在该坐标系下的表示
一、平移算子
A A P2 A P P 1
A
P2 Trans( AP) AP 1
A
二、旋转算子
A
P2 R P 1
A
P2 Rot ( K , ) P 1 三、一般形式
A
A
P2 T P 1
A
例3-4：在坐标系{A}中，点P的运动轨迹如下：首先绕Z轴 转30°，再沿X平移10单位，最后沿Y轴平移5单位，一直 P点原来的位置是 运动后的位置
齐次坐标变换矩阵T的不同解释：
1、刚体坐标系的描述（位姿）
2、点在不同坐标系下的映射（位姿） 3、运动算子
A A T P [3 7 0] 1
，求该点
P2
。
9.098 12.562 A P2 T A P 1 0 1
0.866 0.5 0 10 0.5 0.866 0 5 T 0 0 1 0 0 0 0 1
3.5 运动算子
3.6 变换矩阵的运算
运动学研究的问题： 各个连杆的相对运动 运动关系，以及机器人与 操作对象之间的相对运动 关系。 那么如何单个刚体的 位置和姿态那？
3.2 刚体位姿的描述
一、位置描述——位置矢量（position）
坐标系建立后，任意点P在空间的位置可以 用一个3×1的位置矢量来描述；例如，点P在{A} 坐标系中表示为：
二、旋转 设坐标系{A}和坐标系{B}的原点重 合，但它俩的姿态不同。设有一向量P， 它在{B}坐标系中的表示为BP，它在{A} 中如何表示？ 考虑分量：
px A py A pz
A
xA g p B y A gB p B z A gB p
A B
B
B
ｚA ｚB
p
即：
A
p
R p
B
ｏA ｏB ｙA ｘA ｘB
Ay B Az B]
,它是一个3×3矩阵，它的每一列为 {B}的基
矢量在{A}中的分量表示。
即：
r11 r12 r13 r r r A A A A R [ x y z ] B B B B 21 22 23 r31 r32 r33
基矢量都是单位矢量，因此，上式又 可以写成：
二 、机器人的工作空间 操作机的工作空间：机器人操作机正常运行时，末端执
行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围；或者说该原 点可达点占有的体积空间。这一空间又称可达空间或总工 作空间。 灵活工作空间：在总工作空间内，末端执行器可以任意 姿态达到的点所构成的工作空间。记作Wp (P)。 次工作空间：总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的 部分。
并集，运动则为三个支链运 动的交集。
d 6(n g 1) fi
i 1
g
=6（14-18-1）+36
=6 每个分支都不存在约束（ 6运动副数目），动平台也就
没有约束，故能实现 6 个自
由度的运动。
SCARA 机器人有 4 个关节， 故需要4个驱动，就是说有 4 个自由度，其末端约束数目 为2（6-运动副数目）。
例：已知坐标系{B}的初始位置与坐标系{A}重合，首先 坐标系{B}沿坐标系{A}的x轴移动12个单位，并沿坐 标系{A}的y轴移动6个单位，再绕坐标系{A}的z轴旋 转30°，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某
rB 5i 9 j 0k 点在坐标系{B}中的矢量为
，
求该点 在坐标系{A}中的矢量。
机器人结构的基本要求
一、机器人的自由度
自由度是指描述物体运动所需要的独立坐标数。
确定点在空间位置—三个坐标。
确定刚体（三维物体，不是一个点）在空间位置—六个坐标（三
个确定空间位置，三个确定空间姿态）。 需要六个自由度才能将物体放到空间任意指定位姿（即位置和姿
态）。
少于六个自由度，机器人的能力将受到相应限制（自由度越少， 限制越多）。
1） 少于六自由度机器人
在一定范围内完成某些任务。
2）六自由度机器人 能完成空间任意位姿的任务。
3）多于六自由度机器人 更大的灵活性，用于避障等。

并联机构
g
d 6(n g 1) fi
i 1
=6（8-9-1）+15
=3 每个分支都存在1个约束 （6-运动副数目），
动平台的 约束为3个约束的
则：
A 12 0.866 0.5 0 5 11.830 A rA pBO B R rB 6 0.5 0.866 0 9 13.794 0 1 0 0 0 0
3.4 齐次坐标和齐次变换
ｚA
OA
ｚB ｘB
p
OB
{B} { R
A B
A
pBO }
ｙB ｙA
ｘA
3.3 点的映射
同一点P在不同直角坐标系表示之间的关系
一、平移
设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿态，
但它俩的坐标原点不重合，若用3×1矩阵iPj0表示 坐标系{j}的原点相对坐标系{i}的表示，则同一 向量在两个坐标系中的表 示的关系为：
A B
cos( xA , x B ) cos( xA , yB ) cos( x Az , B ) R cos( yA , x B ) cos( y A, y cos( y Az , B ) B) , x B ) cos( zA , yB ) cos( zA , zB ) cos( zA
j
ｏi ｘi ｏj
θ
θ
ｙj
ｙi
ｘj
x j cos θ y j os θ 0
0 xi 0 yi 1 zi
cos RZ ( ) sin 0
ｙB
三、复合变换
例：已知坐标系{B}的初始位置与坐标系{A}重合，首先 坐标系{B}沿坐标系{A}的x轴移动12个单位，并沿坐 标系{A}的y轴移动6个单位，再绕坐标系{A}的z轴旋 转30°，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某
rB 5i 9 j 0k 点在坐标系{B}中的矢量为
A
A pBO B R 0 1 0 1
A I3 x3 Trans( pBO ) 0
A
pBO 1
A Rot ( K , ) B R 0 0 1
A B
R T 0
A B
A
pBO Trans( A p ) Rot ( K , ) BO 1
为何使用齐次坐标
在进行复合变换时，变换关系为：
将其写成统一的矩阵形式则有：
等价于
式中， A BT ——齐次坐标变换矩阵，位姿矩阵 它是一个4×4的矩阵。
①齐次坐标变换矩阵的意义
若将齐次坐标变换矩阵分块，则有：
意义：左上角的3×3矩阵是两个坐标系之间的旋转变换 矩阵，它描述了姿态关系；右上角的3×1矩阵是两个 坐标系之间的平移变换矩阵，它描述了位置关系，所 以齐次坐标变换矩阵又称为位姿矩阵。
则：
A r r A R A T B B B 1 1 0
A
11.830 pBO rB 13.794 1 1 0
分解
A B
R T 0
A B
A
pBO I 3x 3 1 0
px a px b P c px w 1
不唯一
a b c 0
无穷远点，方向余弦
nx ny A BT nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：
A
pBO
12 6 0
cos 30 sin 30 0 0.866 0.5 0 A cos 30 0 0.5 0.866 0 B R sin 30 0 0 1 0 0 1
ｚ
P(ｘ,ｙ,ｚ)
px r A P py pz
ｘ
ｏ
{A}
ｙ
二、方位的描述——旋转矩阵（orientation）
刚体的姿态可以用附着于刚体上的坐标系（用{B}
表示）来表示；因此，刚体相对于坐标系{A}的姿态等 价于{B}相对于{A}的姿态。 坐标系{B}相对于{A}的姿态表示可以用坐标系{B} 的三个基矢量xB、yB和zB在{A}中的表示给出， 即[AxB
，
求该点 在坐标系{A}中的矢量。
解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：
A
pBO
12 6 0
cos 30 sin 30 0 0.866 0.5 0 A cos 30 0 0.5 0.866 0 B R sin 30 0 0 1 0 0 1
sin cos 0
0 0 1
2016年1月7日星期四
②、绕x轴旋转α角的旋转变换矩阵为：
ｚi
ｚj
α
ｙj ｏi ｏj ｘj
α
ｙi
ｘi
③绕y轴旋转β角的旋转变换矩阵为：
ｚi ｚj
β
ｏi
ｏj
β
ｙj ｙi
ｘi
ｘj
3、位姿的描述（pose）
定义一组四向量矩阵[R， P]，如图。其中，R表 示{B}相对{A}的姿态，P表示{B}的原点相对{A}的 位移。 我们可以将{B}坐标 系相对{A}坐标系描述为：