解直角三角形的五种类型
安阳市六十四中学 张文彩
在直角三角形的6个元素中，除直角外，共有5个元素，即3条边，2个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

在这5个元素中，如果只知道一个元素，是不能解这个直角三角形的。

比如在Rt △ABC 中，已知∠A=42°解这个直角三角形。

这个三角形最多可以求出∠B=48°直角边和斜边是解不出来的。

再比如在Rt △ABC 中，已知AB=4厘米，解这个直角三角形。

这个三角形除了已知元素外，其余的任何一个元素是求不出来的。

由上可知：解直角三角形时，已知的元素最少有两个，并且这两个元素中必须有一个条件是边，或者两个条件都是边。

直角三角形中5个元素中的两两一组，一共可以分
为5类；分别是1.一锐角和对边；2.
一锐角和邻边，3.一锐角和斜边，或
者4.两直角边，5.一直角边和一斜边。

下面针对每一类的解题方法进行逐
个讲解。

将解直角三角形进行分类。

第一类：已知直角三角形中的一个锐角和这个锐角对边，解这类的直角三角形。

解题方法：首先根据直角三角形两锐角互余可以求得另一个直角，再由已知锐角的正弦求得斜边，最后由已知锐角的正切求得另一直角A B C
a b c 20 35°
边。

例1.如图，在Rt△ABC中，
∠C＝90°∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形。

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠B＝35°，b=20。

所以∠A＝90°-∠B＝90°-35°=55°
由sinB=b
c 得，c=
20
sin sin35
b
B
=
由tanB=b
a 得a=
20
tan tan35
b
B
=
即已知一锐角和这个锐角的所对的直角边时，充分利用已知条件，采用锐角的正弦函数与正切函数较好。

当然也可以采用另一直角的余弦求得斜边，由于所求的斜边有可能是一个近似数，所以不用勾股定理求另一直角边。

第二类：已知直角三角形的一锐角和这
个锐角的邻边，解这个直角三角形。

解题方法：首先根据直角三角形两锐角
互余可以求得另一个直角，再由已知锐角的
余弦求得斜边，最后由已知锐角的正切求得另一直角边。

例2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A＝55°，b=20，解这个直角三角形。

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠B＝35°，b=20。

所以∠B＝90°-∠A =55°；cosA=b
c 得
20
cos cos55
b
c
A
==
或由sinB=b
c 得，c=
20
sin sin35
b
B
=。

再由tanA=a
b 得a=btanA=20tan55°
b
A
B C
a
c
20
55°
或由tanB=b a 得 a=0
20tan tan 35b B = 第三类：已知一直角三角形的一个锐角和斜边，解这个直角三角形。

解题方法：首先根据直角三角形两锐角互余可以求得另一个直角，再由已知锐角的余弦求得邻边，最后由已知锐角的正弦求得另一直角边。

例3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°∠B ＝72°，c=14，解这个直角三角形。

解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90° ∠B ＝72°，c=14。

所以∠A ＝90°-∠B =18°； sinB=b c 得b=csinB=14sin72° 或者cosA=b c 得 b=ccosA=14cos18°
再由a=ccosB=14cos72°或者a=c sinA =14 sin18°
所以∠A=18°；a =14cos72°；b =14sin72°
第四类：已知直角三角形的两直角边，解这个直角三角形。

解题方法是：先由勾股定理求出斜边c;然后根据锐角的正切值求出这两个锐角。

例4. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°a ＝30，b=20，解这个直角三角形。

分析：解：Rt △ABC 中，∠C ＝90°a ＝30°，b=20，由勾股定理得c=222230201013a b +=+=,
因为tanA=30 1.520
a b =
= 所以∠A ＝56°19' 因为tanB=202303b a ==,所以∠B ＝33°41'
第五类：已知直角三角形一直角边和斜边，解这个
直角三角形。

解题方法：先由勾股定理求出另一条直角边，
然后一锐角的正弦等于这条直角边与斜边的比，从而求出这个锐角，最后利用两锐角互余求出另一锐角。

例5.（2013年贵州铜仁）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，解这个直角三角形。

分析：解：直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，由勾股定理得：
2222
13125
BC AB AC
=-=-=.再由cosA=
12
13
AC
AB
=，求得∠A
最后由∠B=90°-∠A 求得∠B。

当然也可以运用其他的三角函数来求解。

总之解直角三角形的类型共有这五类，在以后的具体问题中要具体分析，愿同学们在以后的学习中要不断总结经验，提高自己的解题能力。